相反數(shù)和絕對(duì)值
安徽省馬鞍山市第七中學(xué) 楊厚文
相反數(shù)和絕對(duì)值是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)概念之一,有著廣泛的應(yīng)用．不少學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)覺得不好理解，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出問題，下面就和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)相反數(shù)和絕對(duì)值.
【相反數(shù)和絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)】
1、 相反數(shù)的概念關(guān)鍵要理解“只有符號(hào)不同”的含義，規(guī)定零的相反數(shù)是零；
2、 互為相反數(shù)指的是一對(duì)數(shù)，甲、乙兩數(shù)互為相反數(shù)包括甲是乙的相反數(shù)，乙也是甲的相反數(shù)；
3、相反數(shù)的幾何意義：表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)（除0外）分別在原點(diǎn)O的兩邊，并且到原點(diǎn)的距離相等。
4、多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)就是相反數(shù)的意義，化簡(jiǎn)的結(jié)果是由“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來決定的，簡(jiǎn)稱：奇負(fù)偶正。
5、什么是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值呢？從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。注意，這里的距離，是以單位長度為度量單位的，是一個(gè)非負(fù)的量。
6、一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。
7、兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。
【用相反數(shù)和絕對(duì)值解題】
一、用相反數(shù)和絕對(duì)值的概念
例1.(重慶市2005年中考題) 5的相反數(shù)是( )
A. -5 B. 5 C. #FormatImgID_0# D. #FormatImgID_1#
解析:根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),易知本題選A
例2.(綿陽市2005年)絕對(duì)值為4的實(shí)數(shù)是
A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2
解析:求絕對(duì)值等于4的數(shù)用絕對(duì)值幾何定義比較直觀，絕對(duì)值等于4的整數(shù)即在數(shù)軸上到原點(diǎn)距離等于4的整數(shù)點(diǎn)表示的數(shù),故本題選A
二、用相反數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)特征
例3.(佛山市2005年中考題) －2的絕對(duì)值是（ ）。
A．2 B．－2 C．±2 D．#FormatImgID_2#
解析:由絕對(duì)值的特征：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0. 所以-2的絕對(duì)值是2
例4.(濟(jì)南市2005年中考題)若a與2 互為相反數(shù), 則|a+2|等于( )
A. 0 B. -2 C.2 D. 4
解析:由相反數(shù)的特征若a、b兩數(shù)互為相反數(shù)，則a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0, 再由絕對(duì)值的特征可得本題選A
三．用相反數(shù)和絕對(duì)值解決實(shí)際問題
例5. 質(zhì)檢員抽查某種零件的長度，超過規(guī)定長度的記為正數(shù)，不足規(guī)定長度的記為負(fù)數(shù).檢查結(jié)果如下：第一個(gè)為0.13毫米，第二個(gè)為－0.2毫米，第三個(gè)為－0.1毫米，第四個(gè)為0.15毫米，則長度最小的零件是第幾個(gè)？哪一個(gè)零件與規(guī)定長度的誤差最??？
解析: ∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|
∴長度最小的零件是第二個(gè)，與規(guī)定長度的誤差最小的是第三個(gè).
四．用相反數(shù)和絕對(duì)值中的數(shù)學(xué)思想
相反數(shù)和絕對(duì)值的應(yīng)用十分廣泛．因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，不僅應(yīng)該深入理解概念，掌握特征，靈活運(yùn)用，還應(yīng)注意在應(yīng)用過程中學(xué)會(huì)思想方法．
1．整體代換
例6. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范圍．
解析:根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把a-2看作一個(gè)整體，那么原式變形為|a-2|＝-(a-2)，又由絕對(duì)值概念知a-2≤0，故a的取值范圍是a≤2．
2．?dāng)?shù)形結(jié)合
例7.(全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)x是實(shí)數(shù)，y＝|x-1|+|x+1|．下列四個(gè)結(jié)論：
?、?/span>y沒有最小值； ?、?/span> 只有一個(gè)x使y取到最小值；
Ⅲ 有有限多個(gè)x(不只一個(gè))使y取到最小值；
?、?/span> 有無窮多個(gè)x使y取到最小值． 其中正確的是 [ ]．
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
解析:我們知道，|x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離．類似地可知，|x-a|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a的距離．一些有關(guān)絕對(duì)值的競(jìng)賽題，利用上述絕對(duì)值的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，常常會(huì)得到妙解. 原問題可轉(zhuǎn)化為求x取那些值時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和為最小．
#FormatImgID_3#
從數(shù)軸上可知，區(qū)間[-1，1]上的任一點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均為2；區(qū)間[-1，1] 之外的點(diǎn)x 到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均大于2．所以函數(shù)y＝|x-1|+|x+1|當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，取得最小值2． 故選(D)．
3．分類
例8.（2003年哈爾濱市中考題）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，則x＋y的值等于（?。?/span>
A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1
解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因?yàn)?/span>xy＜0，x、y異號(hào).
所以有兩種情況：（1）當(dāng)x＝3，y＝－2時(shí)，x＋y＝1.
（2）當(dāng)x＝－3，y＝2時(shí)x＋y＝－1.
故選B.
練習(xí)：
1．（玉林市2005年中考題）若-m=4，則m=__________．
2. 正式排球比賽，對(duì)所使用的排球的重量是有嚴(yán)格規(guī)定的。檢查5個(gè)排球的重量，超過規(guī)定重量的克數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定重量的克數(shù)記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如下表：
指出哪個(gè)排球的質(zhì)量好一些（即重量最接近規(guī)定重量）？你怎樣用學(xué)過的絕對(duì)值知識(shí)來說明這個(gè)問題？
3. 如圖是一個(gè)正方體紙盒的側(cè)面展開圖，請(qǐng)?jiān)谄溆嗳齻€(gè)正方形內(nèi)分別填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得折成正方體后相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).則①②③表示的數(shù)分別為（?。?/span>
A．－1，－0.5，3 B．－0.5，－1，3 C．－0.5，3，－1 D．3，－0.5，－1
#FormatImgID_4#
4．(2004年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知：a、b、c都不等于0，且#FormatImgID_5#的最大值為m，最小值為n，則(m+n) 2004＝_________.
5. (第二屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示, 則|c|-|b-a|+|b+c|等于( ).
#FormatImgID_6#
(A)-a (B)-a+2b (C)-a-2c (D)a-2b
6．(江蘇省第十七屆初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)下列說法中，正確的是（ ）．
（A）|-a|是正數(shù) （B）|-a|不是負(fù)數(shù) （C）-|a|是負(fù)數(shù) （D）#FormatImgID_7#不是正數(shù)
7．(2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題深圳賽區(qū)題)已知#FormatImgID_8#、#FormatImgID_9#都是有理數(shù)，且#FormatImgID_10#，則#FormatImgID_11#是（ c ）
A．負(fù)數(shù)； B.正數(shù)； C.負(fù)數(shù)或零； D.非負(fù)數(shù).
練習(xí)題答案
1.-4
2. 第二只排球質(zhì)量好一些，利用這些數(shù)據(jù)的絕對(duì)值的大小來判斷排球的質(zhì)量，絕對(duì)值越小說明越接近規(guī)定重量，因此質(zhì)量也就好一些。
3.D 4.0 5. c 6. B 7.c
相反數(shù)和絕對(duì)值是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)概念之一,有著廣泛的應(yīng)用．不少學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)覺得不好理解，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出問題，下面就和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)相反數(shù)和絕對(duì)值.
【相反數(shù)和絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)】
1、 相反數(shù)的概念關(guān)鍵要理解“只有符號(hào)不同”的含義，規(guī)定零的相反數(shù)是零；
2、 互為相反數(shù)指的是一對(duì)數(shù)，甲、乙兩數(shù)互為相反數(shù)包括甲是乙的相反數(shù)，乙也是甲的相反數(shù)；
3、相反數(shù)的幾何意義：表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)（除0外）分別在原點(diǎn)O的兩邊，并且到原點(diǎn)的距離相等。
4、多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)就是相反數(shù)的意義，化簡(jiǎn)的結(jié)果是由“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來決定的，簡(jiǎn)稱：奇負(fù)偶正。
5、什么是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值呢？從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。注意，這里的距離，是以單位長度為度量單位的，是一個(gè)非負(fù)的量。
6、一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。
7、兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。
【用相反數(shù)和絕對(duì)值解題】
一、用相反數(shù)和絕對(duì)值的概念
例1.(重慶市2005年中考題) 5的相反數(shù)是( )
A. -5 B. 5 C. #FormatImgID_0# D. #FormatImgID_1#
解析:根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),易知本題選A
例2.(綿陽市2005年)絕對(duì)值為4的實(shí)數(shù)是
A. ±4 B. 4 C. －4 D. 2
解析:求絕對(duì)值等于4的數(shù)用絕對(duì)值幾何定義比較直觀，絕對(duì)值等于4的整數(shù)即在數(shù)軸上到原點(diǎn)距離等于4的整數(shù)點(diǎn)表示的數(shù),故本題選A
二、用相反數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)特征
例3.(佛山市2005年中考題) －2的絕對(duì)值是（ ）。
A．2 B．－2 C．±2 D．#FormatImgID_2#
解析:由絕對(duì)值的特征：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0. 所以-2的絕對(duì)值是2
例4.(濟(jì)南市2005年中考題)若a與2 互為相反數(shù), 則|a+2|等于( )
A. 0 B. -2 C.2 D. 4
解析:由相反數(shù)的特征若a、b兩數(shù)互為相反數(shù)，則a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0, 再由絕對(duì)值的特征可得本題選A
三．用相反數(shù)和絕對(duì)值解決實(shí)際問題
例5. 質(zhì)檢員抽查某種零件的長度，超過規(guī)定長度的記為正數(shù)，不足規(guī)定長度的記為負(fù)數(shù).檢查結(jié)果如下：第一個(gè)為0.13毫米，第二個(gè)為－0.2毫米，第三個(gè)為－0.1毫米，第四個(gè)為0.15毫米，則長度最小的零件是第幾個(gè)？哪一個(gè)零件與規(guī)定長度的誤差最??？
解析: ∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|
∴長度最小的零件是第二個(gè)，與規(guī)定長度的誤差最小的是第三個(gè).
四．用相反數(shù)和絕對(duì)值中的數(shù)學(xué)思想
相反數(shù)和絕對(duì)值的應(yīng)用十分廣泛．因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，不僅應(yīng)該深入理解概念，掌握特征，靈活運(yùn)用，還應(yīng)注意在應(yīng)用過程中學(xué)會(huì)思想方法．
1．整體代換
例6. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范圍．
解析:根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把a-2看作一個(gè)整體，那么原式變形為|a-2|＝-(a-2)，又由絕對(duì)值概念知a-2≤0，故a的取值范圍是a≤2．
2．?dāng)?shù)形結(jié)合
例7.(全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)設(shè)x是實(shí)數(shù)，y＝|x-1|+|x+1|．下列四個(gè)結(jié)論：
?、?/span>y沒有最小值； ?、?/span> 只有一個(gè)x使y取到最小值；
Ⅲ 有有限多個(gè)x(不只一個(gè))使y取到最小值；
?、?/span> 有無窮多個(gè)x使y取到最小值． 其中正確的是 [ ]．
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
解析:我們知道，|x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離．類似地可知，|x-a|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a的距離．一些有關(guān)絕對(duì)值的競(jìng)賽題，利用上述絕對(duì)值的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合，常常會(huì)得到妙解. 原問題可轉(zhuǎn)化為求x取那些值時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和為最小．
#FormatImgID_3#
從數(shù)軸上可知，區(qū)間[-1，1]上的任一點(diǎn)x到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均為2；區(qū)間[-1，1] 之外的點(diǎn)x 到點(diǎn)1與點(diǎn)-1的距離之和均大于2．所以函數(shù)y＝|x-1|+|x+1|當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，取得最小值2． 故選(D)．
3．分類
例8.（2003年哈爾濱市中考題）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，則x＋y的值等于（?。?/span>
A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1
解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因?yàn)?/span>xy＜0，x、y異號(hào).
所以有兩種情況：（1）當(dāng)x＝3，y＝－2時(shí)，x＋y＝1.
（2）當(dāng)x＝－3，y＝2時(shí)x＋y＝－1.
故選B.
練習(xí)：
1．（玉林市2005年中考題）若-m=4，則m=__________．
2. 正式排球比賽，對(duì)所使用的排球的重量是有嚴(yán)格規(guī)定的。檢查5個(gè)排球的重量，超過規(guī)定重量的克數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定重量的克數(shù)記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如下表：
|
+15 |
-10 |
+30 |
-20 |
-40 |
指出哪個(gè)排球的質(zhì)量好一些（即重量最接近規(guī)定重量）？你怎樣用學(xué)過的絕對(duì)值知識(shí)來說明這個(gè)問題？
3. 如圖是一個(gè)正方體紙盒的側(cè)面展開圖，請(qǐng)?jiān)谄溆嗳齻€(gè)正方形內(nèi)分別填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得折成正方體后相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).則①②③表示的數(shù)分別為（?。?/span>
A．－1，－0.5，3 B．－0.5，－1，3 C．－0.5，3，－1 D．3，－0.5，－1
#FormatImgID_4#
4．(2004年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知：a、b、c都不等于0，且#FormatImgID_5#的最大值為m，最小值為n，則(m+n) 2004＝_________.
5. (第二屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示, 則|c|-|b-a|+|b+c|等于( ).
#FormatImgID_6#
(A)-a (B)-a+2b (C)-a-2c (D)a-2b
6．(江蘇省第十七屆初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)下列說法中，正確的是（ ）．
（A）|-a|是正數(shù) （B）|-a|不是負(fù)數(shù) （C）-|a|是負(fù)數(shù) （D）#FormatImgID_7#不是正數(shù)
7．(2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題深圳賽區(qū)題)已知#FormatImgID_8#、#FormatImgID_9#都是有理數(shù)，且#FormatImgID_10#，則#FormatImgID_11#是（ c ）
A．負(fù)數(shù)； B.正數(shù)； C.負(fù)數(shù)或零； D.非負(fù)數(shù).
練習(xí)題答案
1.-4
2. 第二只排球質(zhì)量好一些，利用這些數(shù)據(jù)的絕對(duì)值的大小來判斷排球的質(zhì)量，絕對(duì)值越小說明越接近規(guī)定重量，因此質(zhì)量也就好一些。
3.D 4.0 5. c 6. B 7.c
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