一道例題復習的四步曲
山東省博興縣店子鎮(zhèn)第一中學 崔慶祥 劉紅梅
數學學習過程是一個不斷地探索和思考的過程。在數學教學中，是單純地給學生現成的知識，還是為學生創(chuàng)設一定的問題情景，使學生有更多的機會去探索和思考，以便發(fā)揮其潛在能力，這是數學教學改革的核心問題，一般地說，數學教科書中的例題是學習的范例，學生要通過例題的學習，了解例題所代表的一類知識的規(guī)律和理解方法。但這并不是說，只要學生學會了書本上的例題就可以自然而然地解決與之相似的問題。要能舉一反三，就還需要學生有一個深入思考的過程，甚至要經過若干次錯誤與不完善的思考，這樣才能達到一定的熟練程度。這更需要學生把書本上的知識內化為自己的知識。而教材又是重要的教學資源，我從開發(fā)教學資源的效益考慮，開放教材例題，使例題更富有課改氣息，更富有挑戰(zhàn)性，也激活了教材。
一、復習鞏固：
現在就（人民教育出版社出版的八年級上冊《數學》）第131頁探究進行剖析：
如圖
14.2—8（1），要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
? 
??
思路分析：若
A、B兩點在直線a的異側，同學們能很自然地想到連結AB，交點即為所求作的點。但因為本題中A、B兩點位于直線a的同側，如何將之轉化為異側呢？易聯想到全等三角形之中的“翻折”—“軸對稱”。若作出其中任意一點A，A（或B）關于直線a的對稱點A′（或B′），交直線a于點M，則有MA=MA′（MB=MB′），故依次轉化就可解答此題。
作法：如圖2：（1
）作A點關于直線a的對稱點A′；（2）連A′B，交直線a于M點。則M點就是所求作的點。
證明：如圖3：在直線a上任取一點N，連結AN、BN、A′N、AM。
因為A、A
′兩點關于直線a對稱，所以AM=A′M，A′N=AN。
在△A′BN中，BN+A′N＞A
′B，所以AN+ BN＞AM+BM。即AM+BM最小。
點評：對于這樣的極值問題，學生雖已接觸，但難度較大，主要在兩個方面。一是遇到要找出某條線段（或線段的和）最短，無從下手，再就是證明中要另選一點，學生想不到，不會用。教學時老師要注意解決好這兩個難點問題。
二、旁敲側擊：
如圖1在平面直角坐標系中，已知兩點A（1，2），B（3，4），P為x
軸上一點，且點P到A、B兩點的距離和最短，你能求出點P的坐標嗎？
??? 
?
思路分析：因為點P到A、B兩點的距離和最短，根據例題可知P點在經過A點的對稱點A′和點B的直線上，并且是直線與X軸相交的交點，怎樣求點
P的坐標，就轉化成一次函數的內容去解決。結合例題把問題進行了轉化。
解法：因為點A（1、2）關于X軸對稱點的坐標為A′（1，-2
），
設過A′、B的解析式為y=kx+b，∴
? 解之得
? ∴y=3x-5
則直線y=3x-5與x軸的交點坐標為（
，0）。點評
:此題除了與例題有關外,還與點關于坐標軸對稱點的坐標的特點和一次函數的內容有關。只有通過前后知識的結合，才能順利完成這道題，所以考查學生綜合運用知識的能力。
三、例題拓展：
如圖1所示，河的同側有A、B兩個村莊，要把
A處的產品運往B處，并規(guī)定要走a千米的河岸路，要使路線最短，問河邊碼頭應建在何處？
?? 
??
指點迷律：如圖2所示，設碼頭分別為M、N，則從A到B的路線為AMNB，不妨假設先走河岸路，沿河岸方向將A平移A′，使A A′=a，作B關于河岸L的對稱點B′，連接A′B′與岸L交于點N，再將A′N平移回AM，則AMNB的長為滿足條件的最短路線。顯然，沿L平移B到B′，使B B′=a，類似地可得建碼頭的另一種方案。
解：如圖3所示。作法：1
。過點A作AE∥L，在AE上截取A A′=a；2。作點B關于L的對稱點B′，連接A′B′，交L于點N；3。過A點作AM∥A′B′，交L于點M。則點M、N即為所求。
探究交流：本題涉及了兩種變換，即平移變換和軸對稱變換，其實質是相等的邊或角之間的轉化，本題運用了一種探究問題的方法，先假設圖形已作出，探究出解題思路后，再去解題。
四、例題應用：
某同學打臺球，想通過擊主球，使主球B撞擊桌邊MN后返回擊中彩球A
，請在圖上標明，使主球B撞在MN上，哪一點才能達到目的？
思路分析：設主球撞擊后與MN交于P點，為使反彈后擊中
A球，必有∠APM=∠BPN，為此，只要作B關于MN的對稱點B′，連接A B′與MN交點即P點。
作法：作主球B
關于桌邊MN的對稱點B′，連接A B′交MN于點P，點P即為所求作的點。
點評：本題是實際問題，但如何把實際問題轉化為幾何問題是解決這個問題的關建，這就考查如何運用例題的能力。
例題的作用不單是知識點的示范應用,有大量潛在的數學功能需要開發(fā),挖掘這些潛在功能的過程,正是學生獲得知識和技能的關鍵。通過提出問題和解決問題,擴大解題的“武器庫”,進行這方面的誘導和培養(yǎng),可以激發(fā)學生的學習興趣, 培養(yǎng)和提高學生的探索能力和創(chuàng)新精神。
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