梯形輔助線的常見作法
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利津縣第二實驗學校 張俊海
梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：
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?。?）在梯形內部平移一腰。
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?? 例1（如圖1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。求證：
B=C?
?? 證明：過點D作DM//AB交BC于點M。
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??????? 因為 ?AD//BC? DM//AB?? 所以AB=DM
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????? 因為 BA=DC? 所以 DM=DC?
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DMC=C ?
DMC=B??? B=C?
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?。?）梯形外平移一腰
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例2 （如圖2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延長DC交BE于F
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求證:EF=FB
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證明：過點B作BG∥AD,交DC的延長線于G
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??∴四邊形ABGD是平行四邊形??? ∴AD=BG
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??∵□ACED中，AD∥CE? AD=CE
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?? ∴CE∥BG且CE=BG?? ∴∠1=∠2
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又∵∠3=∠4?????? ∴⊿ECF≌⊿BGF?? ∴:EF=FB
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(3)梯形內平移兩腰
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例3 （如圖3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分別為
AD、BC的中點，且EF⊥BC，試說明∠B=∠C
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解：過E作EM∥AB,EN∥CD,分別交BC于M,N得□ABME ,□NCDE
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∴AE=BM? DE=CN, ?∵AE=DE???? ∴BM=CN
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又∵BF=CF??? ∴FM=FN????? ∵EF⊥BC? ∴EM=EN? ∴∠1=∠2
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∵EM∥AB,EN∥CD,? ∴∠1=∠B , ∠2=∠C
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∴∠B=∠C
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(4)延長兩腰
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例4（如圖4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。
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求證：梯形ABCD是等腰梯形。
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證明：延長BA,CD交于點E
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∵∠B=∠C? ∴BE=CE
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∵AD∥BC??? ∴∠EAD=∠B? ∠EDA=∠C?
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?∵∠B=∠C???? ∴∠EAD=∠EDA
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?? ∴AB=CD
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結論得證
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5）過梯形上底的兩端點向下底作高
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例5（如圖5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面積。
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解：過點D、C分別作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.
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根據(jù)等腰梯形的軸對稱性可知，AE=BF.
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∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB
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∴四邊形CDEF是矩形?∴DC=EF
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∴AE=
(AB-EF)= (AB-CD)=3?
∴ DE=
=
=4?
∴
=(2+8)x4=20?
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(6)平移對角線
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例6求證：對角線相等的梯形是等腰梯形。
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已知：（如圖6）在梯形ABCD中，AD∥BC,對角線AC=BD
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求證：AB=DC
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證明：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形。
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∴AC=DE??? ∵DE=AC=DB???? ∴∠DBC=∠E??? ∠ACB=∠E
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∴∠DBC=∠ACB
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又∵BD=CA?? BC=CB
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∴⊿
ABC≌⊿DCB
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∴AB=DC
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?。?span>7）連接梯形一頂點及一腰的中點。
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例7（如圖7）在梯形ABCD中，AD∥BC, E、F分別為AB、CD的中點，
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?? 求證：EF=
(AD+BC)?
?? 證明：連接AF并延長交BC的延長線于點G.
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先證⊿ADF≌⊿GCF? 得 AD=CG?? DF=FC
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易證EF=
BG=(AD+BC)?
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（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。
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例8（如圖8）在梯形ABCD中，AD∥BC, E為CD的中點，
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????? 求證：S
=?
????? 證明：過點E作MN∥
AB交BC于N，交AD的延長線于M
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易證⊿NCE≌⊿MDE,從而推出S
=?
∵□ABNM和⊿ABE中，它們同底同高，
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∴S
=2S?
∴
= S?
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(9)作中位線
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例9（如圖9））在梯形ABCD中，AB∥CD,M為AD的中點，AB+CD=BC
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求證：BM⊥CM
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證明：過點M作MN∥AB交BC于點N
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?? ∵M為AD的中點，∴MN是梯形ABCD的中位線
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?? ∴MN=
（AB+CD）?∵AB+CD=BC?
??? ∴MN=
BC?
?? ∴⊿BCM是直角三角形??
?
?? ∴BM⊥CM
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當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。
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