2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 幾何圖形

    本章主要介紹了學(xué)習(xí)幾何圖形與實(shí)物的關(guān)系，圖形的基本要素（點(diǎn)、線、面），借助平面圖形認(rèn)識(shí)幾何體的三種手段（將幾何體表面展開(kāi)，從不同的方向看幾何體、用平面去截幾何體）。現(xiàn)與同學(xué)們共同歸納總結(jié)一下：
     
    一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
     
    　　　　　　　　
     
    二、知識(shí)歸納
     
    　　1．幾何體是從實(shí)物中抽象出的數(shù)學(xué)模型。識(shí)別幾何體，應(yīng)以直觀觀察為主，常見(jiàn)幾何體的基本特征
     
    長(zhǎng)方體：有8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、6個(gè)面，且每個(gè)面都是長(zhǎng)方形.想一想：正方體呢？
     
    棱柱：上下兩個(gè)面為棱柱的底面（它們的大小與形狀完全相同），其它各個(gè)面為棱柱的側(cè)面，且每個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形.
     
    圓柱：上下兩個(gè)底面是半徑相同的兩個(gè)圓，側(cè)面是由一個(gè)曲面圍成.想一想：圓錐和球各有什么特征？如圓柱：特征如兩個(gè)底面是相等的圓等。圓錐：特征如象錐子，底面是個(gè)圓等。棱柱：特征如底邊是多邊形，側(cè)面是長(zhǎng)方形等。但這類特征并非是要做出嚴(yán)密的、科學(xué)的結(jié)論，可因觀察者的視角變化而變化。
     
    2．生活中的立體圖形都是由最基本幾何圖形組成的，其中線是由點(diǎn)組成的，面是由線構(gòu)成的，體是由面圍成的。用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，即“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”。
     
    3．幾何體與其表面展開(kāi)圖之間的互相關(guān)系，即折疊與展開(kāi)關(guān)系，不僅是一個(gè)思考過(guò)程，也是一個(gè)實(shí)際操作過(guò)程。幾何體展開(kāi)得到的平面圖形不是唯一的，剪開(kāi)的方式不同，得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的。因此考慮問(wèn)題必須要周全，否則，容易在解題時(shí)因考慮不周而導(dǎo)致出錯(cuò)。
     
    4．在觀察過(guò)程中，從不同方向觀察同一物體可能看到不同的結(jié)果，所以一般要從正面、左面、上面三個(gè)不同的方向進(jìn)行觀察，才能描述出正確的幾何體。
     
    5．同一個(gè)幾何體，可以有不同的截面，反過(guò)來(lái)，同一個(gè)截面，可存在于不同的幾何體中。僅憑一個(gè)截面，往往是推不出原來(lái)的幾何體的。如用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是三角形，這個(gè)幾何體可能是圓錐、三棱柱、正方體或長(zhǎng)方體，而一個(gè)圓柱可截出圓、長(zhǎng)方形或正方形等。要判定一個(gè)截面的形狀，首先找出平面和幾何體的面相交而成的線，其次判斷這些線圍成的截面的形狀。
     
    6．畫(huà)出幾何體的表面展開(kāi)圖、從不同的方向看幾何體、用平面截幾何體是三種將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行研究的手段。
     
    三、考點(diǎn)例析
     
    　　考點(diǎn)1　幾何體的分類：
     
    　　例1、下列幾何體中是圓柱的為（　?。?
     
    　　
     
    析解：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形特征，區(qū)分三棱錐與圓錐、四棱錐、五棱錐，可從底面的形狀入手進(jìn)行判斷。B中的底面是圓，故不是棱錐，C的底面是四邊形，D的底面是五邊形，它們都不是三棱錐，只有A是三棱錐。
     
    溫馨提示：將幾何體分類，方法并不唯一，只要能說(shuō)明分類的理由即可．但要注意：按某一標(biāo)準(zhǔn)分類時(shí)，要做到不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)不同時(shí)，分類的結(jié)果也就不盡相同．
     
    練習(xí)1：請(qǐng)將圖1中的5個(gè)幾何體進(jìn)行分類，并說(shuō)明它們是由哪些面圍成的？
     
    　　　
     
    考點(diǎn)2   圖形的展開(kāi)與折疊：
     
    　　例2、（2007年北京）右圖所示是一個(gè)三棱柱紙盒，在下面四個(gè)圖中，只有一個(gè)是
     
    這個(gè)紙盒的展開(kāi)圖，那么這個(gè)展開(kāi)圖是（    ）
     
    　
     
    析解：此題考查同學(xué)空間想象能力的推理能力，A答案中，不妨把圓作為前面展開(kāi)，則有一個(gè)三角形在左和另一個(gè)三角形應(yīng)在上，而上方是空白的，所以不對(duì)。B答案中，還是以圓作為前面來(lái)展開(kāi)，右邊三角形應(yīng)在左邊，所以也不對(duì)，C答案中，前面、左面、上面這三個(gè)面在展開(kāi)圖中不可能出現(xiàn)在一條線上。因此本題答案選D。
     
    例3、（2007年陜西課改）下面四個(gè)圖形中，經(jīng)過(guò)折疊能圍成如圖只有三個(gè)面上印有圖案的正方體紙盒的是（    ）
     
    　　
     
    解析：在正方體的表面展開(kāi)圖中，相對(duì)的面只能看到一個(gè)，即帶“小三角形”“正方形”“圓”的面不能是相對(duì)的面，所以應(yīng)選擇B
     
    溫馨提示：判斷一個(gè)平面圖形是不是某立體圖形的平面展開(kāi)圖，需要從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行分析，反之相同，因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要多進(jìn)行常見(jiàn)立體圖形的實(shí)驗(yàn)和操作，并從多角度進(jìn)行觀察、分析，從中總結(jié)規(guī)律，這樣在解題時(shí)就不需要一個(gè)個(gè)進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，根據(jù)這些規(guī)律，即可快捷的解決問(wèn)題。
     
    練習(xí)2：如左圖所示的立方體，將其展開(kāi)得到的右圖中的圖形是（    ）
     
     
    　
     
    練習(xí)3：下面4個(gè)圖均由6個(gè)小正方形組成，若以每個(gè)小正方形為面，則可以折疊成正方體的是（      ）.
     
    　　
     
    考點(diǎn)3  立體圖形的三視圖
     
    　　例4、(2007山西臨汾）右圖是由相同小正方形搭的幾何體的俯視圖（小正方形中所標(biāo)的數(shù)
     
    字表示在該位置上小正方體的個(gè)數(shù)），則這個(gè)幾何體的左視圖是（   ）
     
    
     　　
    

D

C

B

A

     
    　　
     
    　　析解：根據(jù)該幾何體從上面看得到的平面圖，可知其從正面看得到的平面圖形有三列：第一列有3個(gè)小立方塊，第二列有2個(gè)小立方塊，第三列有1個(gè)小立方塊。其從左面看得到的平面圖形也有三列：第一列有1個(gè)小立方塊，第二列有3個(gè)小立方塊，第三列有2個(gè)小立方塊。因此該幾何體從正面看和從左面看得到的平面圖形應(yīng)為C。
     
    溫馨提示：由從上面看得到的平面圖畫(huà)從正面看和從左面看得到的平面圖，其要領(lǐng)是：（1）從正面看得到的平面圖與從上面看得到的平面圖列數(shù)相同，其每列塊數(shù)是從上面看得到的平面圖中該列最大的數(shù)字；（2）從左面看得到的平面圖的列數(shù)與從上面看得到的平面圖的行數(shù)相同，其每列的方塊數(shù)是從上面看得到的平面圖該行中最大的數(shù)字；（3）從正面看得到的平面圖的行數(shù)與從左面看得到的平面圖的行數(shù)相同，其每行的方塊數(shù)是從正面看得到的平面圖中該行最大的數(shù)字。
     
    練習(xí)4：如圖是由小立方塊堆成的幾何體從上面看得到的平面圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你畫(huà)出該幾何體從正面看和從左面看得到的平面圖形。
     
    　　
     
    考點(diǎn)4　幾何體的“旋轉(zhuǎn)構(gòu)成”
     
    　　例5、（2007年重慶課改）將如圖所示的繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的主視圖是（    ）
     
    　　
     
    分析：旋轉(zhuǎn)之后得到如圖所示的立體圖形：則其主視圖應(yīng)為D
     
    　　　　　　　　
     
    　?。?/b>拓展）　將一個(gè)直角三角形ABC繞它的一邊旋轉(zhuǎn)，試畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體.
     
    　　分析：由于題目中沒(méi)有說(shuō)明繞哪條邊旋轉(zhuǎn)，考慮到直角三角形有三條邊，所以必須分三種情況，得到三個(gè)不同的幾何體.
     
    解：如圖2分別沿三條邊旋轉(zhuǎn)一周，得到如圖3所示的三個(gè)幾何體：  
     
    　　
     
    溫馨提示：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若點(diǎn)在“軸”上，則旋轉(zhuǎn)一周后該點(diǎn)的位置不變；若點(diǎn)不在“軸”上，則旋轉(zhuǎn)一周后形成一個(gè)圓；與“軸”重合的線段旋轉(zhuǎn)一周后仍然與軸重合；與“軸”垂直的線段旋轉(zhuǎn)一周后得到一個(gè)平面（圓）；與“軸”不垂直的線段旋轉(zhuǎn)一周后得一個(gè)曲面.
     
    練習(xí)5：將三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖4所示的立體圖形的是（　　）.
     
    　　　
     
    考點(diǎn)5　幾何體的截面
     
    例6　用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，如果截去的幾何體有四個(gè)面，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
     
    （1）截面一定是什么圖形？
     
    （2）剩下的幾何體可能有幾個(gè)頂點(diǎn)？
     
    解：（1）如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐，那么截面一定是一個(gè)三角形．
     
    （2）剩下的幾何體可能有7個(gè)、或8個(gè)、或9個(gè)、或10個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示．
     
    　　　
     
    溫馨提示：本題是典型的開(kāi)放性問(wèn)題，對(duì)于七年級(jí)的你來(lái)說(shuō)具有很強(qiáng)的挑戰(zhàn)性．解題的關(guān)鍵在于抓住“截面為三角形”這一特點(diǎn)，于是可聯(lián)想到上述各種不同情況．
     
    練習(xí)6：如圖10，如果把一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體截成八個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體，至少需截____次.
     
    　　　
     
    考點(diǎn)6  能力拓展題
     
    　?。?/b>1）探究型
     
    　　例7、（2007年河北）用M，N，P，Q各代表四種簡(jiǎn)單幾何圖形（線段、正三角形、正方形、圓）中的一種．
     
    圖6-1—圖6-4是由M，N，P，Q中的兩種圖形組合而成的（組合用“&”表示）．
     
    　　
     
    那么，下列組合圖形中，表示P&Q的是（    ）
     
    　
     
    分析：觀察前幾個(gè)圖案中看得見(jiàn)情形歸納、猜想出線段、正三角形、正方形、圓分別用Q、N、M、P表示，則P&Q表示線段和圓的組合。應(yīng)選擇B
     
    （2）猜想型
     
    　　例8、一物體的外形為正方體，為探明其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，給其“做CT”.用一組豎直方向(自左向右)的平面截這個(gè)物體，按順序得到如圖7的截面，請(qǐng)你猜猜這個(gè)正方體的內(nèi)部構(gòu)造.
     
    　　　　　
     
    　　圖7
     
    　　析解：由截面形狀去想象幾何體與給一個(gè)幾何體想象它的截面是一個(gè)互逆的思維過(guò)程，要根據(jù)所給截面形狀仔細(xì)分析，展開(kāi)想象。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在正方體內(nèi)部的圓由上至下由點(diǎn)逐漸變成小圓、大圓，又逐漸變成小圓、點(diǎn)。通過(guò)這一變化過(guò)程可以猜想：
     
    正方體中間有一球狀(或橢球狀、雙側(cè)圓錐狀等)空洞
     
    溫馨提示：這類試題要求同學(xué)們從觀察前幾個(gè)圖案中看得見(jiàn)情形進(jìn)行歸納、猜想，綜合考察了同學(xué)們對(duì)圖形的觀察和對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)探究能力，是近兩年中考的一類熱點(diǎn)問(wèn)題。
     
    練習(xí)7：（2007年日照）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著正方形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，它的方向是（    ）
     
    　
     
    練習(xí)題答案：
     
    1、圖1中的（1）、（2）、（5）是柱體.其中（1）是長(zhǎng)方體，它由6個(gè)長(zhǎng)方形的平面圍成；（2）是圓柱體，它由2個(gè)圓和一個(gè)曲面圍成；（5）是棱柱體，它由2個(gè)三角形平面和三個(gè)長(zhǎng)方形平面圍成.（3）是錐體，它由一個(gè)圓和一個(gè)曲面圍成.（4）是球體,它只由一個(gè)曲面圍成.
     
    2、B；  3、 B；  4、如圖　　　　5、　　B；  6、7次　　?。?、 B；
     
    
    
    

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