2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 求和問題的解法

    
    　　同學(xué)們一定知道德國(guó)有一個(gè)數(shù)學(xué)神童，在他十歲時(shí)，小學(xué)老師出了一道算術(shù)難題：“計(jì)算1＋2＋3+……＋100＝？”. 這可難為初學(xué)算術(shù)的學(xué)生，但是他卻在幾秒后將答案解了出來，他把數(shù)目一對(duì)對(duì)的湊在一起：1＋100，2＋99，3＋98，……，49＋52，50＋51 而這樣的組合有50組，所以答案很快的就可以求出是： 101×50＝5050.我想現(xiàn)在同學(xué)們一定想起他是誰(shuí)了吧？他就是德國(guó)的大數(shù)學(xué)家高斯 (Gauss，1777-1855)，他和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱.
    有很多題目都與高斯做的這個(gè)求和題類似，現(xiàn)在，就讓我們來共同探索一下其中的規(guī)律.
    一、規(guī)律總結(jié)
    如果我們把高斯解的這個(gè)題一般化，那就是求1+2+3+……+n的和，把這組和首尾的數(shù)字對(duì)應(yīng)相加，就可以得到個(gè)（n+1），所以1+2+3+……+n=.
    我們還可以假設(shè)S=1+2+3+……+n，再倒過來寫一遍就是
    S=n+(n－1)+……+1，兩式相加可以得到
    2S=（n+1）+（n+1）+……+（n+1）
    =n（n+1）       兩邊同時(shí)除以2得
    S=   即：1+2+3+……+n=          
    用類似的方法我們也可以求出：1+2+3+……+（n－1）=.
    上面兩個(gè)公式同學(xué)們可以記住，計(jì)算時(shí)不妨直接應(yīng)用，這樣我們?cè)谔剿饕?guī)律時(shí)就可以把主要精力放在思考問題上，而不是花費(fèi)在復(fù)雜的計(jì)算上.
    　　二、典型例題
    例1  足球比賽時(shí)要進(jìn)行單循環(huán)的淘汰賽，2個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行1場(chǎng)比賽，3個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行3場(chǎng)比賽，4個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，……，n+1個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？
    解析：假設(shè)n+1個(gè)球隊(duì)進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為S，則可以得到
    球隊(duì)數(shù)       比賽場(chǎng)數(shù)
    2            1
    3            3=1+2
    4            6=1+2+3
    5           10=1+2+3+4
    6           15=1+2+3+4+5
    ……              ……
    　　由規(guī)律可以得到n+1個(gè)球隊(duì)需要進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為S=1+2+3+……+n=.
    例2  在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)A1，A2…… An-1， An.這n個(gè)點(diǎn)一共可以構(gòu)成多少條線段？
    
    解析：點(diǎn)A1和點(diǎn)A2可以構(gòu)成線段A1A2，點(diǎn)A1和點(diǎn)A3可以構(gòu)成線段A1A3，……，點(diǎn)A1和點(diǎn)An可以構(gòu)成線段A1An，一共是（n－1）條；點(diǎn)A2和點(diǎn)A3，點(diǎn)A2和點(diǎn)A4，……，點(diǎn)A2和點(diǎn)An，可以構(gòu)成的線段一共有（n－2）條，依次類推，n個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成的線段有：（n－1）+（n－2）+……+2+1=.
    評(píng)注：例1中的球隊(duì)我們也可以把它看作一個(gè)一個(gè)線段上的點(diǎn)，按照例2那樣用畫弧的方法，一邊畫弧，一邊按照例1那樣記數(shù)，很快就能找到答案的！其實(shí)，只要大家能夠靈活運(yùn)用所掌握的方法，探索規(guī)律的題目也是很簡(jiǎn)單的！
    例3  我們知道1條可以將一個(gè)平面分成2部分，2條直線可以將一個(gè)平面分成4部分，3條直線最多可以將一個(gè)平面分成7部分，4條直線最多可以將一個(gè)平面分成11部分，你能探索出n條直線最多可以將一個(gè)平面分成幾部分嗎？
    
    ……
    解析：          直線條數(shù)         分成的平面部分
                           1                  2=1+1
                           2                  4=(1+2)+1
                           3                  7=(1+2+3)+1
                           4                 11=(1+2+3+4)+1
                          ……                  ……
    n                 S=(1+2+3+……+n)+1=+1
    例4  如圖
    
    　　……
     
    

圖形編號(hào)	①	②	③	④	⑤	⑥
三角形邊數(shù)

     
    　　第n個(gè)圖形三角形的邊數(shù)一共有多少？
    解析：如果我們把后一個(gè)圖形看作是在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上在下面補(bǔ)充幾個(gè)三角形，那么探索起其中的規(guī)律來就很容易得到問題的答案.
    圖形編號(hào)             三角形邊數(shù)
    ①            3
    ②            9=3+3×2=3×(1+2)
    ③           18=9+3×3=3×(1+2+3)
    ④           30=18+3×4=3×(1+2+3+4)
    ……                 ……
    n              S=3×(1+2+3+……+n)=
    以上只是探索規(guī)律中求和的一種類型，實(shí)際上同學(xué)們只要注意總結(jié)，善于分類，深入研究，做一個(gè)有心人，你一定能夠在探索規(guī)律中有出色表現(xiàn)的.