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平面鑲嵌知識簡介
湖北省沙洋縣長林中學(xué) 劉黎明
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用若干類全等形(能夠完全重合的圖形叫做全等形)無間隙且不重疊地覆蓋平面的一部分，叫做這幾類圖形能鑲嵌(覆蓋、鋪砌)平面．鑲嵌的一個關(guān)鍵點是：在每個公共頂點處，各角的和是360°．最簡單的鑲嵌是只用一類全等形鑲嵌平面．以下對平面鑲嵌問題從三個方面略作介紹．
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一、用一種任意多邊形鑲嵌
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1．全等的任意三角形能鑲嵌平面
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把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角形．用這些全等的三角形可鑲嵌平面．這是因為三角形的內(nèi)角和是180°，用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面．如圖1．
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用全等的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2．
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2．全等的任意四邊形能鑲嵌平面
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仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面．這是因為四邊形的內(nèi)角和是360°，用4個全等的四邊形即可鑲嵌出一個平面．如圖3．其實四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類全等的三角形進行鑲嵌．如圖4．
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3．全等的特殊五邊形可鑲嵌平面
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圣地亞歌一位家庭婦女，五個孩子的母親瑪喬里·賴斯，對平面鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結(jié)論．1968年克什納斷言只有8類五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬里·賴斯后來又找到了5類五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形
ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．圖6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法．用五邊形鑲嵌平面，是否只有13類，還有待研究．
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4．全等的特殊六邊形可鑲嵌平面
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1918年，萊因哈特證明了只有3類六邊形能鑲嵌平面．圖7是其中之一．在圖7的六邊形ABCDEF中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d．
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5．七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面．
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二、用同一種正多邊形鑲嵌
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只有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊形不能鑲嵌平面．
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三、用多種正多邊形鑲嵌
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例如：用正三角形和正六形的組合進行鑲嵌．設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角．由于正三角形的每個角是60°，正六邊形的每個角是120°．所以有
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??? m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．
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這個方程的正整數(shù)解是
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可見用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型，一種是在一個頂點的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點的周圍有2個正三角形和2個正六邊形．如圖8、圖9．
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讀者可探究用其它兩種正多邊形或兩種以上的正多邊形進行鑲嵌的問題．
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參考文獻：
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《初等數(shù)學(xué)研究的問題與課題》?楊之（即楊世明先生）?湖南教育出版社? 1993年5月版
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