梯形中的對(duì)角線三角形面積揭秘
天津市武清區(qū)城關(guān)鎮(zhèn)中學(xué) 郭春港
梯形的對(duì)角線三角形，是指梯形中由邊和對(duì)角線圍成的三角形. 那么，一個(gè)梯形中，由兩對(duì)角線和邊圍成的三角形共有八個(gè)，它們具有如下性質(zhì)：當(dāng)?shù)?、高一定時(shí)，梯形的對(duì)角線三角形面積不變.即，只要梯形的兩底和高確定了，不管它的形狀如何變化，各對(duì)角線三角形的面積都不會(huì)改變.
如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.設(shè)AD＝
，BC＝
，梯形的高為
.
我們以這個(gè)梯形ABCD為例，將其對(duì)角線三角形分成兩組來(lái)討論.
第一組：以梯形兩邊和一條對(duì)角線圍成的三角形，圖中有△ADB、△DAC、△ABC、△DBC.
其中，
，
.即這四個(gè)三角形面積只和底邊和高有關(guān)，不隨形狀的改變而變化.
第二組：以梯形一邊和兩條對(duì)角線圍成的三角形，圖中有△ABO、△BCO、△CDO、△DAO.
在△ABO、△DAO中，
∵AD∥BC，∴DO∶BO＝AD∶BC＝
∶.∴
，∴
，∴
.∴
.同樣方法可推出：
，
.可見(jiàn)，這四個(gè)三角形的面積也只與底邊和高有關(guān)，且
.綜上所述，命題即可得證.
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