學習等腰三角形的性質(zhì)和判定——分類討論記心間
山東惠民皂戶李鄉(xiāng)中學 康風星
分類思想是解題的一種常用思想方法,它有利于培養(yǎng)和發(fā)展學生思維的條理性、縝密性、靈活性,學生只有掌握了分類的思想方法,在解題中才不會出現(xiàn)漏解的情況.在學習等腰三角形的性質(zhì)和判定時,分類討論的思想尤為重要,希望同學們謹記心間,現(xiàn)舉幾例予以說明:
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一、由于題目條件的不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一:
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例1、已知等腰三角形的一個內(nèi)角為65°則其頂角為( )
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A. 50° B. 65° C. 115° D. 50°或65°
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解析:65°角可能是頂角,也可能是底角。當65°是底角時,則頂角的度數(shù)為180°-65°×2=50°;當65°角是頂角時,則頂角的度數(shù)就等于65°。所以這個等腰三角形的頂角為50°或65°。故應選D。
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提示:對于一個等腰三角形,若條件中并沒有確定頂角或底角時,應注意分情況討論,先確定這個已知角是頂角還是底角,再求解。
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例2、 已知等腰三角形的一邊等于3,另一邊等于4,則它的周長等于_________。
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解析:已知條件中并沒有指明3和4誰是腰長,因此應由三角形的三邊關(guān)系進行分類討論。當3是腰長時,這個等腰三角形的底邊長就是4,此時等腰三角形的周長等于10;當4是腰長時,這個三角形的底邊長就是3,則此時周長等于11。故這個等腰三角形的周長等于10或11。
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提示:對于底和腰不等的等腰三角形,若條件中沒有明確哪是底哪是腰時,應在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。
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例3、 若等腰三角形一腰上的中線分周長為12cm和9cm兩部分,求這個等腰三角形的底和腰的長。
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解析:已知條件并沒有指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,因此,應有兩種情形。若設這個等腰三角形的腰長是xcm,底邊長為ycm,可得


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?解得


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提示:這里求出來的解應滿足三角形三邊關(guān)系定理。
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二、由于題目條件得出的圖形不確定性引發(fā)結(jié)論不唯一:
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例4、 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為55°,求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。
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解析:依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為35°,圖2中頂角為145°。
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例5、 皂戶李中學為美化環(huán)境,計劃在校園的廣場用


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解析:在等腰ΔABC中,設AB=10





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如下圖,當AB為腰且ΔABC為銳角三角形時,
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如下圖,當AB為腰且ΔABC為鈍角三角形時,
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所以

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提示:三角形的高是由三角形的形狀決定的,對于等腰三角形,當頂角是銳角時,腰上的高在三角形內(nèi);當頂角是鈍角時,腰上的高在三角形外。
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例6、在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為45°,則底角∠B=____________。
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解析:按照題意可畫出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。
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如圖1,當交點在腰AC上時,ΔABC是銳角三角形,此時可求得∠A=45°,所以
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∠B=∠C=

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如圖2,當交點在腰CA的延長線上時,ΔABC為鈍角三有形,此時可求得
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∠BAC=135°,所以∠B=∠C=

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故這個等腰三角形的底角為67.5°或22.5°。
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提示:這里的圖2最容易漏掉,求解時一定要認真分析題意,畫出所有可能的圖形,這樣才能正確解題。
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