由一道中考試題引發(fā)的思考
山東惠民皂戶李中學(xué) 康風(fēng)星 耿方新
中考試題一般都源于教材，是教材知識(shí)的的延伸，或拓展，現(xiàn)舉一例說明。
?
?原題：（人教版七年級(jí)下， 26頁第6題 （2） ）
?
????2007年福州市中考試題：
?
如圖2，直線
，連結(jié)
，直線
及線段把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)
落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)
，構(gòu)成
，
，
三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是
角．）?
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)
落在第①部分時(shí)，求證：
；?
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)
落在第②部分時(shí)，是否成立（直接回答成立或不成立）？?
（
3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)
在第③部分時(shí)，全面探究，，之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．?
?
?
分析：
這是一道開放型試題，這類試題已成為各地中考的必考試題。開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開放題的實(shí)質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識(shí)的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實(shí)踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開放題的認(rèn)識(shí)。過程開放或結(jié)論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問題，有助于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的潛在能力。本題的第一問結(jié)論確定，但是
P點(diǎn)的具體位置不確定，需要學(xué)生大膽假設(shè)確定其位置，可以得到多種證明方法；第二問，實(shí)際就轉(zhuǎn)化為了前面提到的教材的原型，而要求直接作答難度相對(duì)較小，顯然不成立；第三問，開放性比較強(qiáng)，需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行探索，并且需要分類討論。
?
解：（1）解法一：如圖9-1，延長BP交直線AC于點(diǎn)E???????? ??
∵ AC∥BD ?, ∴ ∠PEA =∠PBD .?
∵
∠APB =∠PAE + ∠PEA ,?????
∴ ∠APB =∠PAC + ∠PBD .?
解法二：如圖9-2，過點(diǎn)P作FP∥AC , ????????????????
∴ ∠PAC =∠APF .??????????????
∵ AC∥BD ,?? ∴FP∥BD .?????????? ??
∴ ∠FPB =∠PBD .???????????????????
?∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC? + ∠PBD .
解法三：如圖9-3，
∵ AC∥BD ,? ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°?
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠
PAB = 180°,?????
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . ???????????
（2）不成立.????????????????????????
（3）(a)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，
結(jié)論是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任寫一個(gè)即可）.
(c) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，
結(jié)論是
∠PAC =∠APB +∠PBD .??????
選擇(a) 證明：
如圖9-4，連接PA，連接PB交AC于M
??? ∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵
∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .?????
選擇(b) 證明：如圖9-5 ，
∵ 點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD ,? ∴
∠PBD =∠PAC .??
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB?
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.?????????????????????????
選擇(c) 證明：
如圖9-6，連接PA，連接PB交AC于F
∵ AC∥BD ,?????? ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .??
????
溫馨提示：所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)想像、擴(kuò)散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型。開放型試題重在開發(fā)思維，促進(jìn)創(chuàng)新，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點(diǎn)考題。觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證是科學(xué)思維方法，是新課標(biāo)思維能力新添的內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)重視并應(yīng)用。而要想做好此類試題我認(rèn)為應(yīng)從教材入手，教材中的習(xí)題和例題都有一定的探索性，我們只有立足教材充分發(fā)揮習(xí)題的作用，反復(fù)推敲，對(duì)習(xí)題進(jìn)行一題多解和一題多變的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)探索知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過程，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，有利于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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