構(gòu)造輔助圓，交點(diǎn)立顯現(xiàn)
河北省唐縣齊家佐鄉(xiāng)葛公中學(xué) 張紅建
在解一些幾何問題時(shí)，常會(huì)遇到一些用常規(guī)方法很難解決的問題。這時(shí)，如果構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形來給以輔助，往往能促使問題轉(zhuǎn)化，使問題中原來隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的環(huán)境中清晰地展現(xiàn)出來，從而簡(jiǎn)捷地解決問題，這種解題方法稱為構(gòu)造法。
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對(duì)于在已知條件的線上找點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成一定的角的問題，如果能根據(jù)題目的題設(shè)和結(jié)論，構(gòu)造出符合題意特征的輔助圓，即把題目中的固定角轉(zhuǎn)化為圓的圓周角問題，就能使問題得以順利解決，這種方法利用數(shù)形結(jié)合，使代數(shù)與幾何等知識(shí)相互滲透，綜合應(yīng)用，它不但能較好的達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。請(qǐng)看下面的兩個(gè)例題：
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例1：（06東營）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點(diǎn)P
，使得∠APB=30°，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是
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（A）3個(gè)? ? （B）2個(gè)?（C
）1個(gè)? ???? （D）不存在
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分析：要在直線l上找點(diǎn)P使
∠APB=30°，可以構(gòu)造以AB為邊作等邊三角形ABO，則∠AOB=60°，然后以O為圓心，AB為半徑，作圓O，如圖，∵△ABO為等邊三角形∴OB∥l，∴點(diǎn)O到l的距離d<r,所以點(diǎn)O與直線l有兩個(gè)交點(diǎn)，P1、P2。
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解：此題如果以AB為邊作等邊△ABO,再以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑作圓交直線l與點(diǎn)P1、P2，∵∠AOB=60°∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°所以滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是兩個(gè)，分別為P1、P2。
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例2：（06陜西）如圖，矩形ABCG（
）與矩形CDEF全等，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，
的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)，使為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是??? 【 C 】?
?? ?A．0???? B．1???? C．2???? D．3
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分析：要使∠APE=90°，則需要以AE為直徑作圓，如果此圓與線段BD相交，有幾個(gè)交點(diǎn)，則使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)就有幾個(gè)，通過作圖及圓心到直線的距離可知，以AE為直徑的圓與BD只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是兩個(gè)。
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解：此題連接AE、AC、CE，因?yàn)榫匦?/span>ABCG與矩形CDEF全等，所以Rt△ACG≌Rt△CEF則∠ACE=90°，所以點(diǎn)
C為滿足條件的P點(diǎn)之一。取AE的中點(diǎn)O，然后以點(diǎn)O為圓心，以OA為半徑作圓O，因?yàn)辄c(diǎn)O到BC的距離小于OC，所以圓O與BD有兩個(gè)交點(diǎn)C、P，∵AE為直徑，∴∠ACE=90°，∠APE=90°。∴使∠APE為直角的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩個(gè)。
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綜上所述，我們可以把某些與定點(diǎn)成定角的問題轉(zhuǎn)化為圓周角問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，則能輕易加以解決。
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