三角形重心性質(zhì)定理
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
1．三角形重心性質(zhì)定理
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課本原題（人教八年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)習(xí)題19.2第16題）
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在△ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于O。BO與OD的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？BC邊上的中線是否一定過(guò)點(diǎn)O？為什么？
（提示：作BO中點(diǎn)M，CO的中點(diǎn)N。連接ED、EM、MN、ND）
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分析：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心（第十九章課題學(xué)習(xí)《重心》）。這道習(xí)題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1∶2兩部分，其中重心到三角形某一頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。
證法1：（根據(jù)課本上的提示證明）
取GA、GB中點(diǎn)M、N，連接MN、ND、DE、EM。（如圖1）
∵M(jìn)N是△GAB的中位線，∴MN∥AB，MN=
AB又ED是△ACB的中位線，∴DE∥AB，DE=
AB∴DE∥MN，DE=MN，四邊形MNDE是平行四邊形
∴GM=GD，又AM=MG，則AG=2GD
同理可證：CG=2GF，BG=2GE
點(diǎn)評(píng)：證法1是利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形，再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個(gè)線段之間的相等關(guān)系。
證法2：延長(zhǎng)BE至F，使GF=GB，連接FC。
∵G是BF的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)
∴GD是△BFC的中位線，GD∥FC，GD=
FC由GD∥FC，AE=CE，易證△AEG≌△CEF
∴AG=FC，即GD=
AG點(diǎn)評(píng)：利用線段中點(diǎn)，還可以將與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。
證法3：取EC中點(diǎn)M，連DM，利用平行線分線段成比例及E是AC中點(diǎn)可證得相同的結(jié)論。（證明過(guò)程略）
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2.三角形重心性質(zhì)定理的應(yīng)用
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⑴求線段長(zhǎng)
例1 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于點(diǎn)E，若BC=6cm，則GE=?????? cm。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6?? ∴AB=BC=12，
D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=
AB=6G是Rt△ABC的重心，∴CG=
CD=4由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=
CG=2（cm）⑵求面積
例2 在△ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn)O，若△BOD的面積等于5，求△ABC的面積。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
??? ∴S△AOB∶S△BOD=2∶1?? 即S△AOB=2 S△BOD=10
??? ∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
??? 又AD是△ABC的中線
??? S△ABC=2 S△ABD=30。
練習(xí)：1.如圖5，△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果AG=6，那么線段DG=??????? 。
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2.如圖6，在△ABC中，G是重心，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若△ABC的面積為6cm2，則△CGD的面積為??????? 。
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作者簡(jiǎn)介：宋毓彬，男，45歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《小博士報(bào)》、《少年智力開(kāi)發(fā)報(bào)·數(shù)學(xué)周刊》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章80多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
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