“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析
山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校 左進(jìn)祥
在近幾年的中考中,經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問(wèn)題,為了讓同學(xué)們對(duì)這類問(wèn)題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解,我們特此編寫了“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析,希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.
?
?
一、在三角形背景下探求線段和的最小值
?
?
1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值
?
?
例1 如圖1,在銳角三角形ABC中,AB=4


?
分析:在這里,有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以在解答時(shí),就不能用我們常用對(duì)稱點(diǎn)法.我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決.
?
?
解:如圖1,在AC上截取AE=AN,連接BE.因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D,所以∠EAM=∠NAM,又因?yàn)锳M=AM, 所以△AME≌△AMN,所以ME=MN.所以BM+MN=BM+ME≥BE.因?yàn)锽M+MN有最小值.當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí),BE取最小值為4,以BM+MN的最小值是4.故填4.
?
?
1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值
?
?
例2(2010 山東濱州)如圖4所示,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為
???????? .

分析:要求線段和最小值,關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱思想,找出這條最短的線段,后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長(zhǎng)度即可.
?
解:因?yàn)榈冗叀?span>ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對(duì)稱,連接BE交AD于點(diǎn)M,這就是EM+CM最小時(shí)的位置,如圖5所示,因?yàn)镃M=BM,所以EM+CM=BE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC,垂足為F,因?yàn)锳E=2,AC=6,所以EC=4,在直角三角形EFC中,因?yàn)镋C=4, ∠ECF=60°,∠FEC=30°,所以FC=2,EF=


?
因?yàn)?span>BC=6,F(xiàn)C=2,所以BF=4.在直角三角形BEF中,BE=

?
=

?
?
二、在四邊形背景下探求線段和的最小值
?
?
2.1在直角梯形中探求線段和的最小值
?
例3(2010江蘇揚(yáng)州)如圖3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PC+PD的和最小時(shí),PB的長(zhǎng)為__________.

分析:在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法.
?
解:如圖3所示,作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,交AB于點(diǎn)P,此時(shí)PC+PD和最小,為線段CE.因?yàn)锳D=4,所以AE=4.因?yàn)椤?/span>ABC=90°,AD∥BC,所以∠EAP=90°.
?
因?yàn)?span>∠APE=∠BPC,所以△APE∽△BPC,所以




?
?
2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值
?
?
例4 如圖4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn),則PA+PB的最小值為????????????? .

分析:根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵.
?
解:如圖4所示,因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接BD,交EF于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB和最小,為線段BD.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC,垂足為G,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是等腰梯形,且AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,所以∠C=60°,∠GDC=30°,所以GC=


120°.因?yàn)锳B=AD,所以∠ABD=∠ADB=30°,所以∠ADBC=30°,所以BD=2DG=2×



?
?
2.3在菱形中探求線段和的最小值
?
?
例5 如圖
5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中點(diǎn),P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值為??????????? .

分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)知道,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).
?
解:如圖5所示,因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接DE,交AC于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PB和最小,為線段ED.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,且∠BAD=60°,所以三角形ABD是等邊三角形.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),AB=2,所以AE=1,DE⊥AB,所以ED=

?
=


?
?
2.4在正方形中探求線段和的最小值
?
?
例6 如圖6所示,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在DC上,且DM=2,N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則DN+MN的最小值為
?????????? ?.

分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)知道,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D,這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).
?
解:如圖6所示,因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B,連接BM,交AC于點(diǎn)N,此時(shí)DN+MN和最小,為線段BM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BC=CD=8.因?yàn)?span>DM=2,所以MC=6,所以BM=

?
例7(2009?達(dá)州)如圖7,在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接PB、PQ,則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為 ???????????????????cm.(結(jié)果不取近似值).

分析:在這里△PBQ周長(zhǎng)等于PB+PQ+BQ,而B(niǎo)Q是正方形邊長(zhǎng)的一半,是一個(gè)定值1,所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問(wèn)題.因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,兩個(gè)定點(diǎn)B,Q符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法.
?
解:如圖7所示,根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,連接DQ,交AC于點(diǎn)P,連接PB.所以BP=DP,所以BP+PQ=DP+PQ=DQ.在Rt△CDQ中,DQ=




?
?
三、在圓背景下探求線段和的最小值
?
?
例8(2010年荊門)如圖8,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為(??? )
?
(A)2



分析:根據(jù)圓的對(duì)稱性,作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D,連接DB,則線段和的最小值就是線段DB的長(zhǎng)度.
?
解:如圖8,作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D,連接DB,OB,OD.因?yàn)椤螦MN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),
?
所以弧AB的度數(shù)為30°,弧AB的度數(shù)為30°,弧AN的度數(shù)為60°.根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到:∠BON=30°.由垂徑定理得:弧DN的度數(shù)為60°.所以∠BOD=∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB=


?
?
四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值
?
?
例9(2010山東濟(jì)寧)如圖9,正比例函數(shù)y=


?
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
?
(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合),且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.
?

分析:利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義,確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵.
?
要想確定出PA+PB的最小值,關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小,同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過(guò)的對(duì)稱作圖問(wèn)題,明白了最小的內(nèi)涵,解題的過(guò)程就迎刃而解了.
?
解:(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),且點(diǎn)A在第一象限,所以O(shè)M=x,AM=y.
?
因?yàn)槿切?span>OAM的面積為1,所以


?
(2)因?yàn)閥=





?
解得k=3,b=-5,所以函數(shù)的解析式為y=3x-5,當(dāng)y=0時(shí),x=


?
?
五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值
?
?
例10(2010年玉溪改編)如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,


?
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式;
?
(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使△AOC的周長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)C的 坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

分析:在這里△AOC周長(zhǎng)等于AC+CO+AO,而A,O是定點(diǎn),所以AO是一個(gè)定長(zhǎng),所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問(wèn)題.因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C,兩個(gè)定點(diǎn)A,O符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路,所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法.
?
解:(1)由題意得:

?
(2)因?yàn)锽(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為:y=ax(x+2),將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,






?
(3)存在點(diǎn)C. 如圖10,根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對(duì)稱點(diǎn),所以連接AB與拋物線的對(duì)稱軸x= - 1交AC于點(diǎn)C,此時(shí)
△AOC的周長(zhǎng)最小.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.
?
過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F,則BE=EO=EF=1.因?yàn)?/span>△BCE∽△BAF,所以

?
所以



?
?
六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值
?
?
例11(2010年天津)如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形

?
(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
?
(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).
?

分析:本題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問(wèn)題糅合在一起,并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中.
?
解:(
1)如圖12,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)


?
若在邊OA上任取點(diǎn)





?
由D








?
因?yàn)?在矩形OACB中,OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn),所以 BC=3,DO=

?
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)的坐標(biāo)為



?
(2)如圖13,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)


?
又 DC、EF的長(zhǎng)為定值,所以此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.
?
因?yàn)?在矩形OACB中,OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn),CG=2,所以 BC=3,DO=

?
所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)的坐標(biāo)為







?

中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |