“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析
山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校 左進(jìn)祥
在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問(wèn)題，為了讓同學(xué)們對(duì)這類問(wèn)題有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)和了解，我們特此編寫了“求兩線段長(zhǎng)度值和最小”問(wèn)題全解析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助．
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一、在三角形背景下探求線段和的最小值
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1.1 在銳角三角形中探求線段和的最小值
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例1 如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4
,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為???????????? ．
?
分析：在這里，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在解答時(shí)，就不能用我們常用對(duì)稱點(diǎn)法．我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決．
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解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE．因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D，所以∠EAM=∠NAM，又因?yàn)锳M=AM， 所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因?yàn)锽M+MN有最小值．當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4．故填4．
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1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值
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例2（2010 山東濱州）如圖4所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為
???????? .
分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長(zhǎng)度即可．
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解：因?yàn)榈冗叀?span>ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對(duì)稱，連接BE交AD于點(diǎn)M，這就是EM+CM最小時(shí)的位置，如圖5所示，因?yàn)镃M=BM，所以EM+CM=BE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，因?yàn)锳E=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因?yàn)镋C=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF=
=2
．?
因?yàn)?span>BC=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=
?
=
.?
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二、在四邊形背景下探求線段和的最小值
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2.1在直角梯形中探求線段和的最小值
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例3（2010江蘇揚(yáng)州）如圖3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC＋PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為__________．
分析：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．
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解：如圖3所示，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC＋PD和最小，為線段CE．因?yàn)锳D＝4，所以AE=4．因?yàn)椤?/span>ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．
?
因?yàn)?span>∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以
.因?yàn)?span>AE=4，BC＝6，所以
，所以
，所以
,因?yàn)锳B＝5，所以PB=3.?
?
2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值
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例4 如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為????????????? ．
分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵．
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解：如圖4所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，連接BD，交EF于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB和最小，為線段BD．過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=
,DG=．因?yàn)椤?/span>ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因?yàn)锳B=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×
=．所以PA+PB的最小值為．?
?
2.3在菱形中探求線段和的最小值
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例5 如圖
5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為??????????? ．
分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．
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解：如圖5所示，因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接DE，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PB和最小，為線段ED．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形．因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=
?
=
．所以PE＋PB的最小值為．?
?
2.4在正方形中探求線段和的最小值
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例6 如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為
?????????? ?．
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．
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解：如圖6所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BM，交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DN＋MN和最小，為線段BM．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BC=CD=8．因?yàn)?span>DM=2，所以MC=6，所以BM=
=10.所以DN+MN的最小值為10.?
例7（2009?達(dá)州）如圖7，在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長(zhǎng)的最小值為 ???????????????????cm．（結(jié)果不取近似值）．
分析：在這里△PBQ周長(zhǎng)等于PB+PQ+BQ，而B(niǎo)Q是正方形邊長(zhǎng)的一半，是一個(gè)定值1，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問(wèn)題．因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，兩個(gè)定點(diǎn)B,Q符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．
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解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，連接DQ，交AC于點(diǎn)P，連接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ=
=
，所以△PBQ的周長(zhǎng)的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案為+1．?
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三、在圓背景下探求線段和的最小值
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例8（2010年荊門）如圖8，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為(??? )
?
(A)2
??? (B) ????(C)1??? (D)2
分析：根據(jù)圓的對(duì)稱性，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長(zhǎng)度．
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解：如圖8，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，OB,OD．因?yàn)椤螦MN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，
?
所以弧AB的度數(shù)為30°，弧AB的度數(shù)為30°，弧AN的度數(shù)為60°．根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到：∠BON＝30°．由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB=
=.所以選擇B．?
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四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值
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例9（2010山東濟(jì)寧）如圖9，正比例函數(shù)y=
x的圖象與反比例函數(shù)y=
（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知三角形OAM的面積為1.?
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
?
（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.
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分析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵．
?
要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過(guò)的對(duì)稱作圖問(wèn)題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過(guò)程就迎刃而解了．
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解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），且點(diǎn)A在第一象限，所以O(shè)M=x,AM=y．
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因?yàn)槿切?span>OAM的面積為1，所以
所以xy=2，所以反比例函數(shù)的解析式為y=
．?
（2）因?yàn)閥=
x與y=相交于點(diǎn)A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因?yàn)閤＞0，所以x=2，所以y=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，所點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），所以點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，所以
，?
解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3x-5，當(dāng)y=0時(shí)，x=
，所以當(dāng)點(diǎn)P在（，0）時(shí)，PA+PB的值最小．?
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五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值
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例10（2010年玉溪改編）如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，
） ，△AOB的面積是.?
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；
?
（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
分析：在這里△AOC周長(zhǎng)等于AC+CO+AO，而A,O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長(zhǎng)，所以要想使得三角形的周長(zhǎng)最小，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問(wèn)題．因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A,O符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．
?
解：（1）由題意得:
所以O(shè)B=2．因?yàn)辄c(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，）；?
（2）因?yàn)锽(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為：y=ax（x+2），將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，
）代入解析式得：3a=，所以a=
，所以函數(shù)的解析式為y=
+x．?
（3）存在點(diǎn)C. 如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對(duì)稱點(diǎn)，所以連接AB與拋物線的對(duì)稱軸x= - 1交AC于點(diǎn)C，此時(shí)
△AOC的周長(zhǎng)最小.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．
?
過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于x軸于點(diǎn)F，則BE=EO=EF=1.因?yàn)?/span>△BCE∽△BAF,所以
,?
所以
，所以CE=．因?yàn)辄c(diǎn)C在第二象限，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，）．?
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六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值
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例11（2010年天津）如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形
的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).?
（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
?
（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).
?
分析：本題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問(wèn)題糅合在一起，并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中．
?
解：（
1）如圖12，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)
，連接C與x軸交于點(diǎn)E，連接DE.?
若在邊OA上任取點(diǎn)
（與點(diǎn)E不重合），連接C、D、.?
由D
+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△
的周長(zhǎng)最小.?
因?yàn)?在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn)，所以 BC=3，DO=
O=2.?
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)的坐標(biāo)為
（0，-2），設(shè)直線C的解析式為y=kx+b，則
，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2x-2，令y=0，則x=1，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）；?
（2）如圖13，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)
，在CB邊上截取CG=2，連接G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2.因?yàn)?GC∥EF，GC=EF，所以 四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF.?
又 DC、EF的長(zhǎng)為定值，所以此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.
?
因?yàn)?在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D為OB的中點(diǎn)，CG=2,所以 BC=3，DO=
O=2,BG=1.?
所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)的坐標(biāo)為
（0，-2），設(shè)直線G的解析式為y=kx+b，則
，解得k=6，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=6x-2，令y=0，則x=
，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（+2，0）即F的坐標(biāo)為（
，0）?
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