兩個(gè)斜率和截距互換的一次函數(shù)
湖北省襄陽(yáng)市樊城區(qū)牛首鎮(zhèn)竹條一中 谷興武 張 琴
學(xué)習(xí)八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）《一次函數(shù)》內(nèi)容時(shí)經(jīng)常遇到這樣的習(xí)題：一次函數(shù)
與
的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置正確的是（??? ）
A.???????????????????? ????? B.?????????????????? ???? C.????????????????? ???? D.
筆者調(diào)查了本校的部分?jǐn)?shù)學(xué)教師，歸納有兩種方法傳授給學(xué)生，方法一：逐個(gè)去分析這四幅圖，就其中一幅圖而言，首先假定其中任意一條直線是
，由該直線的位置可得
與0的大小關(guān)系（即判斷出的符號(hào)），再用已確定符號(hào)的，試一試是否適合另一條直線的位置（假定另一條直線是），若適合，選擇該圖。方法二：也是逐個(gè)分析每一幅圖，任意假定其中一條直線是，得到一組的符號(hào)；再假定另一條直線是，也得到一組的符號(hào)，如果這兩組的符號(hào)一致，說明此圖正確。?
前不久筆者看到一本有關(guān)初中奧數(shù)的書中指出，直線
與的交點(diǎn)是
，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值1。本人當(dāng)時(shí)就預(yù)感到自己和部分教師對(duì)“一次函數(shù)與的圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致位置”的認(rèn)識(shí)欠深入，有必要再研究。?
一、從兩直線的交點(diǎn)入手
?
解一次函數(shù)
與組成的方程組，但是在解的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)
時(shí)（即
時(shí)），方程組才有唯一的一組解，即直線與在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)交點(diǎn)才是唯一的，且為，可見，這個(gè)交點(diǎn)只在直線
上(如圖1)。容易看出，當(dāng)
時(shí)，一次函數(shù)與成同一條直線了，所以筆者認(rèn)為文首題目的條件不嚴(yán)密，應(yīng)添加：.
?
二、從兩直線所在的象限入手
?
筆者分析，一次函數(shù)圖像的大致位置是由直線的斜率和它在y軸上的截距的符號(hào)來決定的，由于直線
與的斜率和在y軸上的截距是互相交換的，所以這兩條直線的位置互相牽制。當(dāng)同號(hào)時(shí)，直線與同時(shí)過相同的三個(gè)象限；當(dāng)異號(hào)時(shí)，它們不能同時(shí)過相同的三個(gè)象限。筆者通過探究，可歸為三類：?
1.
當(dāng)
且時(shí)，兩條直線都過一、二、三象限（如圖2）?
說明一下，圖形中
的位置可以互換（下文的圖3同），但是同時(shí)兩直線的解析式也發(fā)生互換。
?
2.當(dāng)
且時(shí)，兩條直線都過二、三、四象限（如圖3）
3.當(dāng)
時(shí)，過一、三、四象限，過一、二、四象限。?
當(dāng)
時(shí)，過一、二、四象限，過一、三、四象限。顯然，第三類的兩種情況可以合二為一：當(dāng)
異號(hào)時(shí)，若一條直線過一、三、四象限，則另一條直線必過一、二、四象限（如圖4）。反之，亦然。
?
總結(jié)?綜上所述，歸納如下：
?
情形 1? 當(dāng)
同正且不相等時(shí)，一次函數(shù)與的圖象在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)都過一、二、三象限，這兩條直線的交點(diǎn)一定在第一象限且在直線上.?
情形2?當(dāng)
同負(fù)且不相等時(shí)，這兩條直線都過二、三、四象限，交點(diǎn)一定在第四象限且也在直線上.?
情形3?
當(dāng)
異號(hào)時(shí)，它們其中一條直線過一、三、四象限，另一條直線過一、二、四象限，交點(diǎn)所在象限取決于
的符號(hào)，若
，交點(diǎn)在第一象限；若 
，交點(diǎn)在
軸上（1，0）處；若 
時(shí)，交點(diǎn)在第四象限。且交點(diǎn)必在直線上.?
三、應(yīng)用舉例
?
例1 現(xiàn)在，我們?cè)倩剡^頭來解決文章開頭的題目（最好加個(gè)條件
），首先從交點(diǎn)上分析，一次函數(shù)與的圖象在同一坐標(biāo)系內(nèi)的交點(diǎn)必在直線上，淘汰選項(xiàng)B、D；然后再?gòu)倪@兩條直線所經(jīng)過的象限來分析，只有上述總結(jié)的三種情形，從而在剩余的選項(xiàng)A、C中把A淘汰掉，選擇C. 顯然，此法優(yōu)于文章第二段介紹的方法。?
例2
設(shè)
且
，將一次函數(shù)與的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，則圖中正確的是（?。?/span>
?
分析 ?首先根據(jù)條件
，淘汰選項(xiàng)
，再從這兩條直線所經(jīng)過的象限來分析，觀察剩下的三個(gè)選項(xiàng)都符合前面總結(jié)的情形3，但是選項(xiàng)
中兩直線的交點(diǎn)所處的位置有所不同，從三幅圖可得：異號(hào)且
.又因已知，所以，可得交點(diǎn)在第四象限，故選
?
作者簡(jiǎn)介：谷興武，男，39歲，中學(xué)一級(jí)教師，任教初中數(shù)學(xué)多年，有一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。
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