巧用韋達定理的推論
湖北省黃石市下陸中學(xué) 陳 勇
韋達定理揭示了一元二次方程的兩根之和、之積與系數(shù)的關(guān)系，然而在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常還會遇到兩根之差、之比、平方和等問題，如果能將它們與系數(shù)建立起來關(guān)系，直接用這種關(guān)系來解題，豈不妙哉？下面是韋達定理的三個推論，它會給大家?guī)眢@喜．
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推論一 設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實根，則
。?
推論二 設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的兩個實根，令
,則
。?
推論三 設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實根，則
。?
利用上述推論來解題，顯得簡捷、明快、直觀，對提高同學(xué)們的解題能力很有幫助，下面舉例說明它們的應(yīng)用．
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一、求值
例1 已知x1、x2為方程2x2＋2x－1＝0的二根，則|x1－x2|的值為____
解: 由推論一，得：|x1－x2|=
例2 設(shè)x1、x2是方程x2＋6x＋q＝0的兩根，且3x1＋2x2＝0，則q＝____．
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解:由3x1＋
2x2＝0，得
。 由推論二，得：
∴q＝－216．例3 已知關(guān)于x的方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的兩實根的平方和等于6，求k的值．
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解 設(shè)方程x2－(k＋1)x＋k＋2＝0的兩根為x1、x2，
∴
，由題意知k2－3＝6，∴k2＝9，k＝±3．由于當(dāng)k＝3時，原方程無實根，∴k＝3應(yīng)舍去．故k的值為－3．
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二、求系數(shù)間的關(guān)系
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例4 如果方程x2＋px＋q＝0的一根為另一根的2倍，那么p，q所滿足的關(guān)系式是____．
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解：因為
，由推論二得
，即
。例5 方程x2＋px＋q＝0的兩根之差與x2＋qx＋p＝0的兩根之差相等，則p，q的關(guān)系式是____．????? (A)p＝q； (B)p＋q＝－4； (C)p＝q或p＋q＝－4； (D)無關(guān)．
解 設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為α，β，方程x2+qx+p=0的兩根為α′，β′，則
，
。由題意得
=
， ?
即(p－q)(p＋q＋4)＝0．∴p＝q或p＋q＝－4．故選(C)．
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三、求最值
例
7 已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋(k2＋3k＋5)=0的兩個實數(shù)根(其中k為實數(shù))，則
的最大值是????????? 。?
解：∵
又∵△＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0，
即3k2＋16k＋16≤0，∴解得
∴當(dāng)k=-4時，
的最大值是18。| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |