一元二次方程
江蘇省贛榆縣沙河中學(xué) 張慶華
【課標(biāo)要求】
【知識(shí)梳理】
1.靈活運(yùn)用四種解法解一元二次方程:一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法:直接開平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法:
x=
(b2-4ac≥0)
注意:掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo);主要數(shù)學(xué)方法有:配方法,換元法,“消元”與“降次”。
2.根的判別式及應(yīng)用(△=b2-4ac):
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3.根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)的應(yīng)用:韋達(dá)定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則x1+x2=—
,x1·x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系數(shù);
(2)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值;
(3)已知兩根求作方程;
(4)已知兩數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù);
(5)確定根的符號(hào):(x1,x2是方程兩根)。
應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí),要確保一元二次方程有根,即一定要判斷根的判別式是否非負(fù);求作一元二次方程時(shí),一般把求作方程的二次項(xiàng)系數(shù)設(shè)為1,即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數(shù)的值時(shí),需使二次項(xiàng)系數(shù)a≠0,同時(shí)滿足△≥0;求代數(shù)式的值,常用整體思想,把所求代數(shù)式變形成為含有兩根之和x1+x2,兩根之積x1x2的代數(shù)式的形式,整體代入。
4.一元二次方程的應(yīng)用:解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)的值,是否符合實(shí)際意義。
【能力訓(xùn)練】
一、選擇題
1、關(guān)于
的一元二次方程
的一個(gè)根是0,則
的值為( )
A、
B、
C、
或
D、
2、關(guān)于
的方程
的根的情況是( )
A、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C、無實(shí)數(shù)根 D、不能確定
3、如果關(guān)于
的方程
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù),那么
的值為( )
A、
B、
C、
D、
4、已知關(guān)于
的方程
有實(shí)數(shù)根,則
的取值范圍是( )
A、
B、
C、
D、
5、市政府為了申辦2010年冬奧會(huì)決定改善城市容貌,綠化環(huán)境,計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間,綠地面積增加44%,這兩年平均綠地面積的增長(zhǎng)率是( )
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程
的兩個(gè)根,則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是( )
A、
B、3 C、6 D、9
7、如果
是一元二次方程
的一個(gè)根,
是一元二次方程
的一個(gè)根,那么
的值是( )
A、1或2 B、0或
C、
或
D、0或3
8、若一元二次方程的兩根
、
滿足下列關(guān)系:
,
,則這個(gè)一元二次方程為( )
A、
B、
C、
D、
二、填空題
9、寫出一個(gè)一元二次方程使它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為零,該方程可以是_____________。
10、寫出一個(gè)一元二次方程,使它沒有實(shí)數(shù)解,該方程可以是_________。
11、寫出一個(gè)一元二次方程,使它的兩實(shí)數(shù)根之和為3,該方程可以是_____________。
12、寫出一個(gè)既能直接開方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
三、解下列方程
13、
14、
四、解答題
15、制造一種產(chǎn)品,原來每件的成本是500元,銷售價(jià)為625元,經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%,第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%,為了使第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)達(dá)到原來的水平,該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾?
16、如圖所示,四邊形
是矩形,
,
。動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā),點(diǎn)P以3cm/s的速度向D移動(dòng),直到D為止,Q以2cm/s的速度向B移動(dòng)。
⑴P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒后,四邊形ABQP的面積是矩形面積的
?何時(shí)四邊形ABQP的面積最大,最大是多少?
⑵P、Q從開始出發(fā)幾秒后,
?

17、已知
、
是關(guān)于
的一元二次方程
的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根,問
與
能否同號(hào)?若能同號(hào),請(qǐng)求出相應(yīng)的
的值的范圍;若不能同號(hào),請(qǐng)說明理由。
18、如圖,有矩形地ABCD一塊,要在中央修建一矩形花圃EFGH,使其面積為這塊地面積的一半,且花圃四周道路的寬相等,今無測(cè)量工具,只有無刻度的足夠長(zhǎng)的繩子一條,如何量出道路的寬?

參考答案:
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、B 7、D 8、B 9、答案不惟一,
10、答案不惟一,
11、答案不惟一,
12、答案不惟一,
13、
,
14、
15、設(shè)平均每月應(yīng)降低
,則
,
,
(不合題意,舍去)
16、⑴
秒,當(dāng)出發(fā)
后,面積最大為64平方厘米 ⑵0.8秒
17、當(dāng)
且
時(shí),
、
同號(hào),因?yàn)?/span>
。故只需保證
,且
即可,
,
。
18、設(shè)道路的寬為
,
,
,則
,
,由于
(不合,舍去)故
。具體做法是:用繩量出
,再減去
之長(zhǎng),將余下的
對(duì)折兩次,即得道路的寬
。
【課標(biāo)要求】
考點(diǎn) |
課標(biāo)要求 |
知識(shí)與技能目標(biāo) |
|||
了解 |
理解 |
掌握 |
靈活應(yīng)用 |
||
一元二次方程 |
了解一元二次方程的定義 |
∨ |
|
|
|
掌握一元二次方程的四種解法,并能靈活運(yùn)用 |
|
|
∨ |
∨ |
|
掌握一元二次方程根的判別式,并能運(yùn)用它解相應(yīng)問題 |
|
∨ |
∨ |
∨ |
|
掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,會(huì)用它們解決有關(guān)問題 |
|
∨ |
∨ |
∨ |
|
會(huì)解一元二次方程應(yīng)用題 |
|
|
∨ |
|
【知識(shí)梳理】
1.靈活運(yùn)用四種解法解一元二次方程:一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法:直接開平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法:
x=

注意:掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo);主要數(shù)學(xué)方法有:配方法,換元法,“消元”與“降次”。
2.根的判別式及應(yīng)用(△=b2-4ac):
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3.根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)的應(yīng)用:韋達(dá)定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則x1+x2=—


(1)已知一根求另一根及未知系數(shù);
(2)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值;
(3)已知兩根求作方程;
(4)已知兩數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù);
(5)確定根的符號(hào):(x1,x2是方程兩根)。
應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí),要確保一元二次方程有根,即一定要判斷根的判別式是否非負(fù);求作一元二次方程時(shí),一般把求作方程的二次項(xiàng)系數(shù)設(shè)為1,即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數(shù)的值時(shí),需使二次項(xiàng)系數(shù)a≠0,同時(shí)滿足△≥0;求代數(shù)式的值,常用整體思想,把所求代數(shù)式變形成為含有兩根之和x1+x2,兩根之積x1x2的代數(shù)式的形式,整體代入。
4.一元二次方程的應(yīng)用:解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)的值,是否符合實(shí)際意義。
【能力訓(xùn)練】
一、選擇題
1、關(guān)于



A、





2、關(guān)于


A、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C、無實(shí)數(shù)根 D、不能確定
3、如果關(guān)于



A、




4、已知關(guān)于



A、




5、市政府為了申辦2010年冬奧會(huì)決定改善城市容貌,綠化環(huán)境,計(jì)劃經(jīng)過兩年時(shí)間,綠地面積增加44%,這兩年平均綠地面積的增長(zhǎng)率是( )
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰好是方程

A、

7、如果





A、1或2 B、0或



8、若一元二次方程的兩根




A、


C、


二、填空題
9、寫出一個(gè)一元二次方程使它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為零,該方程可以是_____________。
10、寫出一個(gè)一元二次方程,使它沒有實(shí)數(shù)解,該方程可以是_________。
11、寫出一個(gè)一元二次方程,使它的兩實(shí)數(shù)根之和為3,該方程可以是_____________。
12、寫出一個(gè)既能直接開方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
三、解下列方程
13、

14、

四、解答題
15、制造一種產(chǎn)品,原來每件的成本是500元,銷售價(jià)為625元,經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%,第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%,為了使第二個(gè)月的銷售利潤(rùn)達(dá)到原來的水平,該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾?
16、如圖所示,四邊形



⑴P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始幾秒后,四邊形ABQP的面積是矩形面積的

⑵P、Q從開始出發(fā)幾秒后,


17、已知







18、如圖,有矩形地ABCD一塊,要在中央修建一矩形花圃EFGH,使其面積為這塊地面積的一半,且花圃四周道路的寬相等,今無測(cè)量工具,只有無刻度的足夠長(zhǎng)的繩子一條,如何量出道路的寬?

參考答案:
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、B 7、D 8、B 9、答案不惟一,







15、設(shè)平均每月應(yīng)降低




16、⑴


17、當(dāng)









18、設(shè)道路的寬為











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