分式的意義和性質(zhì)
一、分式的概念
1、用A、B表示兩個整式，A÷
B可以表示成
的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子 就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開。2、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式
的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因為用零做除數(shù)沒有意義。一般地說，在一個分式里，分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。3、（1）分式：
，當B=0時，分式無意義。?? （2）分式：
，當B≠0時，分式有意義。?? （3）分式：
，當
時，分式的值為零。?? （4）分式：
，當 
時，分式的值為1。
?? ?。?/span>5）分式：
，當 
時，即 
或
時， 為正數(shù)。?? ?。?/span>6）分式：
，當
時，即 
或 
時， 為負數(shù)。?? ?。?/span>7）分式：
，當 
時 或 
時，
為非負數(shù)。??? 二、分式的基本性質(zhì)：
1、學習分式的基本性質(zhì)應該與分數(shù)的基本性質(zhì)類比。不同點在于同乘以或同除以同一個不等于零的整式，這個整式可以是數(shù)也可以是字母，只要是不為零的整式。
2、這個性質(zhì)可用式子表示為：
（M為不等于零的整式）3、學習基本性質(zhì)應注意幾點：
?。?/span>1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零；
（2）易范錯誤是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
?。?/span>3）如果分子或分母是多項式時，必須乘以多項式的每一項。
4、分式變號法則的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。
5、分式的分子，分母和分式的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，如下列式子：
， 
。??? 三、約分：
1、約分是約去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化簡為最簡分式，最簡分式又叫既約分式。
2、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。
3、約分的方法：
（1）如果分式的分子和分母都是幾個因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次冪，當分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時，還要約去它們的最大公約數(shù)。
??? 四、例題分析
例1，請說出下列各式中哪些是整式，那些是分式？
（1）
?。?/span>2） 
（3） 
?。?/span>4）
（5） 
a2- 
a ?。?/span>6） 
。解：根據(jù)分式定義知（1）、（2）、（3）是分式，（
4）、（5）、（6）是整式。
說明：判斷一個代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。
這里
是分式，不能因為 = 
=a+b，而認為
是整式，a+b是分式 的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個不同的概念。
另外
是整式而不是分式。雖然分母中有π，但π不是字母而是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此
的除式中不含字母。例2，在分式（1）
（2） 
（3）
中，字母x的值有什么限制？解：（1）在
中，當x=2時，使得分母x-2=0，∴x≠2,
?。?/span>2）在
中，當x=-2時，使得分母x+2=0, ∴x≠-2,
?。?/span>3）在
中，當x=-2或x=3時，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴x≠-2且x≠3。
例3，x為何值時，分式
，（1）無意義；（2）值為零；（3）值為1；（4）值為非負數(shù)。解：（1）∵當分母2x+3=0時分式無意義，∴x=-
時，分式無意義。（2）∵當
時，分式值為零?！?/span>
，∴x=1時分式值為零?！ ?/span>（3）∵當
時，分式值為1，∴x=-4時分式值為1。
?。?/span>4）∵當
或 
時，分式值為非負數(shù)。∴
或 
∴ x≥1或x<-
時分式值為非負數(shù)。例4，當x取何值時，分式
（1）值為零；（2）無意義；（3）有意義。
解：（1）∵當(x+3)(x-1)≠0時，分式有意義，∴當x≠-3且x≠1
時分式有意義。
又∵6-2|x|=0時分式值為零，則3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。
∴
， ∴x=3時分式值為零。 解：（2）∵(x+3)(x-1)=0分式無意義，
即
x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1時分式無意義。
說明：對于（1）也可先令分子為零，求出字母的所有可能值為x=±3后，再逐一代入分母驗證是否為零，不為零者即為所求。
對于（2）當x+3=0或x-1=0時，都會使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵(x+3)(x-1)≠0
時分式有意義。
即x+3≠0且x-1≠0時，∴x≠-3且x≠
1時分式有意義，
說明：對于（3）分母(x+3)(x-1)只有不為零時，分式有意義，而(x+3)(x-1)≠0，當x+3=0或x-1=0都會使(x+3)(x-1)=0
，所以應將x=-3和x=1都同時排除掉，寫成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意義為x不能為-3而且還不能為1，即-3和1都不能取。因為取任何其中一個值，分母(x+3)(x-1)都會為0，而使分式都會無意義。
例5，寫出等式中未知的分子或分母：
?。?/span>1
）
； （2） 
；?。?/span>3） 
；?。?/span>1）分析：這類問題要從已知條件入手，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分析變化的過程，如（1）右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左邊分母為x+y，所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：
，∴未知的分子是(x-y)2, （2）分析：左邊分子a2-ab=a(a-b)，而右邊分子是a-b，所以需將左式的分子和分母同除以a。
解：
= 
，未知的分母是b。?。?/span>3）∵a2+ab=a(a+b)
（將分子因式分解）
∴
（比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以a）=
，2ab即為所求的分母。
例6，把下列分式的分子和分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)。
?。?/span>1）
； （2） 
；
?。?/span>1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為15，再據(jù)分數(shù)基本性質(zhì)，分子和分母同乘以15。
解：
= 
。
?。?/span>2）解：
= 
= 
注：必須乘以分子和分母的每一項，避免發(fā)生(0.2a+3b)
×10=2a+3b這樣的錯誤。
例7，不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含“-”號，（1）-
；（2）- 
。解：根據(jù)分式的符號法則得：
?。?/span>1）-
= 
； （2）-
=- 
。注意：分式、分子和分母的符號中，任意改變其中兩個，分式的值不變。（1）中改變分式本身和分母兩個負號，（2）中改變分子和分母兩個負號。
例8，不改變分式的值，依照x的降冪排列，使分子和分母中x的最高項的系數(shù)都為正數(shù)。
?。?/span>1）
；（2）-
。解：（1）
= 
= 
= 
；
?。?/span>2）-
=- 
=- 
=- 
。說明：解題可分為三步：（1）先將分式的分子和分母都按x的降冪排列，這步只是運用加法交換律，不改變符號。（2）將分子和分母的最高項系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式-1即可，提取時注意每項都要變號。（3）運用符號法則進行變號。
注意：如果分子或分母的首項為負，則必須先將負號提到括號外面，再使用符號法則，要注意避免下列的錯誤：
= 
。例9，約分：（1）
?。?/span>2）
。解：（1）
= 
= 
=-3yz10。注意：分母的因式約去后得1，分式變?yōu)檎?。若化簡分?/span>
時千萬不要犯下列錯誤： = 
=0。?。?/span>2）
= 
= 
=- 
。注意：分母的負號一般要移去。
?。?/span>2）如果分式的分子或分母是多項式，應先分解因式，然后再約分。
例10、約分：（1）
； （2）
；?。?/span>3）
；?。?/span>4） 
；?。?/span>5） 
。解：（1）
= 
。注意：不要把
約成 = 
，也不要將最后結(jié)果寫成
，因為分式的橫線表示括號，再寫括號就多余了。?。?/span>2）
= 
。注：不要將
約做 
，因為這樣是分子分母都減a2，不是同除以相同的整式。?。?/span>
3）
= 
= 
=x2+1。注：不要犯下面的錯誤：
=x3-x2。
?。?/span>4）
= 
= 
=
=- 
。注意：這里應用到了(2-x)3=-(x-2)3的變形。
（5）
= 
（分子按x的降冪排列）
=
（分子提取公因式-1）=
（分子、分母都分解因式）=
（約去公因式：x-1）=-
（應用分式的符號法則）說明：此題的解法，一方面顯示出分式約分的一般步驟，另一方面在解題的右側(cè)的括號內(nèi)寫出運算的算理，平日的化簡是不寫這些的，但不是它不存在，在思維上它是不可缺少的。
分數(shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分，而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分，就是說，分式乘除法運算的實質(zhì)是約分，它能使運算的結(jié)果化為最簡分式。同分數(shù)的約分一樣，分式的約分是應用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子、分母同除以它們的公因式，把分式化簡，因此約分的關(guān)鍵在于正確尋找到分式分子、分母中的公因式。
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導 | 中考復習資料 |