分式運(yùn)算的技巧
【精練】計(jì)算：
【分析】本題中有四個(gè)分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運(yùn)算難度較大.不過(guò)我們注意到若把前兩個(gè)分式相加，其結(jié)果卻是非常簡(jiǎn)單的.因此我們可以采用逐項(xiàng)相加的辦法.
【解】
=
????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知識(shí)大串聯(lián)】
??? 1．分式的有關(guān)概念
??? 設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子
就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義??? 分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn)
2、分式的基本性質(zhì)
?
（M為不等于零的整式）3．分式的運(yùn)算
? (分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似)．
??
?(異分母相加，先通分)；
?? 
4．零指數(shù)?
5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
注意正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)??
可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
分式是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其運(yùn)算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過(guò)程復(fù)雜化，而且出錯(cuò)率高．下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明分式運(yùn)算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
1．順次相加法
例1：計(jì)算：
【分析】本題的解法與例1完全一樣.
【解】
=
????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整體通分法
【例2】計(jì)算：
【分析】本題是一個(gè)分式與整式的加減運(yùn)算.如能把（-a-1）看作一個(gè)整體，并提取“-”后在通分會(huì)使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
【解】
=
=
.3．化簡(jiǎn)后通分
分析：直接通分，極其繁瑣，不過(guò)，各個(gè)分式并非最簡(jiǎn)分式，有化簡(jiǎn)的余地，顯然，化簡(jiǎn)后再通分計(jì)算會(huì)方便許多．
4．巧用拆項(xiàng)法
例4計(jì)算：
.分析：本題的10個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到
，這樣可抵消一些項(xiàng).解：原式=
????????? =
????????? =
=
5．分組運(yùn)算法
例5：計(jì)算：
分析：本題項(xiàng)數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時(shí)，可考慮分組.分組的原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【錯(cuò)題警示】
一、錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)
例1????????? 化簡(jiǎn)
錯(cuò)解：原式
分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
正解：原式
二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序
例2???????? 計(jì)算
錯(cuò)解：原式
分析：乘除是同一級(jí)運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.
正解：原式
三、錯(cuò)在約分
例1? 當(dāng)
為何值時(shí)，分式
有意義？[錯(cuò)解]原式
.由
得
.∴
時(shí)，分式有意義.[解析]上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式
，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.[正解]由
得
且.∴當(dāng)
且，分式有意義.四、錯(cuò)在以偏概全
例2?
為何值時(shí)，分式
有意義？[錯(cuò)解]當(dāng)
，得
.∴當(dāng)
，原分式有意義.[解析]上述解法中只考慮
的分母，沒(méi)有注意整個(gè)分母
，犯了以偏概全的錯(cuò)誤.[正解]
，得，由
，得
.∴當(dāng)
且時(shí)，原分式有意義.五、錯(cuò)在計(jì)算去分母
例3? 計(jì)算
.[錯(cuò)解]原式
=
.[解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母，.
[正解]原式
.六、錯(cuò)在只考慮分子沒(méi)有顧及分母
例4? 當(dāng)
為何值時(shí)，分式
的值為零.[錯(cuò)解]由
，得
.∴當(dāng)
或時(shí)，原分式的值為零.[解析]當(dāng)
時(shí)，分式的分母
，分式無(wú)意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不能為零的條件.[正解]由由
，得.由
，得
且.∴當(dāng)
時(shí)，原分式的值為零.七、錯(cuò)在“且”與“或”的用法
例7?
為何值時(shí)，分式
有意義錯(cuò)解：要使分式有意義，
須滿足
，即
.由
得，或由
得
.
當(dāng)或時(shí)原分式有意義.分析：上述解法由
得或是錯(cuò)誤的.因?yàn)?sub>
與中的一個(gè)式子成立并不能保證一定成立，只有與同時(shí)成立，才能保證一定成立.故本題的正確答案是
且.八、錯(cuò)在忽視特殊情況
例8????????? 解關(guān)于
的方程
.錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以
，得
，即
.當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，原方程無(wú)解.分析：當(dāng)
時(shí)，原方程變?yōu)?sub>
取任何值都不能滿足這個(gè)方程，錯(cuò)解只注意了對(duì)的討論，而忽視了的特殊情況的討論.正解：方程兩邊同時(shí)乘以
，得，即當(dāng)
且時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解.【分析】本題中有四個(gè)分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運(yùn)算難度較大.不過(guò)我們注意到若把前兩個(gè)分式相加，其結(jié)果卻是非常簡(jiǎn)單的.因此我們可以采用逐項(xiàng)相加的辦法.
【解】
=????????????????????????????? =
????????????????????????????? =
【知識(shí)大串聯(lián)】
??? 1．分式的有關(guān)概念
??? 設(shè)A、B表示兩個(gè)整式．如果B中含有字母，式子
就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義??? 分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn)
2、分式的基本性質(zhì)
?（M為不等于零的整式）3．分式的運(yùn)算
? (分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似)．
??
?(異分母相加，先通分)；?? 4．零指數(shù)?
5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
注意正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)??
可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
分式是初中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其運(yùn)算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過(guò)程復(fù)雜化，而且出錯(cuò)率高．下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明分式運(yùn)算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
1．順次相加法
例1：計(jì)算：
【分析】本題的解法與例1完全一樣.
【解】
=????????????????????????????? =
???????????????????????? ?????=
2．整體通分法
【例2】計(jì)算：
【分析】本題是一個(gè)分式與整式的加減運(yùn)算.如能把（-a-1）看作一個(gè)整體，并提取“-”后在通分會(huì)使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
【解】
==.3．化簡(jiǎn)后通分
分析：直接通分，極其繁瑣，不過(guò)，各個(gè)分式并非最簡(jiǎn)分式，有化簡(jiǎn)的余地，顯然，化簡(jiǎn)后再通分計(jì)算會(huì)方便許多．
4．巧用拆項(xiàng)法
例4計(jì)算：
.分析：本題的10個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到
，這樣可抵消一些項(xiàng).解：原式
=
????????? =
????????? =
=5．分組運(yùn)算法
例5：計(jì)算：
分析：本題項(xiàng)數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時(shí)，可考慮分組.分組的原則是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便.
解：
???? =
???? =
???? =
???? =
???? =
【錯(cuò)題警示】
一、錯(cuò)用分式的基本性質(zhì)
例1????????? 化簡(jiǎn)
錯(cuò)解：原式
分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
正解：原式
二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序
例2???????? 計(jì)算
錯(cuò)解：原式
分析：乘除是同一級(jí)運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.
正解：原式
三、錯(cuò)在約分
例1? 當(dāng)
為何值時(shí)，分式有意義？[錯(cuò)解]原式
.由
得.∴
時(shí)，分式有意義.[解析]上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式
，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.[正解]由
得且.∴當(dāng)
且，分式有意義.四、錯(cuò)在以偏概全
例2?
為何值時(shí)，分式有意義？[錯(cuò)解]當(dāng)
，得.∴當(dāng)
，原分式有意義.[解析]上述解法中只考慮
的分母，沒(méi)有注意整個(gè)分母，犯了以偏概全的錯(cuò)誤.[正解]
，得，由
，得.∴當(dāng)
且時(shí)，原分式有意義.五、錯(cuò)在計(jì)算去分母
例3? 計(jì)算
.[錯(cuò)解]原式
=
.[解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母，.
[正解]原式
.六、錯(cuò)在只考慮分子沒(méi)有顧及分母
例4? 當(dāng)
為何值時(shí)，分式的值為零.[錯(cuò)解]由
，得.∴當(dāng)
或時(shí)，原分式的值為零.[解析]當(dāng)
時(shí)，分式的分母，分式無(wú)意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是忽視了分母不能為零的條件.[正解]由由
，得.由
，得且.∴當(dāng)
時(shí)，原分式的值為零.七、錯(cuò)在“且”與“或”的用法
例7?
為何值時(shí)，分式有意義錯(cuò)解：要使分式有意義，
須滿足，即.由
得，或由得. 當(dāng)或時(shí)原分式有意義.分析：上述解法由
得或是錯(cuò)誤的.因?yàn)?sub>與中的一個(gè)式子成立并不能保證一定成立，只有與同時(shí)成立，才能保證一定成立.故本題的正確答案是
且.八、錯(cuò)在忽視特殊情況
例8????????? 解關(guān)于
的方程.錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)乘以
，得，即.當(dāng)
時(shí)，，當(dāng)
時(shí)，原方程無(wú)解.分析：當(dāng)
時(shí)，原方程變?yōu)?sub>取任何值都不能滿足這個(gè)方程，錯(cuò)解只注意了對(duì)的討論，而忽視了的特殊情況的討論.正解：方程兩邊同時(shí)乘以
，得，即當(dāng)
且時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解.
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |