??? 本周授課內(nèi)容：一元一次方程的解法
重點(diǎn)：等式的性質(zhì)，同類(lèi)項(xiàng)的概念及正確合并同類(lèi)項(xiàng)，各種情形的一元一次方程的解法；
難點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行方程同解變形(即進(jìn)行移項(xiàng)，去分母，去括號(hào)，系數(shù)化一等步驟的符號(hào)問(wèn)題，遺漏問(wèn)題)；
學(xué)習(xí)要點(diǎn)評(píng)述：對(duì)初學(xué)的同學(xué)來(lái)講，解一元一次方程的方法很容易掌握，但此處有點(diǎn)類(lèi)似于前面的有理數(shù)混合運(yùn)算，每個(gè)題都感覺(jué)會(huì)做，但就是不能保證全對(duì)。從而在學(xué)習(xí)時(shí)一方面要反復(fù)關(guān)注方程變形的法則依據(jù)，用法則指導(dǎo)變形步驟，另一方面還需不斷關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)和追求計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷。
范例分析：
例1.
(1)下列結(jié)論中正確的是( )
A.在等式3a-6=3b+5的兩邊都除以3，可得等式a-2=b+5
B.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x-3，可以得等式6x-3=4x+6
C.在等式-5=0.1x的兩邊都除以0.1，可以得等式x=0.5
D.如果-2=x，那么x=-2
(2)解方程20-3x=5，移項(xiàng)后正確的是( )
A.-3x=5+20 B.20-5=3x C.3x=5-20 D.-3x=-5-20
(3)解方程-x=-30，系數(shù)化為1正確的是( )
A.-x=30 B.x=-30 C.x=30 D.
(4)解方程
，下列變形較簡(jiǎn)便的是( )A.方程兩邊都乘以20，得4(5x-120)=140
B.方程兩邊都除以
，得
C.去括號(hào)，得x-24=7
D.方程整理，得
解析：
(1) 正確選項(xiàng)D。方程同解變形的理論依據(jù)一為數(shù)的運(yùn)算法則，運(yùn)算性質(zhì)；一為等式性質(zhì)(1)、(2)、(3)，通常都用后者，性質(zhì)中的關(guān)鍵詞是“兩邊都”和“同一個(gè)”，即對(duì)等式變形必須兩邊同時(shí)進(jìn)行加或減或乘或除以，不可漏掉一邊、一項(xiàng)，并且加減乘或除以的數(shù)或式完全相同。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，原因是沒(méi)有將“等號(hào)”右邊的每一項(xiàng)都除以3；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，原因是左邊減去x-3時(shí)，應(yīng)寫(xiě)作“-(x-3)”而不“-x-3”，這里有一個(gè)去括號(hào)的問(wèn)題；C亦錯(cuò)誤，原因是思維跳躍短路，一邊記著是除以而到另一邊變?yōu)槌艘粤耍瑢?duì)一般象這樣小數(shù)的除法可以運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算法則變成乘以其倒數(shù)較為簡(jiǎn)捷，選項(xiàng)D正確，這恰好是等式性質(zhì)③對(duì)稱(chēng)性即a=b
b=a。(2) 正確選項(xiàng)B。解方程的“移項(xiàng)”步驟其實(shí)質(zhì)就是在“等式的兩邊同加或減同一個(gè)數(shù)或式”性質(zhì)①，運(yùn)用該性質(zhì)且化簡(jiǎn)后恰相當(dāng)于將等式一邊的一項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，簡(jiǎn)單概括就成了“移項(xiàng)”步驟，此外最易錯(cuò)的就是“變號(hào)”的問(wèn)題，如此題選項(xiàng)A、C、D均出錯(cuò)在此處。解決這類(lèi)易錯(cuò)點(diǎn)的辦法是：或記牢移項(xiàng)過(guò)程中的符號(hào)法則，操作此步驟時(shí)就予以關(guān)注；或明析其原理，移項(xiàng)就是兩邊同加或減該項(xiàng)的相反數(shù)，使該項(xiàng)原所在的這邊不再含該項(xiàng)----即代數(shù)和為0。
(3)正確選項(xiàng)C。選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤的原因雖為計(jì)算出錯(cuò)，但細(xì)究原因都是在變形時(shí)，法則等式性質(zhì)指導(dǎo)變形意識(shí)淡，造成思維短路所致。
(4)等式性質(zhì)及方程同解變形的法則雖精煉，但也很宏觀，具體到每一個(gè)題還需視題目的具體特點(diǎn)靈活運(yùn)用，解一道題目我們不光追求解出，還應(yīng)有些簡(jiǎn)捷意識(shí)，如此處的選項(xiàng)A、B、D所提供方法雖然都是可行方法，但與選項(xiàng)C相比，都顯得繁。
例2.
(1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能夠合并成一項(xiàng)，試求m+n的值。
(2)下列合并錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )
①5x6+8x6=13x12
②3a+2b=5ab
③8y2-3y2=5
④6anb2n-6a2nbn=0
(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)3個(gè) (D)4個(gè)
解析：
(1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能夠合并，則說(shuō)明它們是同類(lèi)項(xiàng)，即所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同。此題兩式均各含三個(gè)字母n、x、y和m、x、y，若把m、n分別看成2個(gè)字母，則此題顯然與概念題設(shè)不合，故應(yīng)該把m、n看作是可由已知條件求出的常數(shù)，從而該歸并為單項(xiàng)式的系數(shù)，再?gòu)耐?lèi)項(xiàng)的概念出發(fā)，有：
解得m=3 ,n=5
從而m+n=8
評(píng)述：運(yùn)用概念定義解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，本題就是準(zhǔn)確地理解了“同類(lèi)項(xiàng)”、“合并”的概念，認(rèn)真進(jìn)行了邏輯判斷；確定了m、n為可確定值的系數(shù)。
(2)“合并”只能在同類(lèi)項(xiàng)之間進(jìn)行，且只對(duì)同類(lèi)項(xiàng)間的系數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，這里的實(shí)質(zhì)是逆用乘法對(duì)加法的分配律，所以4個(gè)合并運(yùn)算，全部錯(cuò)誤，其中②、④就不是同類(lèi)項(xiàng)，不可合并，①、②分別應(yīng)為：5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2
例3.解下列方程
(1)8-9x=9-8x
(2)
(3)
(4)
解：
(1)8-9x=9-8x
-9x+8x=9-8
-x=1
x=-1
易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：移項(xiàng)時(shí)忘了變號(hào)；
(2)
法一：
4(2x-1)-3(5x+1)=24
8x-4-15x-3=24
-7x=31
易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘兼約分去括號(hào)，有同學(xué)跳步急趕忘了， 4(2x-1)化為8x-1，分配需逐項(xiàng)分配，
-3(5x+1)化為-15x+3忘了去括號(hào)變號(hào)；
法二：(就用分?jǐn)?shù)算)
此處易錯(cuò)點(diǎn)是第一步拆分式時(shí)將
，忽略此處有一個(gè)括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)的問(wèn)題，即
；(3)
6x-3(3-2x)=6-(x+2)
6x-9+6x=6-x-2
12x+x=4+9
13x=13
x=1
易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘，每項(xiàng)均乘到，去括號(hào)注意變號(hào)；
(4)
2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)
8x-3-25x+4=12-10x
8x-25x+10x=12+3-4
-7x=11
評(píng)述：此題首先需面對(duì)分母中的小數(shù)，有同學(xué)會(huì)忘了小數(shù)運(yùn)算的細(xì)則，不能發(fā)現(xiàn)
，而是兩邊同乘以0.5×0.2進(jìn)行去分母變形，更有思維跳躍的同學(xué)認(rèn)為0.5×0.2=1，兩邊同乘以1，將方程變形為：0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)概述：無(wú)論什么樣的一元一次方程，其解題步驟概括無(wú)非就是“移項(xiàng)，合并，未知數(shù)系數(shù)化1”這幾個(gè)步驟，從操作步驟上來(lái)講很容易掌握，但由于進(jìn)行每個(gè)步驟時(shí)都有些需注意的細(xì)節(jié)，許多都是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維瑕點(diǎn)，需反復(fù)關(guān)注，并落實(shí)理解記憶才能保證解方程問(wèn)題――做的正確率。若仍不夠自信，還可以用檢驗(yàn)步驟予以輔助，理解方程“解”的概念。
例4.下列方程后面括號(hào)內(nèi)的數(shù)，都是該方程的解的是( )
A.4x-1=9
B.
C.x2+2=3x (-1，2)
D.(x-2)(x+5)=0 (2，-5)
分析：依據(jù)方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的值，分別將括號(hào)內(nèi)的數(shù)代入方程兩邊，求方程兩邊代數(shù)式的值，只有選項(xiàng)D中的方程式成立，故選D。
評(píng)述：依據(jù)方程解的概念，解完方程后，若能有將解代入方程檢驗(yàn)的習(xí)慣將有助于促使發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，提高解題的正確率。
例5.根據(jù)以下兩個(gè)方程解的情況討論關(guān)于x的方程ax=b(其中a、b為常數(shù))解的情況。
(1)3x+1=3(x-1)
(2)
解:
(1)3x+1=3(x-1)
3x-3x=-3-1
0·x=-4
顯然，無(wú)論x取何值，均不能使等式成立，所以方程3x+1=3(x-1)無(wú)解。
(2)
0·x=0
顯然，無(wú)論x取何值，均可使方程成立，所以該方程的解為任意數(shù)。
由(1)(2)可歸納：
對(duì)于方程ax=b
當(dāng)a≠0時(shí)，它的解是
；當(dāng)a=0時(shí)，又分兩種情況：
①當(dāng)b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，任意數(shù)均為方程的解；
②當(dāng)b≠0時(shí)，方程無(wú)解。
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