2012中考數(shù)學(xué)沖刺 一元一次方程解方程

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     ??? 本周授課內(nèi)容:一元一次方程的解法
    重點(diǎn):等式的性質(zhì),同類(lèi)項(xiàng)的概念及正確合并同類(lèi)項(xiàng),各種情形的一元一次方程的解法;
    難點(diǎn):準(zhǔn)確運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行方程同解變形(即進(jìn)行移項(xiàng),去分母,去括號(hào),系數(shù)化一等步驟的符號(hào)問(wèn)題,遺漏問(wèn)題);
    學(xué)習(xí)要點(diǎn)評(píng)述:對(duì)初學(xué)的同學(xué)來(lái)講,解一元一次方程的方法很容易掌握,但此處有點(diǎn)類(lèi)似于前面的有理數(shù)混合運(yùn)算,每個(gè)題都感覺(jué)會(huì)做,但就是不能保證全對(duì)。從而在學(xué)習(xí)時(shí)一方面要反復(fù)關(guān)注方程變形的法則依據(jù),用法則指導(dǎo)變形步驟,另一方面還需不斷關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)和追求計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷。
    范例分析:
    例1.
    (1)下列結(jié)論中正確的是(   )
    A.在等式3a-6=3b+5的兩邊都除以3,可得等式a-2=b+5
    B.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x-3,可以得等式6x-3=4x+6
    C.在等式-5=0.1x的兩邊都除以0.1,可以得等式x=0.5
    D.如果-2=x,那么x=-2
    (2)解方程20-3x=5,移項(xiàng)后正確的是(   )
    A.-3x=5+20   B.20-5=3x   C.3x=5-20   D.-3x=-5-20
    (3)解方程-x=-30,系數(shù)化為1正確的是(   )
    A.-x=30   B.x=-30   C.x=30   D.
    (4)解方程 ,下列變形較簡(jiǎn)便的是(   )
    A.方程兩邊都乘以20,得4(5x-120)=140
    B.方程兩邊都除以 ,得
    C.去括號(hào),得x-24=7
    D.方程整理,得
    解析:
    (1) 正確選項(xiàng)D。方程同解變形的理論依據(jù)一為數(shù)的運(yùn)算法則,運(yùn)算性質(zhì);一為等式性質(zhì)(1)、(2)、(3),通常都用后者,性質(zhì)中的關(guān)鍵詞是“兩邊都”和“同一個(gè)”,即對(duì)等式變形必須兩邊同時(shí)進(jìn)行加或減或乘或除以,不可漏掉一邊、一項(xiàng),并且加減乘或除以的數(shù)或式完全相同。選項(xiàng)A錯(cuò)誤,原因是沒(méi)有將“等號(hào)”右邊的每一項(xiàng)都除以3;選項(xiàng)B錯(cuò)誤,原因是左邊減去x-3時(shí),應(yīng)寫(xiě)作“-(x-3)”而不“-x-3”,這里有一個(gè)去括號(hào)的問(wèn)題;C亦錯(cuò)誤,原因是思維跳躍短路,一邊記著是除以而到另一邊變?yōu)槌艘粤耍瑢?duì)一般象這樣小數(shù)的除法可以運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算法則變成乘以其倒數(shù)較為簡(jiǎn)捷,選項(xiàng)D正確,這恰好是等式性質(zhì)③對(duì)稱(chēng)性即a=bb=a。
    (2) 正確選項(xiàng)B。解方程的“移項(xiàng)”步驟其實(shí)質(zhì)就是在“等式的兩邊同加或減同一個(gè)數(shù)或式”性質(zhì)①,運(yùn)用該性質(zhì)且化簡(jiǎn)后恰相當(dāng)于將等式一邊的一項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊,簡(jiǎn)單概括就成了“移項(xiàng)”步驟,此外最易錯(cuò)的就是“變號(hào)”的問(wèn)題,如此題選項(xiàng)A、C、D均出錯(cuò)在此處。解決這類(lèi)易錯(cuò)點(diǎn)的辦法是:或記牢移項(xiàng)過(guò)程中的符號(hào)法則,操作此步驟時(shí)就予以關(guān)注;或明析其原理,移項(xiàng)就是兩邊同加或減該項(xiàng)的相反數(shù),使該項(xiàng)原所在的這邊不再含該項(xiàng)----即代數(shù)和為0。
    (3)正確選項(xiàng)C。選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤的原因雖為計(jì)算出錯(cuò),但細(xì)究原因都是在變形時(shí),法則等式性質(zhì)指導(dǎo)變形意識(shí)淡,造成思維短路所致。
    (4)等式性質(zhì)及方程同解變形的法則雖精煉,但也很宏觀,具體到每一個(gè)題還需視題目的具體特點(diǎn)靈活運(yùn)用,解一道題目我們不光追求解出,還應(yīng)有些簡(jiǎn)捷意識(shí),如此處的選項(xiàng)A、B、D所提供方法雖然都是可行方法,但與選項(xiàng)C相比,都顯得繁。
    例2.
    (1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能夠合并成一項(xiàng),試求m+n的值。
    (2)下列合并錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(   )
    ①5x6+8x6=13x12  
    ②3a+2b=5ab  
    ③8y2-3y2=5  
    ④6anb2n-6a2nbn=0
    (A)1個(gè)   (B)2個(gè)   (C)3個(gè)   (D)4個(gè)
    解析:
    (1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能夠合并,則說(shuō)明它們是同類(lèi)項(xiàng),即所含字母相同,且相同字母的指數(shù)也相同。此題兩式均各含三個(gè)字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分別看成2個(gè)字母,則此題顯然與概念題設(shè)不合,故應(yīng)該把m、n看作是可由已知條件求出的常數(shù),從而該歸并為單項(xiàng)式的系數(shù),再?gòu)耐?lèi)項(xiàng)的概念出發(fā),有:
    解得m=3 ,n=5
    從而m+n=8
    評(píng)述:運(yùn)用概念定義解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法之一,本題就是準(zhǔn)確地理解了“同類(lèi)項(xiàng)”、“合并”的概念,認(rèn)真進(jìn)行了邏輯判斷;確定了m、n為可確定值的系數(shù)。
    (2)“合并”只能在同類(lèi)項(xiàng)之間進(jìn)行,且只對(duì)同類(lèi)項(xiàng)間的系數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算化簡(jiǎn),這里的實(shí)質(zhì)是逆用乘法對(duì)加法的分配律,所以4個(gè)合并運(yùn)算,全部錯(cuò)誤,其中②、④就不是同類(lèi)項(xiàng),不可合并,①、②分別應(yīng)為:5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2
    例3.解下列方程
    (1)8-9x=9-8x
    (2)
    (3)
    (4)
    解:
    (1)8-9x=9-8x
    -9x+8x=9-8
    -x=1
    x=-1
      易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注:移項(xiàng)時(shí)忘了變號(hào);
    (2)
    法一:
    
    4(2x-1)-3(5x+1)=24
    8x-4-15x-3=24
    -7x=31
    
    易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注:兩邊同乘兼約分去括號(hào),有同學(xué)跳步急趕忘了, 4(2x-1)化為8x-1,分配需逐項(xiàng)分配,
    -3(5x+1)化為-15x+3忘了去括號(hào)變號(hào);
    法二:(就用分?jǐn)?shù)算)
    
    
    
    
    
    
    此處易錯(cuò)點(diǎn)是第一步拆分式時(shí)將 ,忽略此處有一個(gè)括號(hào)前面是負(fù)號(hào),去掉括號(hào)要變號(hào)的問(wèn)題,即 ;
    (3)
    6x-3(3-2x)=6-(x+2)
    6x-9+6x=6-x-2
    12x+x=4+9
    13x=13
    x=1
    易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注:兩邊同乘,每項(xiàng)均乘到,去括號(hào)注意變號(hào);
    (4)
    2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)
    8x-3-25x+4=12-10x
    8x-25x+10x=12+3-4
    -7x=11
    
      評(píng)述:此題首先需面對(duì)分母中的小數(shù),有同學(xué)會(huì)忘了小數(shù)運(yùn)算的細(xì)則,不能發(fā)現(xiàn) ,而是兩邊同乘以0.5×0.2進(jìn)行去分母變形,更有思維跳躍的同學(xué)認(rèn)為0.5×0.2=1,兩邊同乘以1,將方程變形為:0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)
    概述:無(wú)論什么樣的一元一次方程,其解題步驟概括無(wú)非就是“移項(xiàng),合并,未知數(shù)系數(shù)化1”這幾個(gè)步驟,從操作步驟上來(lái)講很容易掌握,但由于進(jìn)行每個(gè)步驟時(shí)都有些需注意的細(xì)節(jié),許多都是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維瑕點(diǎn),需反復(fù)關(guān)注,并落實(shí)理解記憶才能保證解方程問(wèn)題――做的正確率。若仍不夠自信,還可以用檢驗(yàn)步驟予以輔助,理解方程“解”的概念。
     例4.下列方程后面括號(hào)內(nèi)的數(shù),都是該方程的解的是(   )
    A.4x-1=9    
    B.
    C.x2+2=3x    (-1,2)
    D.(x-2)(x+5)=0 (2,-5)
    分析:依據(jù)方程解的概念,解就是代入方程能使等式成立的值,分別將括號(hào)內(nèi)的數(shù)代入方程兩邊,求方程兩邊代數(shù)式的值,只有選項(xiàng)D中的方程式成立,故選D。
    評(píng)述:依據(jù)方程解的概念,解完方程后,若能有將解代入方程檢驗(yàn)的習(xí)慣將有助于促使發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn),提高解題的正確率。
    例5.根據(jù)以下兩個(gè)方程解的情況討論關(guān)于x的方程ax=b(其中a、b為常數(shù))解的情況。
    (1)3x+1=3(x-1)
    (2)
    解:
    (1)3x+1=3(x-1)
    3x-3x=-3-1
    0·x=-4
    顯然,無(wú)論x取何值,均不能使等式成立,所以方程3x+1=3(x-1)無(wú)解。
    (2)
    
    0·x=0
    顯然,無(wú)論x取何值,均可使方程成立,所以該方程的解為任意數(shù)。
    由(1)(2)可歸納:
    對(duì)于方程ax=b
    當(dāng)a≠0時(shí),它的解是
    當(dāng)a=0時(shí),又分兩種情況:
    ①當(dāng)b=0時(shí),方程有無(wú)數(shù)個(gè)解,任意數(shù)均為方程的解;
    ②當(dāng)b≠0時(shí),方程無(wú)解。
    
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