解直角三角形與直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和作圖有著密切的聯(lián)系，是在深入研究幾何圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知條件，計(jì)算直角三角形未知的邊長(zhǎng)、角的大小和面積等。首先要明確解直角三角形的依據(jù)和思路：在直角三角形中，我們是用三條邊的比來(lái)表述銳角三角函數(shù)的定義。因此，銳角三角函數(shù)的定義本質(zhì)上揭示了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它是解直角三角形的基礎(chǔ)。每個(gè)邊角關(guān)系式都可看作方程，解直角三角形的思路，實(shí)際上就是根據(jù)已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關(guān)系式，通過(guò)解方程來(lái)求解。
例1. 如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且
，求AB的長(zhǎng)。
圖1
思路1：所求AB是
的斜邊，但在中只知一個(gè)銳角A等于
，暫不可解。而在
中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解入手。解法1：在
中，因
，且
，AE＝1故
在
中，由
，得
在
中，由
，得
思路2：觀察圖形可知，CD、DE分別是
和
斜邊上的高，具備應(yīng)用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得
在
中，由
，得
在
中，由
，得
點(diǎn)拔：本題是由幾個(gè)直角三角形組合而成的圖形，這樣的問(wèn)題，可先解出已經(jīng)具備條件的直角三角形，從而逐步創(chuàng)造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，因而在解直角三角形時(shí)經(jīng)常要用到。
例2. 如圖2，在
中，
，AD是BC邊上的中線。（1）若
，
，求AD的長(zhǎng)。（2）若
，求證：
圖2
分析：（1）由AD是BC邊上的中線，只知DC一條邊長(zhǎng)，僅此無(wú)法直接在
中求解AD。而在中，由已知BC邊和
可以先求出AC，從而使可解。（2）
和
分別為和中的銳角，且都以直角邊AC為對(duì)邊，抓住圖形的這個(gè)特征，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以證明解：（1）在
中，
，
在
中，
（2）證明：在
中，由
，
，得
在
中，由
，
得
故
，又因BC＝2DC，故點(diǎn)拔：在解直角三角形的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個(gè)直角三角形的圖形。隨著D點(diǎn)在BC邊上位置的變化，會(huì)引起直角三角形中有關(guān)圖形數(shù)量相應(yīng)的變化，從而呈現(xiàn)出許多不同的解直角三角形問(wèn)題。
例3. 如圖3，在
中，，AD是
的平分線。（1）若
，求（2）在（1）的條件下，若BD＝4，求
圖3
分析：在（1）中已知AD是
的平分線，又知AB、BD這兩條線段的比為
，應(yīng)用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，就能把已知條件集中轉(zhuǎn)化到中，先求出
即可求得。解：（1）由AD是
的平分線，得
，即
在
中，由
，得
，
（2）由
，得
由
，得
。又
點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意三角形中主要線段的性質(zhì)，利用平面幾何的有關(guān)定理，往往能夠建立已知與未知的聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的突破口。
例4. 如圖4，在
中，，D為BC上一點(diǎn)，
，
，BD＝1，求AB。
圖4
分析：已知的角告訴我們，
和都是特殊的直角三角形，抓住這個(gè)特點(diǎn)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，可以列出一元一次方程求解解：在
中，設(shè)
，由，可知，得
，
在
中，由，BD＝1，
，得
得
點(diǎn)撥：解直角三角形時(shí)，要注意發(fā)掘圖形的幾何性質(zhì)，利用線段和差的等量關(guān)系布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函數(shù)值，以使解答過(guò)程的表述簡(jiǎn)便。
訓(xùn)練題：
如圖5，在
中，D、F分別在AC、BC上，且
，
，
，求AC。
圖5
（提示：
是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直角邊AC在斜邊上的射影，AC又為所求，已知的另外兩邊都在
中，且
，即是等腰三角形，因此，可以過(guò)D作
，從而找到解題思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC）?| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |