暑假過后，新初三生們迎來了初中最重要的一年——初三。為方便2013年中考考生及家長查詢相關(guān)信息，出國留學(xué)網(wǎng)中考頻道特別搜集匯總了中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)以供參考：
所謂理論保級分?jǐn)?shù)，就是指一般來講，一個(gè)參賽球隊(duì)只要達(dá)到了這個(gè)分?jǐn)?shù)，無論別的球隊(duì)的成績?nèi)绾?，都能保證自己不會降級。這個(gè)分?jǐn)?shù)無疑能給那些成績不佳的球隊(duì)的一個(gè)有效的參考，幫助他們調(diào)整策略。
當(dāng)然，不僅是我國的足球聯(lián)賽，其它各個(gè)國家的足球聯(lián)賽，都會有保級分?jǐn)?shù)的問題。
那么這個(gè)理論保級分?jǐn)?shù)應(yīng)該如何計(jì)算呢？怎樣找到一種普遍適用于各國足球聯(lián)賽的計(jì)算理論保級分?jǐn)?shù)的方法呢？下面，我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問題?！?BR> 模型建立與分析
要想研究理論保級分?jǐn)?shù)，就必須研究每支球隊(duì)在每場比賽中的成績。通過觀察各大聯(lián)賽的比賽情況，我們可以知道，球隊(duì)的實(shí)力對比賽結(jié)果有很大的影響。比如，實(shí)力差距比較大的兩支球隊(duì)比賽，實(shí)力強(qiáng)的一方獲勝的希望比較大。所以，如果討論聯(lián)賽的積分情況，就不能回避球隊(duì)實(shí)力的差異問題。
但是球隊(duì)的實(shí)力是一個(gè)很抽象的事物，不易計(jì)算和比較，為了能用數(shù)學(xué)語言描述它，可以為每個(gè)球隊(duì)引入一個(gè)參數(shù)，能夠較好的描述球隊(duì)的實(shí)力稱它為這個(gè)球隊(duì)的實(shí)力數(shù)，我們可以定義隨機(jī)變量X為一支球隊(duì)在某一場比賽中的結(jié)果。它可能有三種情況，即勝（積3分）、平（積1分）、負(fù)（積0分〕。我們可以統(tǒng)計(jì)出每場比賽中兩隊(duì)的勝、平、負(fù)的頻率（可近似地看成每種情況出現(xiàn)的概率）P，通過公式
求出一支球隊(duì)在每場比賽中的數(shù)學(xué)期望
。將所有比賽的數(shù)學(xué)期望值相加，就可以求出理論上這支球隊(duì)的最后積分。另外，應(yīng)該注意到主客場的差異對比賽結(jié)果的影響。所以，如果主客場情況不同，相應(yīng)的勝、負(fù)、平頻率也不同，數(shù)學(xué)期望值也就不同?！ ?BR> 一、模型假設(shè)1．假設(shè)參加某一聯(lián)賽的所有球隊(duì)的實(shí)力數(shù)由?。▽?shí)力強(qiáng)）到大（實(shí)大弱）可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。并且認(rèn)為等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1。由此，一個(gè)聯(lián)賽中的各個(gè)球隊(duì)可以分別用一個(gè)數(shù)字代替，即，將所有n支參賽球隊(duì)按實(shí)力由強(qiáng)到弱排列,則依次1,2,3,4，...,n。這樣每場比賽就有一個(gè)對應(yīng)的實(shí)力數(shù)之差。如實(shí)力數(shù)為3和7的兩支球隊(duì)之間的比賽，實(shí)力差是4。
2．假設(shè)任何不可預(yù)知的因素與比賽結(jié)果無關(guān)。即比賽結(jié)果只與兩支球隊(duì)的實(shí)力差和主客場因素有關(guān)。如認(rèn)為球隊(duì)3主場與球隊(duì)8的比賽，和球隊(duì)1主場與球隊(duì)6的比賽沒有任何區(qū)別?！?BR> 3．假設(shè)統(tǒng)得出的每個(gè)實(shí)力差值對應(yīng)的比勝、負(fù)、平的頻率等于在理論上這些情況出現(xiàn)的頻率?！?BR> 二、定義變量
：一支球隊(duì)在一場比賽中的數(shù)學(xué)期望值。
：一支球隊(duì)i在所有比賽中的數(shù)學(xué)期望值之和。n:參加聯(lián)賽的球隊(duì)總數(shù)。
m：聯(lián)賽結(jié)束后將要降級的球隊(duì)數(shù)目。
s：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)獲勝的概率。
p：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)?wèi)?zhàn)平的概率?！?BR> f：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)失敗的概率。
解決問題
一、統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量X的分布
我們選取了英格蘭足球超級聯(lián)賽、德國足球甲級聯(lián)賽、意大利足球甲級聯(lián)賽、中國的甲級聯(lián)賽中1999～2000賽季的詳細(xì)情況，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)實(shí)力數(shù)差分別為1,2,3,...，19時(shí)，較強(qiáng)的一方獲勝、戰(zhàn)平、戰(zhàn)敗的頻率。如下表：（單位：％）
|
實(shí)力差 |
主場 |
客場 |
||||
|
勝 |
平 |
負(fù) |
勝 |
平 |
負(fù) |
|
|
1 |
53.03 |
21.21 |
25.76 |
24.63 |
36.92 |
38.46 |
|
2 |
47.54 |
21.31 |
31.15 |
26.23 |
39.34 |
34.43 |
|
3 |
42.63 |
19.30 |
28.07 |
22.22 |
39.34 |
34.43 |
|
4 |
60.38 |
16.98 |
22.64 |
37.25 |
31.37 |
31.37 |
|
5 |
38.00 |
22.00 |
10.00 |
38.00 |
26.00 |
36.00 |
|
6 |
38.00 |
12.00 |
20.00 |
34.00 |
28.00 |
38.00 |
|
7 |
60.95 |
14.63 |
24.39 |
36.59 |
36.59 |
26.83 |
|
8 |
71.05 |
10.53 |
18.42 |
34.29 |
34.29 |
31.43 |
|
9 |
72.73 |
15.15 |
1212 |
41.18 |
26.47 |
32.35 |
|
10 |
73.33 |
3.37 |
20.00 |
40.00 |
30.00 |
30.00 |
|
11 |
88.00 |
0.00 |
12.00 |
12.31 |
30.77 |
26.92 |
|
12 |
86.36 |
1.55 |
9.09 |
40.91 |
13.64 |
45.45 |
|
13 |
88.24 |
0.00 |
11.76 |
31.11 |
11.11 |
27.78 |
|
14 |
85.71 |
0.00 |
14.29 |
71.13 |
21.43 |
7.14 |
|
15 |
90.91 |
0.00 |
9.09 |
54.55 |
36.36 |
9.09 |
|
16 |
75.00 |
12.50 |
12.50 |
70.00 |
10.00 |
20.00 |
|
17 |
60.00 |
40.00 |
0.00 |
60.00 |
0.00 |
40.00 |
|
18 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
|
19 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
二、計(jì)算各隊(duì)的理論積分
有了這些數(shù)據(jù)之后，我們可以根據(jù)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的公式：
求出一支球隊(duì)在同比自己實(shí)力弱的球隊(duì)的比賽里的教學(xué)期望。即
當(dāng)一支球隊(duì)和比自己實(shí)力強(qiáng)的球隊(duì)比賽時(shí)，實(shí)力較強(qiáng)球隊(duì)的戰(zhàn)敗概率就是實(shí)力較弱的球隊(duì)的獲勝概率。即
這樣一來，所有比賽的數(shù)學(xué)期望都能求出。也就是說，對于每一支球隊(duì)，其所有比賽數(shù)學(xué)期望值的和也能求出，我們用
表示實(shí)力數(shù)i的球隊(duì)的所有數(shù)學(xué)期望值的和（理論積分）。然后，將1～n這支球隊(duì)對應(yīng)的
指從大到小依次排列成數(shù)列{
}，因?yàn)樵谑澜绺鲊淖闱蚵?lián)賽中對降級球隊(duì)數(shù)目的規(guī)定不同，有的是2支球以，有的是3支球隊(duì)。根據(jù)不同的情況，只要求出數(shù)列中相應(yīng)的項(xiàng)（保級球隊(duì)中的最低分?jǐn)?shù)）就是待求的理論保級分?jǐn)?shù)值了。根據(jù)這種思路，我們使用VisualBasic6.0編制一個(gè)程序來計(jì)算理論保級分?jǐn)?shù)。
算法簡要說明
1.輸入數(shù)據(jù)：將計(jì)算所需的變量n、m通過文本框Textl、Text2輸入程序中。
2.定義數(shù)組：將統(tǒng)計(jì)得出的s、p、f各概率值定義為三個(gè)數(shù)組s()、p()、以便賦值。再定義數(shù)列{
}為一個(gè)一維數(shù)組T(20)。3．對概率賦值：將統(tǒng)計(jì)得的概率數(shù)據(jù)賦至各個(gè)數(shù)組中?！ ?BR> 4．通過循環(huán)嵌套，計(jì)算最后每支球隊(duì)的理論積分，即各個(gè)數(shù)學(xué)期望之和。
5．將恰好保級的一支球隊(duì)的分?jǐn)?shù)輸出之文本框Text3中。
具體源代碼及說明（略）
運(yùn)行源程序，得出下表數(shù)據(jù)：
|
參賽球隊(duì)數(shù) |
12 |
14 |
18 |
20 |
4 |
|
降級球隊(duì)數(shù) |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
|
理論保級分?jǐn)?shù) |
26.257 |
58.5259 |
34.5975 |
35.0691 |
8.1738 |
這樣，一般的足球聯(lián)賽都能通過這個(gè)程序求出理論保級分?jǐn)?shù)。
驗(yàn)證模型
以上，給出了足球聯(lián)賽中的理論保級分?jǐn)?shù)的一種計(jì)算方法，這種方法是否理想？得出的結(jié)論能否令人滿意？下面，我們通過計(jì)算值與實(shí)際值的對比，來驗(yàn)證這個(gè)模型。
首先，我們看2000年的甲A聯(lián)賽。下表是該賽季最終的排名情況。
|
排名 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
積分 |
56 |
50 |
44 |
41 |
40 |
35 |
34 |
|
排名 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
積分 |
32 |
32 |
31 |
29 |
29 |
23 |
17 |
去掉兩個(gè)降級球隊(duì)的分?jǐn)?shù)，保級分?jǐn)?shù)是29分。經(jīng)過上述算法，將n=14，m=2代入，計(jì)算得來的理論保級分?jǐn)?shù)是28.5259分，可見，與實(shí)際保級分?jǐn)?shù)相差不大?！?BR> 再看看上賽季意大利足球甲級聯(lián)賽,去掉3個(gè)降級的球隊(duì),實(shí)際保級分?jǐn)?shù)是36分。將n=18,m=3代入，計(jì)算的理論保級分?jǐn)?shù)是34.5975分，與實(shí)際情況也相差不大?！ ?BR> 雖然用這個(gè)程序計(jì)算的保級分?jǐn)?shù)有時(shí)會與實(shí)際分?jǐn)?shù)有一點(diǎn)差距，但在大多數(shù)情況下，這個(gè)程序能夠較好地估計(jì)保級分?jǐn)?shù)。
誤差分析
這個(gè)模型中可能產(chǎn)生誤差的地方有如下幾處：
一、在模型假設(shè)中，假設(shè)各球隊(duì)的實(shí)力數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列。這種假設(shè)與實(shí)際情況有一定差距?！ ?BR> 二、在統(tǒng)計(jì)概率過程中，隨著n值不斷增大，能找到的比賽數(shù)量越來越少。所以在n較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)出的頻率與理論上的頻率的偏差也就比較大。
三、在實(shí)際比賽中，很多其它因索，如天氣等都有可能影響比賽的結(jié)果。這個(gè)模型并沒有考慮這些因素，所以無法避免由此產(chǎn)生的誤差?！ ?BR> 由于以上幾種可能產(chǎn)生誤差的原因，這個(gè)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際保級分?jǐn)?shù)有大約6分以下的差距。由于一般情況下這個(gè)模型計(jì)算的結(jié)果比較合適，所以認(rèn)為這樣的誤差在可以接受的范圍內(nèi)。
參考資料
1．《問題解決的數(shù)學(xué)模型》，劉來福、曾文藝著，北京師范大學(xué)出版社。
2.《中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用精編》，上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用大競賽委員會編寫組著，華東理工大學(xué)出版社?！ ?BR> 3．《數(shù)學(xué)建模精品案例》，朱道元編著，東南大學(xué)出版社。
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