2012中考數(shù)學(xué)熱點知識歸納 61

    1．中考數(shù)學(xué)壓軸題概述
       
    1.1壓軸題的概念
    中考數(shù)學(xué)試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復(fù)雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第Ⅰ卷”）；二、填空題（形式簡單的主觀題）；三、解答題（二、三也合稱第Ⅱ卷）。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。
    中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個試卷的最后一題），叫大壓軸題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。
     
    1.2壓軸題的特點
    中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活。縱觀近幾年全國各地數(shù)學(xué)中考壓軸題，呈現(xiàn)了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。
    中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設(shè)計的題目，其思維難度高，綜合性強，往往都具有較強的選拔功能，是為了有效地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科中尖子學(xué)生與一般學(xué)生的試題。
    在課程改革不斷向前推進的形勢下，全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學(xué)問題的思想方法，貼近生活、關(guān)注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進，為不同層次的學(xué)生展示自己的才華創(chuàng)設(shè)了平臺。
     
    1.3壓軸題應(yīng)對策略
    針對近年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點，在中考復(fù)習(xí)階段，我們要狠抓基礎(chǔ)知識的落實，因為基礎(chǔ)知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地解答中考壓軸題，關(guān)鍵是要以不變應(yīng)萬變。加大綜合題的訓(xùn)練力度，加強解題方法的訓(xùn)練，加強數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調(diào)適學(xué)生心理，增強學(xué)生信心。
    學(xué)生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎(chǔ)知識和基本技能的欠缺、解題經(jīng)驗的缺失或訓(xùn)練程度不夠、自信心不足等。學(xué)生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進”。
    在求解中考數(shù)學(xué)壓軸題時，重視一些數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國各地部分中考壓軸題為例，簡要分析一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在求解中考壓軸題時的重要作用。
     
    2．求解中考壓軸題的常見思想方法
     
    2.1分類討論思想
    代表性題型：動態(tài)幾何問題，存在性討論問題。
    例1．（2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E。
    （1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
    （2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
                                          
    （3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
    解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知條件求得E、D、C坐標(biāo)，進而求出過點E、D、C的拋物線的解析式：
                        
    （2）EF=2GO成立．
    點M在該拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為，
    ∴點M的縱坐標(biāo)為．設(shè)DM的解析式為
    將點D、M的坐標(biāo)分別代入，得
       解得  ∴DM的解析式為    ∴F（0，3）  EF=2
    過點D作DK⊥OC于點K，則DA=DK．
    △DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1      ∴EF=2GO
    （3）點P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設(shè)P（t，2）．
    ∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2
                    
    ①若PG=PC，則（t－1）+2=（3－t）+2
    解得t=2．∴P（2，2），此時點Q與點P重合．Q（2，2）
    ②若PG=GC，則（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2） 
    此時GP⊥x軸．
    GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點Q的橫坐標(biāo)為1，
    ∴點Q的縱坐標(biāo)為．Q（1，）
    ③若PC=GC，則（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）
    此時PC=GC=2，P與D重合
    過點Q作QH⊥x軸于點H，
    則QH=GH，設(shè)QH=h，∴Q（h+1，h） ．
    解得（舍去）．∴Q（，）
    綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）
    思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。
    第⑴問結(jié)合“形”的特征，求出點D、E、C的坐標(biāo)，再設(shè)二次函數(shù)一般式，用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問題時常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。
    第⑵由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點坐標(biāo)，并求出EF的長度，并由旋轉(zhuǎn)過程中的角度相等關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造全等求出OG。得證結(jié)論。解決第⑵問的關(guān)系是將EF、OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量，得到其長度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。
    本題的第⑶問討論存在性問題。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C為定點，P為不確定的點，因此應(yīng)考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點等多種情況進行分類討論。假設(shè)存在P點，結(jié)合P點的位置，通過設(shè)置P點坐標(biāo)參數(shù)，用所設(shè)參數(shù)表示出相應(yīng)三角形邊長，由等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造相應(yīng)方程，可求出P點坐標(biāo)。第⑶問不僅體現(xiàn)了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。
    
    

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