求解中考壓軸題的四種常見思想方法
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬 湖北省黃石市二十一中 皮學(xué)軍
1.中考數(shù)學(xué)壓軸題概述
1.1壓軸題的概念
中考數(shù)學(xué)試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復(fù)雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是:一、選擇題(客觀題,有些地方將其稱作“第Ⅰ卷”);二、填空題(形式簡單的主觀題);三、解答題(二、三也合稱第Ⅱ卷)。在這三類題型中,思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題,被稱作壓軸題。
中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類:選擇題和填空題型的壓軸題,常被稱作小壓軸題;解答題型壓軸題(也即整個試卷的最后一題),叫大壓軸題,通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。
1.2壓軸題的特點(diǎn)
中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計(jì),大都有以下共同特點(diǎn):知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活??v觀近幾年全國各地?cái)?shù)學(xué)中考壓軸題,呈現(xiàn)了百花齊放的局面,就題型而言,除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外,還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等,令人賞心悅目。
中考壓軸題主要是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計(jì)的題目,其思維難度高,綜合性強(qiáng),往往都具有較強(qiáng)的選拔功能,是為了有效地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科中尖子學(xué)生與一般學(xué)生的試題。
在課程改革不斷向前推進(jìn)的形勢下,全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu),綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學(xué)問題的思想方法,貼近生活、關(guān)注熱點(diǎn)、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進(jìn),為不同層次的學(xué)生展示自己的才華創(chuàng)設(shè)了平臺。
1.3壓軸題應(yīng)對策略
針對近年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn),在中考復(fù)習(xí)階段,我們要狠抓基礎(chǔ)知識的落實(shí),因?yàn)榛A(chǔ)知識是“不變量”,而所謂的考試“熱點(diǎn)”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地解答中考壓軸題,關(guān)鍵是要以不變應(yīng)萬變。加大綜合題的訓(xùn)練力度,加強(qiáng)解題方法的訓(xùn)練,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,注重“基本模式”的積累與變化,調(diào)適學(xué)生心理,增強(qiáng)學(xué)生信心。
學(xué)生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因,如:基礎(chǔ)知識和基本技能的欠缺、解題經(jīng)驗(yàn)的缺失或訓(xùn)練程度不夠、自信心不足等。學(xué)生在壓軸題上的具體困難則可能是:“不知從何處下手,不知向何方前進(jìn)”。
在求解中考數(shù)學(xué)壓軸題時,重視一些數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用,是解好壓軸題的重要工具,也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國各地部分中考壓軸題為例,簡要分析一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在求解中考壓軸題時的重要作用。
2.求解中考壓軸題的常見思想方法
2.1分類討論思想
代表性題型:動態(tài)幾何問題,存在性討論問題。
例1.(2009年重慶)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系
中,矩形OABC的邊OA在
軸的正半軸上,OC在
軸的正半軸上,OA=2,OC=3。過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D,連接DC,過點(diǎn)D作DE⊥DC,交OA于點(diǎn)E。
(1)求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式;
(2)將∠EDC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,角的一邊與
軸的正半軸交于點(diǎn)F,另一邊與線段OC交于點(diǎn)G。如果DF與(1)中的拋物線交于另一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
,那么EF=2GO是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由;

(3)對于(2)中的點(diǎn)G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
解析:(1)由△ADE∽△BCD,及已知條件求得E、D、C坐標(biāo),進(jìn)而求出過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式:

(2)EF=2GO成立.
點(diǎn)M在該拋物線上,且它的橫坐標(biāo)為
,
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為
.設(shè)DM的解析式為
將點(diǎn)D、M的坐標(biāo)分別代入,得
解得
∴DM的解析式為
∴F(0,3) EF=2
過點(diǎn)D作DK⊥OC于點(diǎn)K,則DA=DK.
△DAF≌△DKG,KG=AF=1,GO=1 ∴EF=2GO
(3)
點(diǎn)P在AB上,G(1,0),C(3,0),則設(shè)P(t,2).
∴PG
=(t-1)
+2
,PC
=(3-t)
+2
,GC=2

①若PG=PC,則(t-1)
+2
=(3-t)
+2
解得t=2.∴P(2,2),此時點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合.Q(2,2)
②若PG=GC,則(t-1)
+2
=2
,解得t=1,P(1,2)
此時GP⊥x軸.
GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為
.Q(1,
)
③若PC=GC,則(3-t)
+2
=2
,解得t=3,∴P(3,2)
此時PC=GC=2,P與D重合
過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H,
則QH=GH,設(shè)QH=h,∴Q(h+1,h)
.
解得
(舍去).∴Q(
,
)
綜上所述,存在三個滿足條件的點(diǎn)Q,即Q(2,2)或Q(1,
)或Q(
,
)
思想方法解讀:這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。
第⑴問結(jié)合“形”的特征,求出點(diǎn)D、E、C的坐標(biāo),再設(shè)二次函數(shù)一般式,用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問題時常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。
第⑵由D、M所在直線與y軸相交哦于F,可求得F點(diǎn)坐標(biāo),并求出EF的長度,并由旋轉(zhuǎn)過程中的角度相等關(guān)系,設(shè)法構(gòu)造全等求出OG。得證結(jié)論。解決第⑵問的關(guān)系是將EF、OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量,得到其長度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。
本題的第⑶問討論存在性問題。要使△PCG是等腰三角形,其中G、C為定點(diǎn),P為不確定的點(diǎn),因此應(yīng)考慮GC為腰、GC為底,并考慮G、C、P分別為頂點(diǎn)等多種情況進(jìn)行分類討論。假設(shè)存在P點(diǎn),結(jié)合P點(diǎn)的位置,通過設(shè)置P點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù),用所設(shè)參數(shù)表示出相應(yīng)三角形邊長,由等腰三角形的性質(zhì),構(gòu)造相應(yīng)方程,可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。第⑶問不僅體現(xiàn)了分類討論思想,還考察了用方程建模的能力。
1.中考數(shù)學(xué)壓軸題概述
1.1壓軸題的概念
中考數(shù)學(xué)試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復(fù)雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是:一、選擇題(客觀題,有些地方將其稱作“第Ⅰ卷”);二、填空題(形式簡單的主觀題);三、解答題(二、三也合稱第Ⅱ卷)。在這三類題型中,思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題,被稱作壓軸題。
中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類:選擇題和填空題型的壓軸題,常被稱作小壓軸題;解答題型壓軸題(也即整個試卷的最后一題),叫大壓軸題,通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。
1.2壓軸題的特點(diǎn)
中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計(jì),大都有以下共同特點(diǎn):知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活??v觀近幾年全國各地?cái)?shù)學(xué)中考壓軸題,呈現(xiàn)了百花齊放的局面,就題型而言,除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外,還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等,令人賞心悅目。
中考壓軸題主要是為考察考生綜合運(yùn)用知識的能力而設(shè)計(jì)的題目,其思維難度高,綜合性強(qiáng),往往都具有較強(qiáng)的選拔功能,是為了有效地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科中尖子學(xué)生與一般學(xué)生的試題。
在課程改革不斷向前推進(jìn)的形勢下,全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu),綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學(xué)問題的思想方法,貼近生活、關(guān)注熱點(diǎn)、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進(jìn),為不同層次的學(xué)生展示自己的才華創(chuàng)設(shè)了平臺。
1.3壓軸題應(yīng)對策略
針對近年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn),在中考復(fù)習(xí)階段,我們要狠抓基礎(chǔ)知識的落實(shí),因?yàn)榛A(chǔ)知識是“不變量”,而所謂的考試“熱點(diǎn)”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地解答中考壓軸題,關(guān)鍵是要以不變應(yīng)萬變。加大綜合題的訓(xùn)練力度,加強(qiáng)解題方法的訓(xùn)練,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,注重“基本模式”的積累與變化,調(diào)適學(xué)生心理,增強(qiáng)學(xué)生信心。
學(xué)生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因,如:基礎(chǔ)知識和基本技能的欠缺、解題經(jīng)驗(yàn)的缺失或訓(xùn)練程度不夠、自信心不足等。學(xué)生在壓軸題上的具體困難則可能是:“不知從何處下手,不知向何方前進(jìn)”。
在求解中考數(shù)學(xué)壓軸題時,重視一些數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用,是解好壓軸題的重要工具,也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。本文就2009年全國各地部分中考壓軸題為例,簡要分析一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在求解中考壓軸題時的重要作用。
2.求解中考壓軸題的常見思想方法
2.1分類討論思想
代表性題型:動態(tài)幾何問題,存在性討論問題。
例1.(2009年重慶)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系



(1)求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式;
(2)將∠EDC繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后,角的一邊與



(3)對于(2)中的點(diǎn)G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。
解析:(1)由△ADE∽△BCD,及已知條件求得E、D、C坐標(biāo),進(jìn)而求出過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式:


(2)EF=2GO成立.


∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為


將點(diǎn)D、M的坐標(biāo)分別代入,得



過點(diǎn)D作DK⊥OC于點(diǎn)K,則DA=DK.
△DAF≌△DKG,KG=AF=1,GO=1 ∴EF=2GO
(3)

∴PG







①若PG=PC,則(t-1)




解得t=2.∴P(2,2),此時點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合.Q(2,2)
②若PG=GC,則(t-1)



此時GP⊥x軸.
GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為


③若PC=GC,則(3-t)



此時PC=GC=2,P與D重合
過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H,
則QH=GH,設(shè)QH=h,∴Q(h+1,h)

解得



綜上所述,存在三個滿足條件的點(diǎn)Q,即Q(2,2)或Q(1,



思想方法解讀:這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。
第⑴問結(jié)合“形”的特征,求出點(diǎn)D、E、C的坐標(biāo),再設(shè)二次函數(shù)一般式,用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問題時常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。
第⑵由D、M所在直線與y軸相交哦于F,可求得F點(diǎn)坐標(biāo),并求出EF的長度,并由旋轉(zhuǎn)過程中的角度相等關(guān)系,設(shè)法構(gòu)造全等求出OG。得證結(jié)論。解決第⑵問的關(guān)系是將EF、OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量,得到其長度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。
本題的第⑶問討論存在性問題。要使△PCG是等腰三角形,其中G、C為定點(diǎn),P為不確定的點(diǎn),因此應(yīng)考慮GC為腰、GC為底,并考慮G、C、P分別為頂點(diǎn)等多種情況進(jìn)行分類討論。假設(shè)存在P點(diǎn),結(jié)合P點(diǎn)的位置,通過設(shè)置P點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù),用所設(shè)參數(shù)表示出相應(yīng)三角形邊長,由等腰三角形的性質(zhì),構(gòu)造相應(yīng)方程,可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。第⑶問不僅體現(xiàn)了分類討論思想,還考察了用方程建模的能力。
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