圓中的分類討論
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
由于圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經常會導致其答案的不唯一性。如：點與圓的位置關系，點可能在圓內，也可能在圓外；兩條弦的位置關系，可能在某一條直徑的同側，也可能在直徑的異側；圓與圓相切，可能外切，也可能內切，等等。因此，求解圓的有關問題時，要注意分類討論思想。
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一、點與圓的位置關系不唯一性
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例1.若所在⊙O所在平面內一點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b（a＞b），則此圓的半徑為（?? ）。
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（A）
?? （B）
? （C）
或??? （D）a+b或a－b?
分析：P可能在圓內，也可能在圓外。
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????????
???? 圖1—1????????????????????? 圖1—2
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⑴P在圓內時。如圖1—1。
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連接O、P所在的直線交⊙O于A、B。
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則PA=a，PB=b? 直徑AB=PA+PB=a+b，半徑OA=OB=
AB=（a+b）?
⑵P在圓外時。如圖1—2。
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此時直徑AB=PA－PB=a－b，半徑OA=OB=
AB=（a－b）?
由⑴⑵可知，應選（C）。
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二、弦與弦的位置關系不唯一性
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例2.⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（?? ）。
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（A）7cm??? （B）8cm?? （C）7cm或1cm???? （D1cm
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分析：弦AB與CD可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側。
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???????????? 圖2—1???????????????????????? 圖2—2
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⑴弦AB與CD在圓心的同側。如圖2—1。
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過O作弦AB的垂線，交AB于M，交CD于N。連接OB，OD。
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∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD
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由垂徑定理，BM=
AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm?
在Rt△BMO中，OM=
=4cm，同理ON=3cm?
∴MN= OM－ON=4－3=1 cm
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⑵弦AB與CD在圓心的異側。如圖2—2。
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此時，MN=OM+ON=4+3=7cm??????? 故選（C）。
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例3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=
，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度數。?
分析：弦AC與弦AD可能在直徑AB的同側，可能在直徑AB的異側。
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⑴弦AC與弦AD在直徑AB的同側。如圖3—1。
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連OC、OD。由OC=OD=
AB=1，AC=?
∴OC
+OD=AC ∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°?
又OA=OD=AD，∴∠DAO=60°
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∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°
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⑵弦AC與弦AD在直徑AB的異側。
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此時，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°
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三、點在直徑上的位置不唯一性
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例4．已知⊙O的直徑AB=10cm，弦CD⊥AB于點于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？
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分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。
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⑴M在半徑OA上。如圖4—1。
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連接OC。OC=OA=
AB=5cm，?又OM：OA=3：5，∴OM=3cm?
∵AB是直徑，弦CD⊥AB????
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∴在Rt△OMC中，? MC=
=4cm?
又AM=OA－OM=2cm
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∴在Rt△AMC中，AC=
=
=2
（cm）?
⑵M在半徑OB上。如圖4—2.
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此時，AM=OA+OM=8cm
?
AC=
=
=4（cm）?
四、弦所對圓周角的不唯一性
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例5．圓的一條弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角為（?? ）。
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30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150°
（A）????? ?
（B）????? 分析：弦（不是直徑）所對的弧有兩條，一條優(yōu)弧，一條劣弧，
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因此，一條弦所對的圓周角也有兩個，并且這兩個圓周角互補。
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如圖5。劣弧所對的角為∠ACB，優(yōu)弧所對的角為∠ADB。
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由AB=0A=OB，∴∠AOB=60°
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∴∠ACB=
∠AOB=30°?
∠ADB=
（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°?? 故選（D）?
五、圓與圓的位置關系不唯一性
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例6．如果兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓A的半徑為3cm，則圓B的半徑是（?? ）。
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5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm
（A）????? ?
（B）????? 分析：圓與圓相切，可能是內切，也可能是外切。
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???????????
?
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⑴兩圓外切。如圖6—1。AB=8+3=11cm
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⑵兩圓內切。如圖6—2。AB=8－3=5cm??? 故選（D）
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六、相交圓圓心與公共弦的位置關系不唯一性
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例7．已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長6cm，則這兩個圓的圓心距為?????????? 。
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分析：兩圓圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側。
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⑴圓心在公共弦的異側。如圖7—1。
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連接O
A，O
A。由圓的對稱性，O O垂直平分公共弦AB。 ∴AD=AB=3?
在Rt△A O
D中，OD=
=4?
在Rt△A O
D中，OD=
=
?
∴O
O= OD+ OD=4+?
⑵圓心在公共弦的同側。如圖7—2。
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此時，O
O= OD－ OD=4－?
故這兩個圓的圓心距為4+
或4－。?
（發(fā)表于《小博士報·中學輔導》）
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