一次函數(shù)中的分段函數(shù)
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
在函數(shù)自變量不同的取值范圍內(nèi)所對應的函數(shù)關(guān)系也不相同，我們這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。學習一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應注意以下幾點：⑴要特別注意相應的自變量變化區(qū)間。在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應取值范圍。⑵分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線。其中每條線段（射線）代表某一個階段的情況。⑶分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實際問題背景對圖象的意義進行認識和理解。尤其要理解折線中橫、縱坐標表示的實際意義。
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一、分段計費問題
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例1. 我國是世界上嚴重缺水的國家之一．為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費．即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費
元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費，超過10噸的部分，按每噸
元（b＞a）收費．設一戶居民月用水
噸，應收水費
元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖13所示．?
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（1）求
的值；某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元？?
（2）求
的值，并寫出當
時，與之間的函數(shù)關(guān)系式；?
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費46元，求他們上月分別用水多少噸？
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解析：（1）當
時，有
．將
代入，得．∴y=1.5x?
當x=8時,y=8×1.5＝12（元）．
?
（2）當
時，有
???? 將
，
代入，?
得
． ∴
．?故當時，
．?
（3）因
，?∴甲、乙兩家上月用水均超過10噸．?
設甲、乙兩家上月用水分別為
噸，噸，?
則
???????? 解之，得
?
故居民甲上月用水16噸，居民乙上月用水12噸．
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二、行程中的分段函數(shù)
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例2。一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設慢車行駛的時間為
，兩車之間的距離為
，圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系．?
根據(jù)圖象進行以下探究：
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?
信息讀取
?
（1）甲、乙兩地之間的距離為???????? km；
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（2）請解釋圖中點
的實際意義；?
圖象理解
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（3）求慢車和快車的速度；
?
（4）求線段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；?
問題解決
?
（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？
?
解析：（1）900；
?
（2）圖中點
的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇．?
（3）由圖象可知，慢車12h行駛的路程為900km，
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所以慢車的速度為
；?
當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為
，所以快車的速度為150km/h．?
（4）根據(jù)題意，快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛
到達乙地，此時兩車之間的距離為
，所以點
的坐標為
．?
設線段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為
，把
，代入得?
???? 解得
?
所以，線段
所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式為
．?
自變量
的取值范圍是
．?
（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h．
?
把
代入，得
．?
此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離是112.5km，所以兩列快車出發(fā)的間隔時間是
，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h．?
三、與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)
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例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點A開始按A —B—C—D的方向運動到D。如圖3—1。設動點P所經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y。（當點P與A或D重合時，y=0）
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⑴寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
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⑵畫出此函數(shù)的圖象。
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解析：⑴P在邊AB、BC、CD上所對應的函數(shù)關(guān)系不相同。應分段求出相應的函數(shù)式。
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①P在邊AB上，0≤x＜3時，??? y=
×4x=2x?
②P在邊BC上，3≤x＜7時，y=
×4×3=6?
③P在邊CD上，7≤x≤10時，y=
×4（10-x）=-2x+20?
∴y=
?
⑵函數(shù)圖象如圖3—2。
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