余角、補(bǔ)角縱橫談
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
余角、補(bǔ)角是幾何圖形中兩個重要的數(shù)量關(guān)系角概念，與角的位置無關(guān)．它們分別與兩個特殊角直角、平角聯(lián)系起來，在分析幾何圖形角的關(guān)系時占有十分重要的地位．借助余角、補(bǔ)角的概念，我們可以探究出它們很多有用的性質(zhì)．由于余角、補(bǔ)角是數(shù)量關(guān)系角，而方程所表達(dá)的是一種相等的數(shù)量關(guān)系，因此借助方程求解余角、補(bǔ)角問題是最常用的思想方法．
一、正確理解互余、互補(bǔ)
⑴互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，而不是三個或更多角的關(guān)系．
兩個角的和等于90°（直角）時，稱這兩個角互為余角．而三個或更多角的和也為90°（直角）時，則不能稱它們互為余角．
兩個角的和等于180°（平角）時，稱這兩個角互為補(bǔ)角．而三個或更多角的和也為180°（平角）時，則不能稱它們互為補(bǔ)角．
⑵余角、補(bǔ)角都是一種“相互”關(guān)系．
如∠1、∠2互余，即∠1+∠2=90°，此時∠1叫∠2的余角，而∠2也叫∠1的余角．
同時一個角∠α的余角都可以用90°－∠α來表示．
⑶余角、補(bǔ)角都是數(shù)量關(guān)系角，與位置關(guān)系無關(guān)．
余角、補(bǔ)角都是數(shù)量關(guān)系角，與位置關(guān)系無關(guān)．因此考慮兩個角是否互余、互補(bǔ)，只考慮角的大小，而不需考慮這兩個角是否有公共頂點(diǎn)、公共邊等關(guān)系
二、余角、補(bǔ)角性質(zhì)的探究
①兩角互余，則這兩個角必都為銳角；
②兩角互補(bǔ)，則這兩個角不可能同時為銳角或鈍角．（只可能1銳1鈍或兩個角都為直角）
③一個角的余角必為銳角；
④一個角的補(bǔ)角可能為銳角、直角、鈍角．（其中銳角的補(bǔ)角為鈍角、鈍角的補(bǔ)角為銳角、直角的補(bǔ)角還是直角．）
⑤一個銳角的補(bǔ)角比這個角的余角大90°
⑥同角或等角的余（補(bǔ)）角相等
三、巧用方程求解余角、補(bǔ)角問題
兩點(diǎn)注意：
⑴正確設(shè)未知數(shù)并用含所設(shè)未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的量：一般設(shè)某個角為x，根據(jù)余角、補(bǔ)角定義，則這個角的余角為90－x，這個角的補(bǔ)角為180－x．
⑵依據(jù)已知條件,尋找出正確的相等關(guān)系，列出方程．
例．⑴互余且相等的兩個角，各是多少度？
⑵已知∠A和∠B互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，∠B和∠C的和等于周角的
．求∠A+∠B+∠C的度數(shù)．分析：⑴設(shè)其中一個角為x，由兩角互余，則另一個角為90－x．
又這兩角相等，∴x=90－x?? 解得? x=45
⑵設(shè)∠A=x，依題意∠B=90－x，∠C=180－x
由∠B和∠C的和等于周角的
，∴（90－x）+（180－x）=×360解得?? x=75??? ∴∠B=90－x=15??? ∠C=180－x=105
∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°
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