余角、補(bǔ)角縱橫談
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
余角、補(bǔ)角是幾何圖形中兩個重要的數(shù)量關(guān)系角概念,與角的位置無關(guān).它們分別與兩個特殊角直角、平角聯(lián)系起來,在分析幾何圖形角的關(guān)系時占有十分重要的地位.借助余角、補(bǔ)角的概念,我們可以探究出它們很多有用的性質(zhì).由于余角、補(bǔ)角是數(shù)量關(guān)系角,而方程所表達(dá)的是一種相等的數(shù)量關(guān)系,因此借助方程求解余角、補(bǔ)角問題是最常用的思想方法.
一、正確理解互余、互補(bǔ)
⑴互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系,而不是三個或更多角的關(guān)系.
兩個角的和等于90°(直角)時,稱這兩個角互為余角.而三個或更多角的和也為90°(直角)時,則不能稱它們互為余角.
兩個角的和等于180°(平角)時,稱這兩個角互為補(bǔ)角.而三個或更多角的和也為180°(平角)時,則不能稱它們互為補(bǔ)角.
⑵余角、補(bǔ)角都是一種“相互”關(guān)系.
如∠1、∠2互余,即∠1+∠2=90°,此時∠1叫∠2的余角,而∠2也叫∠1的余角.
同時一個角∠α的余角都可以用90°-∠α來表示.
⑶余角、補(bǔ)角都是數(shù)量關(guān)系角,與位置關(guān)系無關(guān).
余角、補(bǔ)角都是數(shù)量關(guān)系角,與位置關(guān)系無關(guān).因此考慮兩個角是否互余、互補(bǔ),只考慮角的大小,而不需考慮這兩個角是否有公共頂點(diǎn)、公共邊等關(guān)系
二、余角、補(bǔ)角性質(zhì)的探究
①兩角互余,則這兩個角必都為銳角;
②兩角互補(bǔ),則這兩個角不可能同時為銳角或鈍角.(只可能1銳1鈍或兩個角都為直角)
③一個角的余角必為銳角;
④一個角的補(bǔ)角可能為銳角、直角、鈍角.(其中銳角的補(bǔ)角為鈍角、鈍角的補(bǔ)角為銳角、直角的補(bǔ)角還是直角.)
⑤一個銳角的補(bǔ)角比這個角的余角大90°
⑥同角或等角的余(補(bǔ))角相等
三、巧用方程求解余角、補(bǔ)角問題
兩點(diǎn)注意:
⑴正確設(shè)未知數(shù)并用含所設(shè)未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的量:一般設(shè)某個角為x,根據(jù)余角、補(bǔ)角定義,則這個角的余角為90-x,這個角的補(bǔ)角為180-x.
⑵依據(jù)已知條件,尋找出正確的相等關(guān)系,列出方程.
例.⑴互余且相等的兩個角,各是多少度?
⑵已知∠A和∠B互為余角,∠A與∠C互為補(bǔ)角,∠B和∠C的和等于周角的

分析:⑴設(shè)其中一個角為x,由兩角互余,則另一個角為90-x.
又這兩角相等,∴x=90-x?? 解得? x=45
⑵設(shè)∠A=x,依題意∠B=90-x,∠C=180-x
由∠B和∠C的和等于周角的


解得?? x=75??? ∴∠B=90-x=15??? ∠C=180-x=105
∴∠A+∠B+∠C=75+15+105=185°
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