一次函數(shù)的“最值”
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
一次函數(shù)y=kx+b中,x、y均可取一切實數(shù).如果縮小x的取值范圍,則其函數(shù)值就會出現(xiàn)最大值或最小值.
一次函數(shù)的“最值”由一次函數(shù)的性質(zhì)決定,與其k值、自變量的取值范圍密切相關(guān):
⑴k>0時,y隨x增大而增大.因此,x取最小值時,y有最小值;x取最大值時,y有最大值.
⑵k<0時,y隨x增大而減?。虼耍瑇取最小值時,y有最大值;x取最大值時,y有最小值.
k值、自變量的取值范圍與函數(shù)最大值、最小值的對應(yīng)情況如下表:
求一次函數(shù)的最大、最小值,一般都是采用“極端值法”.即用自變量的端點值,根據(jù)函數(shù)增減性,對應(yīng)求出函數(shù)的端點值(最值).
請看以下實例.
例1.已知一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)取值范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的解析式.
解析:x的取值范圍與函數(shù)y的取值范圍的對應(yīng)情況,由k值的符號確定.故應(yīng)分類討論.
⑴k>0時,y隨x增大而增大.x=-2時,y=-11;x=6時,y=9.
∴
解得
∴y=
x-1
⑵k<0時, y隨x增大而減小.x=-2時,y=9;x=6時,y=-11.
∴
解得
∴y=-
x+14
例2.康樂公司在A、B兩地分別有同型號的機器17臺和15臺,現(xiàn)在運往甲地18臺、乙地14臺.從A、B兩地運往甲、乙兩地的費用如下表;
⑴如果從A地運往甲地x臺,求完成以上調(diào)運所需總費用y(元)關(guān)于x(臺)的函數(shù)解析式;
⑵若康樂公司請你設(shè)計一種最佳調(diào)運方案,使總的費用最少,則該公司完成以上調(diào)運方案至少需要多少費用?為什么?
解析:⑴y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由①x≥0;②17-x≥0;③18-x≥0;④x-3≥0 ∴3≤x≤17
∵k=500>0,∴y隨x增大而增大,x取最小值時,y有最小值.
∴x=3時,y最小值=500×3+13300=14800(元)
故該公司完成以上調(diào)運方案至少需14800元運費.調(diào)運方案為:由A地運往甲地3臺,運往乙地14臺;由B地運往甲地15臺.
作者簡介:宋毓彬,男,44歲,中學數(shù)學高級教師.在《中學數(shù)學教學參考》、《中學數(shù)學》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導(dǎo)報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學習報》、《小博士報》等報刊發(fā)表教學輔導(dǎo)類文章70多篇.主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究.
一次函數(shù)y=kx+b中,x、y均可取一切實數(shù).如果縮小x的取值范圍,則其函數(shù)值就會出現(xiàn)最大值或最小值.
一次函數(shù)的“最值”由一次函數(shù)的性質(zhì)決定,與其k值、自變量的取值范圍密切相關(guān):
⑴k>0時,y隨x增大而增大.因此,x取最小值時,y有最小值;x取最大值時,y有最大值.
⑵k<0時,y隨x增大而減?。虼耍瑇取最小值時,y有最大值;x取最大值時,y有最小值.
k值、自變量的取值范圍與函數(shù)最大值、最小值的對應(yīng)情況如下表:
x |
y=kx+b |
|
k>0 |
k<0 |
|
x≤m |
x有最大值,y有最大值 y最大值=km+b |
x有最大值,y有最小值 y最小值=km+b |
x≥m |
x有最小值,y有最小值 y最小值=km+b |
x有最小值,y有最大值 y最大值=km+b |
m≤x≤n |
x=m時(最?。瑈最小值= km+b; x=n時(最大),y最大值=kn+b |
x=m時(最小),y最大值= km+b; x=n時(最大),y最小值=kn+b |
求一次函數(shù)的最大、最小值,一般都是采用“極端值法”.即用自變量的端點值,根據(jù)函數(shù)增減性,對應(yīng)求出函數(shù)的端點值(最值).
請看以下實例.
例1.已知一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍是-2≤x≤6,相應(yīng)的函數(shù)取值范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的解析式.
解析:x的取值范圍與函數(shù)y的取值范圍的對應(yīng)情況,由k值的符號確定.故應(yīng)分類討論.
⑴k>0時,y隨x增大而增大.x=-2時,y=-11;x=6時,y=9.
∴



⑵k<0時, y隨x增大而減小.x=-2時,y=9;x=6時,y=-11.
∴



例2.康樂公司在A、B兩地分別有同型號的機器17臺和15臺,現(xiàn)在運往甲地18臺、乙地14臺.從A、B兩地運往甲、乙兩地的費用如下表;
|
甲地(元/臺)(18) |
乙地(元/臺)(14) |
A地(17) |
600(x) |
500(17-x) |
B地(15) |
400(18-x) |
800(x-3) |
⑴如果從A地運往甲地x臺,求完成以上調(diào)運所需總費用y(元)關(guān)于x(臺)的函數(shù)解析式;
⑵若康樂公司請你設(shè)計一種最佳調(diào)運方案,使總的費用最少,則該公司完成以上調(diào)運方案至少需要多少費用?為什么?
解析:⑴y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由①x≥0;②17-x≥0;③18-x≥0;④x-3≥0 ∴3≤x≤17
∵k=500>0,∴y隨x增大而增大,x取最小值時,y有最小值.
∴x=3時,y最小值=500×3+13300=14800(元)
故該公司完成以上調(diào)運方案至少需14800元運費.調(diào)運方案為:由A地運往甲地3臺,運往乙地14臺;由B地運往甲地15臺.
作者簡介:宋毓彬,男,44歲,中學數(shù)學高級教師.在《中學數(shù)學教學參考》、《中學數(shù)學》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導(dǎo)報》、《數(shù)理報》、《少年智力開發(fā)報》、《學習報》、《小博士報》等報刊發(fā)表教學輔導(dǎo)類文章70多篇.主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究.
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