三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用
湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 張昌林
命題1 ?如圖１，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°+
∠A．證明：如圖１：
∵∠1＝∠
，∠２＝∠
，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+
∠A．點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.
命題2 ?如圖２，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°－
∠A．
證明：如圖２：
∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－
（∠DBE+∠DCF）=180°－
（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－
（∠A+180°）=180°－
∠A－90°=90°－
∠A；點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明.
命題3 ?如圖3，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則∠E=
∠A．證明：如圖3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×
代入②得：∠E=
∠A．點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.
命題4 如圖４，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，證明:AE是△ABC的外角平分線.
證明：如圖3：
∵BE是∠ABC的平分線,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分線, 可得：EG=EF
∴過點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分線．
點(diǎn)評 利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明．
應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來一起看．
例1如圖5，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線．
①已知∠A=60°，請直接寫出∠P的度數(shù).
②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？
解析：①由命題2的結(jié)論直接得：∠P=90°－
∠A=90°－ ×60°=60°
②根據(jù)命題2的結(jié)論∠P=90°－
∠A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形．?
點(diǎn)評 此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡單．同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．
例２ 如圖6，在△ABC中，延長BC到D,∠ABC與∠ACD的角平分線相較于
點(diǎn)，∠BC與∠CD的平分線交與
點(diǎn)，以此類推，…，若∠A=96°，則∠
=????????? 度．
解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠
∠A．可以直接得：∠
=
×96°=3°．??
點(diǎn)評 此題是要找出規(guī)律的但對要有命題③的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題３分）如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP的內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=_______________．
?
解析：此題直接運(yùn)用命題４的結(jié)論可以知道ＡＰ是△ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題３的結(jié)論知道∠BAC=2∠BPC, CAP=
(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．點(diǎn)評 對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一定做的出來的題目．
例４ (2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB=????????? 度．
解析：有題目和命題４的結(jié)論可以知道AE是△ABC的一個(gè)外角平分線, 結(jié)合命題2的結(jié)論知道∠AEB=∠ACB－
∠ACB=90°－×90°=45°點(diǎn)評?從上面的做題過程來看題目中給出的“∠A=30°”這個(gè)條件是可以不用的．
在中考和一些競賽題目中常有與三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)的題目，若平時(shí)不注意總結(jié)是很難一下子解決的．下面來一起學(xué)習(xí)一下．
命題1 ?如圖１，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°+
∠A．證明：如圖１：
∵∠1＝∠
，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+
∠A．點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.
命題2 ?如圖２，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則∠D=90°－
∠A．證明：如圖２：
∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－
（∠DBE+∠DCF）=180°－
（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－
（∠A+180°）=180°－
∠A－90°=90°－
∠A；點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明.
命題3 ?如圖3，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則∠E=
∠A．證明：如圖3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×
代入②得：∠E=
∠A．點(diǎn)評 利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.
命題4 如圖４，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，證明:AE是△ABC的外角平分線.
證明：如圖3：
∵BE是∠ABC的平分線,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分線, 可得：EG=EF
∴過點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分線．
點(diǎn)評 利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明．
應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來一起看．
例1如圖5，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線．
①已知∠A=60°，請直接寫出∠P的度數(shù).
②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？
解析：①由命題2的結(jié)論直接得：∠P=90°－
∠A=90°－ ×60°=60°②根據(jù)命題2的結(jié)論∠P=90°－
∠A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形．?
點(diǎn)評 此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡單．同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．
例２ 如圖6，在△ABC中，延長BC到D,∠ABC與∠ACD的角平分線相較于
點(diǎn)，∠BC與∠CD的平分線交與點(diǎn)，以此類推，…，若∠A=96°，則∠=????????? 度．解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠
∠A．可以直接得：∠
=×96°=3°．??
點(diǎn)評 此題是要找出規(guī)律的但對要有命題③的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題３分）如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP的內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=_______________．
?
解析：此題直接運(yùn)用命題４的結(jié)論可以知道ＡＰ是△ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題３的結(jié)論知道∠BAC=2∠BPC, CAP=
(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．點(diǎn)評 對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一定做的出來的題目．
例４ (2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB=????????? 度．
解析：有題目和命題４的結(jié)論可以知道AE是△ABC的一個(gè)外角平分線, 結(jié)合命題2的結(jié)論知道∠AEB=∠ACB－
∠ACB=90°－×90°=45°點(diǎn)評?從上面的做題過程來看題目中給出的“∠A=30°”這個(gè)條件是可以不用的．
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