用對頂三角形的性質(zhì)求角
湖北省黃石市下陸中學 周國強
線段AB 、CD相交于點O，連結(jié)AB、CD，我們把這樣的基本圖形稱之為“對頂三角形”（如圖所示）．顯見，“對頂三角形形”有如下性質(zhì)：∠A+∠D＝∠C+∠B（讀者可自已證明）．
對于求角問題，若圖形中含有“8字形”， 運用“8字形”的性質(zhì)求解，可獲事半功倍之效．
例1 如圖1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F＝_____度．
析解：圖中有若干個現(xiàn)成的“8字形”．因為∠A+∠B＝∠1＋∠3 ，∠C+∠D＝∠1＋∠2，∠E＋∠F＝∠2＋∠3，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝2×180
＝360．例2 如圖2，在五角星中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)。
析解：圖中雖有現(xiàn)成的“8字形”，但不易將這五個角集中到同一三角形中來，故連BC，構(gòu)造新的“8字形”．因為∠1+∠2＝∠A＋∠D，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠E＝∠E＋∠EBC＋∠ECB＝180
．例3如圖3，若∠A＝120
，∠B＝45， ∠E＝33，∠F＝108求∠COD的度數(shù)．
析解：連BE，構(gòu)造四邊形ABEF，因為∠A+∠ABE+∠BEF＋∠F＝360
，所以∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB＝360－（120＋45＋33＋108）＝54，從而∠COD=126．例4如圖4，已知 ∠E＋∠F＝∠H，求：∠A＋∠B＋∠ACD＋∠CDG的度數(shù)．
析解：過點H作HJ∥EB，則∠E＝∠EHJ，因為∠E＋∠F＝∠H，所以∠JHF＝∠F，所以HJ∥FG，從而EB∥FG．延長DC交EB于M，則∠BMD＋∠MDG＝180
，又∠ICM＋∠ICD＝180，所以∠A＋∠B＋∠ACD＋∠CDG＝∠ICM＋∠IMC＋∠ACD＋∠CDG＝（∠ICM＋∠ACD）＋（∠IMC＋∠CDG）＝180＋180＝360．例5 如圖5，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．解答下列問題：
(1)若∠D＝40
，∠B＝36，求∠P的度數(shù)；(2)如果圖中的∠D和∠B為任意角時，其它條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)論即可）
析解：
?? ??（1）由“8字形”的性質(zhì)知∠DAP＋∠D＝∠DCP＋∠P，
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，
即∠P＝∠DAP＋∠D－∠DCP??? ①，
∠P＝∠PCB＋∠B－∠PAB??? ②．
由條件知∠DAP＝∠PAB，∠PCB＝∠DCP，
①＋②得 2∠P＝∠D＋∠B＝40
＋36＝76，（2）仿（1）易知∠P與∠D、∠B之間的之間的關(guān)系為∠P＝
（∠D＋∠B）．練習：
如圖，BD是△ABC中∠ABC的角平分線，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線，它與BD的延長線交于點D，我們將會得到∠A＝2∠D這一結(jié)論，試想一想為什么？并加以說明．
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導 | 中考復習資料 |