怎樣將一條線段任意黃金分割
湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 趙國瑞
在數(shù)學王國里有一個“數(shù)”像詩一樣美妙，它就是美的密碼——
(準確值)=0.618(近似值)．?
兩千多年前，古希臘的數(shù)學家歐克多索斯發(fā)現(xiàn)：將一條線段
AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段PB與大段AP的長度之比等于大段AP與全段AB的長度之比，即
，如圖1所示．此時線段AP叫做線段AP、PB的比例中項，則可得出這一比值為，這種分割稱為黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點．?
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????????????????????? 圖1
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那么，應該怎樣把一條線段進行黃金分割呢？或者說怎樣作出已知線段的黃金分割點呢？下面提供一種作法：
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如圖2，已知線段AB，求作線段AB的黃金分割點．
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????????? 圖2
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①過點B作BD⊥AB，使BD=
AB；?
②連結(jié)AD，在AD上截取DE=DB；
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③在線段AB上截取AP=AE．
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則點
P是線段AB上的一個黃金分割點．
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那么，為什么點P是線段AB上的一個黃金分割點呢？
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事實上，若設AB=a，AP=x，由作圖過程可知AP=
．在Rt△ABD中，由勾股定理可得
.整理可得x2=a(a-x)．因此點P是線段AB上的一個黃金分割點．
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實際上，我們不僅可以把一條線段進行黃金分割，而且還可以把一條線段任意進行黃金分割，如何把一條線段任意進行黃金分割呢？為此我們先看一個與黃金分割有趣的數(shù)量關(guān)系．
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如圖3，點C是線段AB的一個黃金分割點(其中點C靠近端點B)，由于對稱性，在線段AB上必然還有另一個黃金分割點D(其中點D
靠近端點A)．
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圖3
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若設AB=a，由黃金分割的定義，得AC=BD=
a，而
，∴AD=BC=
a．?
∴CD=BD-BC=
a-a=
=
=
a．?
∴
．?
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????? 圖4
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于是點C是線段DB的一個黃金分割點(靠近端點
D)．利用對稱性，再作出線段DB的另一個黃金分割點E(靠近端點B)，則點E一定是線段CB的一個黃金分割點(靠近端點B)，如圖4所示．這樣我們就可以不斷地利用對稱性對線段AB進行黃金分割．
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我們不但可以利用與黃金分割有趣的數(shù)量關(guān)系對一條線段任意進行黃金分割，還可以利用與黃金分割有關(guān)的幾何圖形對一條線段任意進行黃金分割．
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黃金矩形?如果一個矩形的兩邊之比具有黃金分割比值，則稱這種矩形為黃金矩形，它是由一個小正方形和另一個小黃金矩形組成的．
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事實上，如圖5，設大黃金矩形的兩邊分別為a、b，則
，分出一個正方形后，所余小矩形的兩邊分別為(a-b)和b，它們的比為
．這樣我們可以將一個黃金矩形無限分割下去，就可以得到無限多個黃金矩形．?
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圖5? ??????????????????? 圖6
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黃金三角形?頂角為36°的等腰三角形叫做黃金三角形．其底與腰之比為黃金分割比值，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點．如圖6，△
ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分線CP交腰AB于P，則BC=CP=AP，且△ABC∽△CBP，∴
，即AP2=BP·AB，∴
．?
再作∠ABC的平分線交CP于P1，作∠BPC的平分線交BP1于P2，得到△BPP1，△PP1
P2，均為黃金三角形．如此下去則可得到一系列的黃金三角形．
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親愛的同學們，你知道怎樣根據(jù)黃金矩形和黃金三角形的性質(zhì)對一條線段任意進行黃金分割了嗎？趕快動手試一試吧．
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