這道中考題的解法真多
湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 趙國瑞
2010年湖北省武漢市中考題第24題：
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已知：線段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)P．
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(1)如圖1，當(dāng)OA=OB，且D為OA中點(diǎn)時，求
的值；?
(2)如圖2，當(dāng)OA=OB，且
時，求tan∠BPC的值．?
(3)如圖3，當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶
時，直接寫出tan∠BPC的值．
圖1?? ?? ?????????????圖2???? ??????????????? 圖3
分析：(1)要求
的值，聯(lián)想到平行線分線段成比例定理或平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似(當(dāng)然，由于已知條件中有中點(diǎn)這個條件，還可以聯(lián)想到三角形中位線定理，或者三角形的面積)，因此應(yīng)設(shè)法構(gòu)造平行線．
圖4? ???????????? 圖5????? ? ?????圖6???? ? ???????圖7?
??????? 圖8 圖9???? ???? ?? 圖10
????????? ?? 圖11?????????? ?????? 圖12??????? ?圖13
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思路一：構(gòu)造中位線
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解法1：連結(jié)AB、CD，如圖4，則CD是△AOB的中位線．
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∴CD∥AB，且CD=
AB．∴△CPD∽△APB．?
∴
=
=2．?
思路二：構(gòu)造平行線
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解法2：過點(diǎn)C作CM∥BD交AO于M，如圖5．
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∵C為OB中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理，得DM=MO，
=
．?
∵D為OA中點(diǎn)，且DM=MO，∴AD=2DM，即
==2．?
解法3：過點(diǎn)C作CM∥AO交BD于M，如圖6．
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解法4：過點(diǎn)D作DM∥BO交AC于M，如圖7．
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解法5：過點(diǎn)D作DM∥AC交BO于M，如圖8．
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解法6：過點(diǎn)O作OM∥BD交AC的延長線于M，如圖9．
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解法7：過點(diǎn)O作OM∥AC交BD的延長線于M，如圖10．
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解法8：過點(diǎn)A作AM∥BO交BD的延長線于M，如圖11．
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解法9：過點(diǎn)B作BM∥AO交AC的延長線于M，如圖12．
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(解法3至解法9的過程留給同學(xué)們自己完成)
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思路三：利用面積
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解法10：連結(jié)OP，如圖13．
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∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為OA中點(diǎn)，∴S△BCP=S△OCP，S△ADP=S△ODP．
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∵OA=OB，OA⊥OB，∴S△AOC=S△BOD．
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∴S△AOC-S四邊形ODPC=S△BOD-
S四邊形ODPC，即S△BCP=S△ADP．
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∴S△BCP=S△OCP=S△ADP=S△ODP．
?
∴
=
=2．?
(2)
要求tan∠BPC的值，注意到∠BPC及其對頂角所在的三角形不是直角三角形，且在兩個直角三角形中也無法找到與∠BPC相等的角，因此需要以∠BPC為內(nèi)角構(gòu)造直角三角形．另外，為了找出所構(gòu)造的直角三角形中兩直角邊的關(guān)系，仍然需要作出問題(1)中的輔助線．
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解法1
：過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，過點(diǎn)D作DM∥BO交AC于M，如圖14，則
．?
設(shè)AD=k(k＞0)，則AO=4k=OB，DO=AO-AD=4k-k=3k．
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∵C為OB中點(diǎn)，∴BC=CO=2k．
?
在Rt△BOD中，由勾股定理，得BD=
=
=5k．
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∵DM∥BO，∴
．∴BP=4k．?
易證△BEC∽△BOD，∴
，即
．?
?????????????
?????? 圖14
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∴CE=1.2k，BE=1.6k．∴EP=BP-BE=4k-1.6k=2.4k．
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∴tan∠BPC=
．?
事實上，過點(diǎn)C作CE⊥BD于E后，再作一條與圖5～圖12中的任何一個圖形一樣的輔助線，都可以得到一種解法，這樣我們就可以得到8種解法．而且在解題過程中，我們又發(fā)現(xiàn)了一種比較簡捷的方法．
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如解法1中，由BD=5k，
，得PD=k．而AD=k，于是PD=AD，∠BPC=∠APD=∠A．從而tan∠BPC=tanA=
．這是我們在按照常規(guī)方法解題的過程中，由于發(fā)現(xiàn)線段的相等關(guān)系而得到的簡捷求法，這是意外的收獲．?
因此我們也可以只作一條輔助線，輔助線的作法同圖5～圖12中的任何一個圖形的輔助線作法一樣，于是我們又得到問題(2)的8種求法．
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(3)當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶
時，在tan∠BPC的值時，我們?nèi)匀豢梢韵窠鉀Q問題(2)那樣，通過作輔助線求出tan∠BPC的值，但由于已知線段間的數(shù)量關(guān)系以字母比值的形式給出，這給問題的求解帶來極大的不便，而且題目要求直接寫出tan∠BPC的值，問題(2)也已經(jīng)求出了tan∠BPC的值，因此我們應(yīng)該設(shè)法將問題(3)與問題(2)聯(lián)系在一起．問題(2)中的tan∠BPC值是在“OA=OB，且
”這個條件下得到的，要想求出當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶時tan∠BPC的值，就要設(shè)法將條件“OA=OB，且”與與“OA=OB，且”發(fā)生聯(lián)系．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=4時，=4，此時AD∶AO∶OB=1∶4∶4，正好滿足“OA=OB，且”，因此當(dāng)n=4時，必然有tan∠BPC=．而tan∠BPC==
，且當(dāng)n=4時，=2，因此我們有理由猜測：當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶時，tan∠BPC=
．?
評注：本題是一道考查平行線分線段成比例、三角形相似、勾股定理及三角函數(shù)的綜合題，由三個小題組成，這三個小題的難度呈梯度上升，是一道典型的“遞進(jìn)型”中考題．
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其中問題(1)中的解法1是根據(jù)已知條件中有兩個中點(diǎn)，從而想到三角形的中位線定理而作的輔助線，是問題(1)的最簡捷解法．解法10也是根據(jù)中點(diǎn)想到的輔助線作法．而解法2至解法9是為了利用平行線分線段成比例或構(gòu)造相似三角形而作的輔助線，其中圖5、圖6、圖7和圖8(所作的輔助線沒有與已知線段的延長線相交)解答問題(1)常見的輔助線作法．
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在解答問題(2)時，因為∠BPC及其對頂角所在的三角形都是非直角三角形，而且從已知條件中我們無法再找出與∠BPC相等的角，為了求出tan∠BPC的值，我們應(yīng)該首當(dāng)其充地構(gòu)造∠BPC所在的直角三角形，于是過點(diǎn)C作CE⊥BD于E，至于過其它點(diǎn)作另一條輔助線，一是為了求出線段PD、BP的比值，從而順利找出所構(gòu)造的直角三角形中兩直角邊的關(guān)系，另外這也是由“遞進(jìn)型”中考題的特點(diǎn)(下一題要充分用到上一題的結(jié)論或解題思路)決定的．在求解過程中，我們發(fā)現(xiàn)PD=AD，于是∠BPC=∠APD=∠A，而∠A在直角三角形中，且正切值容易求出，于是把求tan∠
BPC轉(zhuǎn)化為tanA，因此解答問題(2)只需作出與問題(1)類似的輔助線，而無需構(gòu)造直角三角形，這也是我們在按照正常思路求tan∠BPC的過程中發(fā)現(xiàn)的巧妙解法．
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問題(3)的設(shè)置比較巧妙，解答時要注意讓條件“AD∶AO∶OB=1∶n∶
”與問題(2)中的條件“OA=OB，且”發(fā)生聯(lián)系，并根據(jù)問題(2)中結(jié)論猜想出問題(3)中的結(jié)論，我想這也是命題者的意圖吧！| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |