橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同
湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 趙國瑞
?“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同．不識廬山真面目，只緣身在此山中．”這是宋代詩人蘇軾的著名詩名《題西林壁》．其中的“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”表面意思是說，廬山從正面看，它是一道道連綿起伏的山嶺；從側面看，它是一座巍然聳立的險峰．從遠處近處高處低處看，廬山呈現(xiàn)出不同的形象．
實際的意思是指同一個事物在不同的角度和不同的時間看是不一樣的．
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同是一枝梅花，有人贊嘆它風骨傲霜，有人則感慨它孤寂落寞；同是一塊石頭，有人覺得它冥頑不化，有人則欣賞它堅韌固守；同樣是半杯可樂，悲觀的人說：“唉，只有半杯，”樂觀的人說：“天啊，還有半杯．”同一種事物，理解緣何不同？其實很簡單，人們觀察事物的角度不同罷了．
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在思維過程中善于改變看問題的角度，往往會收到意想不到的效果．因此我們要善于變換思考方式，盡可能地選擇新視角，解決數(shù)學問題亦是如此．
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例?(2010年山東青島中考題)如圖1，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第
6個圖案需要＿＿枚棋子，擺第n個圖案需要＿＿枚棋子．
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圖1?????????????? ?? ??圖
2
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分析：解答此類問題要充分發(fā)揮數(shù)形結合的作用，注意從不同角度觀察圖形．
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方法1 ?將圖形分割成六邊形
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如圖2，將圖形分割成大小不同的六邊形，從里向外，第1個六邊形包含的棋子數(shù)為6×2-
6=6×1，第2個六邊形包含的棋子數(shù)為6×3-6=6×2，第3個六邊形包含的棋子數(shù)為6×4-6=6×3，…，第n個六邊形包含的棋子數(shù)為6(n+1)-6=6n，因此擺第n個圖案需要的棋子數(shù)為6×1+6×2+6×3+…+6n+1=(1+2+3+…+n)×6+1=
n(n+1)×6+1=3n(n+1)+1=3n2+3n+1．?
說明：方法1用到了這樣一個公式：1+2+3+…+n=
n(n+1)，我們把它叫做高斯求和公式．?
方法2 ?將圖形分割成三角形
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①按如圖3的方式將圖形分割成六個全等的三角形，每個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n+1=
(n+1)(n+2)，六個三角形包含的棋子數(shù)為(n+1)(n+2)×6=3(n+1)(n+2)，減去重復的六條邊包含的棋子數(shù)6(n+1)，得3(n+1)(n+2)-6(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復計算了6次，減去重復的六條邊包含的棋子數(shù)后的結果不包含這枚棋子，所以結果應再加上這枚棋子，即第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
圖3 圖4
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說明：在計算棋子數(shù)時要注意正確處理重復部分，既不能多算，也不能漏算．
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②按如圖4
的方式將圖形分割成六個全等的三角形，每個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n=
n(n+1)，六個三角形包含的棋子數(shù)為n(n+1)×6=3n2+3n．加上正六邊形的中心處的棋子，得第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
方法3 ?將圖形分割成平行四邊形
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如圖5，將圖形分割成三個全等的平行四邊形，每個平行四邊形包含的棋子數(shù)為n(n+1)，3個平行四邊形包含的棋子數(shù)為3n(n
+1)，加上正六邊形的中心處的棋子，得第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．
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圖5
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方法4 ?將圖形分割成菱形
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如圖6，將圖形分割成三個全等的菱形，每個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2，3個菱形包含的棋子數(shù)為3(n+1)2，減去重復的三條邊包含的棋子數(shù)3
(n+1)，得3(n+1)2-3(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復計算了3次，減去重復的三條邊包含的棋子數(shù)后的結果不包含這枚棋子，所以結果應再加上這枚棋子，即第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．
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圖6
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方法5 ?將圖形分割成平行四邊形和菱形
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①按如圖7的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則平行四邊形包含的棋子數(shù)分別為n(n+1)，兩個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2和n2，所以第n
個圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
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圖7
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②按如圖8的方式將圖形分割成平行四邊形和菱形，則上面兩個平行四邊形包含的棋子數(shù)n(n+1)，下面兩個平行四邊形包含的棋子數(shù)為(n
+1)2，中間菱形包含的棋子數(shù)為n2，所以第n個圖案需要的棋子數(shù)為n(n+1)+(n+1)2+n2=3n2+3n+1．
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圖8
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方法6 ?將圖形分割成菱形和三角形
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如
圖9，將圖形分割成兩個菱形和兩個三角形，則每個菱形包含的棋子數(shù)為(n+1)2，每個三角形包含的棋子數(shù)為1+2+3+…+n+1=
(n+1)(n+2)，兩個菱形和兩個三角形包含的棋子數(shù)為2(n+1)2+(n+1)(n+2)=3n2+7n+4．減去重復的四條邊包含的棋子數(shù)4(n+1)，得3n2+7n+4-4(n+1)=3n2+3n．由于處于正六邊形的中心處的棋子重復計算了4次，減去重復的四條邊包含的棋子數(shù)后的結果不包含這枚棋子，所以結果應再加上這枚棋子，即第n個圖案需要的棋子數(shù)為3n2+3n+1．?
圖9
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方法7 ?將圖形分割成梯形
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如圖10，將圖形分割成梯形，先看中心線上面的梯形，從里向外，第1個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)
包含的棋子數(shù)為3×1-1=2，第2個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為3×2-1=5，第3個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為3×3-1=8，…，第n個梯形的上底和兩腰(除去下底的兩個頂點)包含的棋子數(shù)為3n-1，所以這n個梯形含的棋子數(shù)為3×1-1+3×2-1+3×3-1+…+3n-1=(1+2+3+…+n)×3-n=
n(n+1)-n．?
圖
10
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由對稱性可知，中心線下面n個梯形包含的棋子數(shù)也為
n(n+1)-n，而中心線包含的棋子數(shù)為2n+1．所以第n個圖案需要的棋子數(shù)為[
n(n+1)-n]×2+2n+1=3n2+3n+1．?
感悟：看似一道普通的“用代數(shù)式描述圖形規(guī)律”題，我們通過從不同的角度進行觀察圖形、探究圖形的構成，不僅體驗到了探究數(shù)學的樂趣，而且培養(yǎng)了我們的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新思維，使我們的思維變得更加靈活．
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