天津市第四十二中學(xué) 張鼎言
5. 已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則有( )
A. |FP1|+|FP2|=|FP3|
B. |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C. 2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D. |FP2|2=|FP1||FP3|
分析∵P1、P2、P3在拋物線上，
∴由拋物線定義
|PF1|=x1-(--)
=x1+-
|PF2|=x2+-
|PF3|=x3+-
又2x2=x1+x3
2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)
∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|
選C
6. 已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于( )
(A)3 (B)4
(C)3- (D)4-
解：A(x1，y1)，與B(x2，y2)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，又A、B在拋物線上，
-
(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)
∵點(diǎn)A不在直線x+y=0上
∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)
-
A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然
∴|AB|=3-，選C
7. 雙曲線C1：---=1(a0，b0)的左準(zhǔn)線為l，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1和F2;拋物線C2的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F2;C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為M，則---等于( )
A. -1 B. 1
C. -- D. -
解：|F1F2|=2c，設(shè)|MF1|=x，|MF2|=y
由M在雙曲線C1上，x-y=2a
M在拋物線C2上，|MN|= |MF2|=y
又M在C1上，由雙曲線第二定義-=-=-
-
---
=---=-1 選A
注：本題把雙曲線定義、第二定義與拋物線定義連結(jié)在一起，這里M在C1、C2上是突破口，所以幾何圖形上的公共點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)的交叉點(diǎn)，是設(shè)計(jì)問(wèn)題的重要根源.
(三) 直線與圓錐曲線相切
復(fù)習(xí)導(dǎo)引：學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，求圓錐曲線的切線多了一條重要途徑，歸結(jié)起來(lái)求切線可用判別式△=0或求導(dǎo).
1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C(0，c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A、B兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l：y=-c交于P，Q，(1)若-■=2，求c的值;
(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線;
(3)試問(wèn)(2)的逆命題是否成立?說(shuō)明理由。
解：(1)-
設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)
△=k2+4c0
x1+x2=k，x1x2=-c，y1y2=(x1x2)2 =c2
-■=x1x2+(x1x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)
解(2)線段AB中點(diǎn)P(xp，yp)
xp=-，yp=-
∴xp=-，Q(-，-c)
kAQ=-
=-=2x1
又過(guò)A點(diǎn)的切線斜率
k=y'-=2x1
∴AQ是此拋物線在A點(diǎn)的切線。
解(3)過(guò)A點(diǎn)的切線：y-y1=2x1(x-x1)
y-x12=2x1(x-x1)
化簡(jiǎn) y=2x1x-x12
Q(-，-c)是否滿足方程。
y=2x1■-x12=x1x2=-c
∴過(guò)A點(diǎn)的切線過(guò)Q點(diǎn)
∴逆命題成立
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