以下2015武漢武昌區(qū)高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)理試題及答案由出國(guó)留學(xué)網(wǎng)高考頻道為您精心提供，希望對(duì)您有所幫助。
武昌區(qū)2015屆高三年級(jí)元月調(diào)研考試
理 科 數(shù) 學(xué) 試 卷
本試題卷共5頁(yè)，共22題。滿分150分，考試用時(shí)120分鐘
★祝考試順利 ★
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卷指定位置，認(rèn)真核對(duì)與準(zhǔn)考證號(hào)條形碼上的信息是否一致，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卷上的指定位置。
2．選擇題的作答：選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷上無(wú)效。
3．非選擇題的作答：用黑色墨水的簽字筆直接答在答題卷上的每題所對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷上或答題卷指定區(qū)域外無(wú)效。
4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回，考生自己保管好試題卷，評(píng)講時(shí)帶來(lái)。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．i為虛數(shù)單位，若 ,則
A．1 B． C． D．2
2．已知 , ，“存在點(diǎn) ”是“ ”的
A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件
3．若 的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20，則a2＋b2的最小值為
A．1 B．2 C．3 D．4
4．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 0.5
0.5 2.0
得到的回歸方程為 .若 ，則 每增加1個(gè)單位， 就
A．增加 個(gè)單位 B．減少 個(gè)單位
C．增加 個(gè)單位 D．減少 個(gè)單位
5.如圖，取一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，把所得的幾何體與一個(gè)半徑為R的半球放在同一水平面 上.用一平行于平面 的平面去截這兩個(gè)幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面（圖中陰影部分）.設(shè)截面面積分別為 和 ，那么
A． B． = C． D．不確定
6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積和體積分別是
A．24+ 和40
B．24+ 和72
C．64+ 和40
D．50+ 和72
7．已知x，y滿足約束條件 若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為
A.12或－1 B．2或12 C．2或1 D．2或－1
8．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,—1)，B( ,—1)，C( ,1)，D(0,1)，正弦曲線f(x)=sinx和余弦曲線g(x)=cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是
A．
B．
C．
D．
9．拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ， 是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 ．設(shè)線段 的中點(diǎn) 在 上的投影為 ，則 的最大值是
A． B． C． D．
10．已知函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，且 .若函數(shù) 在區(qū)間 上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分. 請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上. 答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，模棱兩可均不得分.
（一）必考題（11—14題）
11．已知正方形 的邊長(zhǎng)為 , 為 的中點(diǎn), 為 的中點(diǎn),則 _______.
12．根據(jù)如圖所示的框圖，對(duì)大于2的整數(shù)N，輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______.
13.設(shè)斜率為 的直線 與雙曲線 交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P、Q在 軸上的射影恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的離心率是 .
14. “漸升數(shù)”是指除最高位數(shù)字外，其余每一個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如13456和35678都是五位的“漸升數(shù)”）.
（Ⅰ）共有 個(gè)五位“漸升數(shù)”（用數(shù)字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“漸升數(shù)”按照從小到大的順序排列，則第110個(gè)五位“漸升數(shù)”是 .
（二）選考題（請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答，請(qǐng)先在答題卡指定位置將你所選的題目序號(hào)后的方框用2B鉛筆涂黑. 如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分.）
15．（選修4-1：幾何證明選講）
過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC依次交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________．
16．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線 的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)，a為實(shí)數(shù)常數(shù)），曲線 的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)，b為實(shí)數(shù)常數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程是 . 若 與 分曲線 所成長(zhǎng)度相等的四段弧，則 .
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（本小題滿分11分）
已知函數(shù) 的在區(qū)間 上的最小值為0.
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求使 成立的x的集合.
18．（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為 ，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得 ？若存在，求 的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.
19．（本小題滿分12分）
如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體 中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.
（Ⅰ）求證：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐 的體積取得最大值時(shí)，求二面角 的正切值.
20．（本小題滿分12分）
對(duì)某交通要道以往的日車(chē)流量（單位：萬(wàn)輛）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下記錄：
日車(chē)流量x
頻率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0
將日車(chē)流量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的車(chē)流量相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日車(chē)流量都不低于10萬(wàn)輛且另1天的日車(chē)流量低于5萬(wàn)輛的概率；
（Ⅱ）用X表示在未來(lái)3天時(shí)間里日車(chē)流量不低于10萬(wàn)輛的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓C： 的焦距為4，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，T為直線 上縱坐標(biāo)不為0的任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.
（?。┤鬙T平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求 的值；
（ⅱ）在（?。┑臈l件下，當(dāng) 最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．
22．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) (a為常數(shù))，曲線y＝f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為－1.
(Ⅰ)求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)證明：當(dāng) 時(shí)， ；
(Ⅲ)證明：當(dāng) 時(shí)， .
武昌區(qū)2015屆高三年級(jí)元月調(diào)研考試
理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則
一、選擇題：
1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C
二、填空題：
11． 0 12． an＝2n，或aN＝2N 13.
14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2
三、解答題：
17．解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以 .
因?yàn)?時(shí)， ，所以 時(shí) 的取得最小值 .
依題意， ，所以 ；…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
要使 ，即 .
所以 ，即 .
當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， .
又 ，故使 成立的x的集合是 .………………………………（11分）
18．解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列 的公差為 ，依題意，1， ， 成等比數(shù)列，
所以 ，即 ，所以 或 .
因此，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， .……………………………………………（6分）
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得 ；
當(dāng) 時(shí)，
.
由 ，得 ，解得 .
故 的最大值為1006. …………………………………………………（12分）
19．解：設(shè) .以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：
， ， ， ， , ， , ,
, .
（Ⅰ）因?yàn)?， ，
所以 .
所以 .………………………………………（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?，
所以當(dāng) 取得最大值時(shí)，三棱錐 的體積取得最大值.
因?yàn)?，
所以當(dāng) 時(shí)，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐B1-BEF的體積取得最大值，此時(shí)E，F(xiàn)坐標(biāo)分別為 , .
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 得
取 ，得 .顯然底面 的法向量為 .
設(shè)二面角 的平面角為 ，由題意知 為銳角.
因?yàn)?，所以 ，于是 .
所以 ，即二面角 的正切值為 .………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）設(shè)A1表示事件“日車(chē)流量不低于10萬(wàn)輛”，A2表示事件“日車(chē)流量低于5萬(wàn)輛”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日車(chē)流量不低于10萬(wàn)輛且另1天車(chē)流量低于5萬(wàn)輛”．則
P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P(A2)＝0.05，
所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分）
（Ⅱ） 可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為
， ，
， .
X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
因?yàn)閄～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1. ……………………………………………（12分）
21．解：（Ⅰ）由已知可得 解得a2＝6，b2＝2.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 . …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┛傻?，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，0).
設(shè)直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得x＝my+2，x26＋y22＝1.
消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝-4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝12m2＋3.
設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
因?yàn)?，所以直線FT的斜率為 ，其方程為 .
當(dāng) 時(shí)， ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
此時(shí)直線OT的斜率為 ，其方程為 .
將M點(diǎn)的坐標(biāo)為 代入，得 .
解得 . ………………………………………………（8分）
（ⅱ）由（?。┲猅為直線 上任意一點(diǎn)可得，點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
于是 ，
.
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)|TF||PQ|取得最小值 ．
故當(dāng)|TF||PQ|最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）
22．解：（Ⅰ）由 ，得 .
又 ，所以 .所以 ， .
由 ，得 .
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增. ……………………（4分）
(Ⅱ)證明：由（Ⅰ）知 .
所以 ，即 ， .
令 ，則 .
所以 在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 .…………（8分）
(Ⅲ)首先證明：當(dāng) 時(shí)，恒有 .
證明如下：令 ，則 .
由(Ⅱ)知，當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，所以 .
所以 ，即 .
依次取 ，代入上式，則
，
，
.
以上各式相加，有
所以 ，
所以 ，即 .………（14分）
另解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）
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