出國留學(xué)網(wǎng)高考頻道為您提供最及時的資訊，下面的2015荊門高三元月調(diào)考理科數(shù)學(xué)試題及答案希望對您有所幫助
絕 密 ★ 啟用前
荊門市2014-2015學(xué)年度高三年級元月調(diào)研考試
數(shù) 學(xué)（理）
本試卷共4頁，21題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。
★祝考試順利★
注意事項：
1、答卷前，先將自己的學(xué)校、班級、姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3、非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分． 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．集合 ，則
A． B． C． D．
2．下列命題中，真命題是
A． ，使得 B．
C． D． 是 的充分不必要條件
3．要得到函數(shù) 的圖象，只需將函數(shù) 的圖象
A．向右平移 個單位長度 B．向左平移 個單位長度
C．向右平移 個單位長度 D．向左平移 個單位長度
4．對于函數(shù) 若 ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)
A．一定有零點 B．一定沒有零點
C．可能有兩個零點 D．至多有一個零點
5．設(shè) , 對于使 成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做 的上確界. 若 ，且 ，則 的上確界為
A． B． C． D．
6．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為
A． B． C． D．
7．點 是如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括邊界）的任意一點，若目標(biāo)函數(shù) z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 的最大值是
A． B． C． D．
8. 在直角坐標(biāo)平面上， , 且 與 在直線l的方向向量上的投影的長度相等，則直線l的斜率為
A． B． C． 或 D．
9．對于一個有限數(shù)列 ， 的蔡查羅和（蔡查羅是一位數(shù)學(xué)家）定義為 ，其中 ．若一個99項的數(shù)列（ 的蔡查羅和為1000，那么100項數(shù)列 的蔡查羅和為
A．991 B．992 C．993 D．999
10．設(shè)雙曲線 的右焦點為 ，過點 作與 軸垂直的直線 交兩漸近線于 兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為 ，設(shè) 為坐標(biāo)原點，若 ， ，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分)
11．已知函數(shù) ，若 ，則 ▲ ．
12．由直線 上的點向圓 引切線，則切線長的最小值為 ▲ ．
13．若函數(shù) 在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間 內(nèi)存在極值，則實數(shù) 的取值范圍 ▲ ．
14．在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長的長度成正比．如果 的力能使彈簧伸長 ，則把彈簧從平衡位置拉長 （在彈性限度內(nèi)）時所做的功為 ▲ （單位：焦耳）.
15．已知：對于給定的 及映射 ，若集合 ，且 中所有元素在B中對應(yīng)的元素之和大于或等于 ，則稱 為集合 的好子集．
①對于 ，映射 ，那么集合 的所有好子集的個數(shù)為 ▲ ；
②對于給定的 ， ，映射 的對應(yīng)關(guān)系如下表：
1 2 3 4 5 6
f(x) 1 1 1 1 1 y z
若當(dāng)且僅當(dāng) 中含有 和至少 中3個整數(shù)或者 中至少含有 中5個整數(shù)時， 為集合 的好子集，則所有滿足條件的數(shù)組 為 ▲ ．
三 、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
已知向量 ，設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）求 在區(qū)間 上的零點；
（Ⅱ）在△ 中，角 的對邊分別是 ，且滿足 ，求 的取值范圍．
17．（本小題滿分12分）
已知等比數(shù)列 滿足： ，且 是 的等差中項.
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的，令 ， … ，求使 成立的正整數(shù) 的最小值．
18．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐 中，底面 是正方形， 底面 ， , 點 是 的中點， ，且交 于點 ．
（Ⅰ）求證: 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
19．（本小題滿分12分）
某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得投資收益的范圍是 （單位:萬元）．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金 （單位:萬元）隨投資收益 （單位:萬元）的增加而增加，且獎金不超過 萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）若建立函數(shù)模型 制定獎勵方案，請你根據(jù)題意，寫出獎勵模型函數(shù)應(yīng)滿足的條件；
（Ⅱ）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型： ； ．試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求．
20．（本小題滿分13分）
如圖，已知圓E: ，點 ，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡 的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線 與(Ⅰ)中軌跡 相交于 兩點, 直線 的斜率分別為 (其中 )．△ 的面積為 , 以 為直徑的圓的面積分別為 ．若 恰好構(gòu)成等比數(shù)列, 求 的取值范圍．
21．(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù) ， ．
（Ⅰ）討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求滿足條件的最大整數(shù) ；
（Ⅲ）如果對任意的 ，都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍．
荊門市2014-2015學(xué)年度高三年級元月調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(理)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：（每小題5分，10小題共50分）
1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7.B 8. C 9. D 10. A
二、填空題（每小題5分，5小題共25分）
11． ； 12． ； 13． ； 14． ； 15．①5，② .
三、解答題:(本大題共6小題，共75分)
16．因為 ，函數(shù) ．
所以 ………………………2分
………………………4分
（Ⅰ）由 ，得 ．
，或
，或 ………………………6分
又 ， 或 ．
所以 在區(qū)間 上的零點是 和 ． ………………………8分
（Ⅱ）在△ 中， ，所以 ．
由 且 ，得 從而 ……………10分
， ． ………………12分
17. （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列 的首項為 ，公比為
依題意，有 ，代入 ，可得 ，………2分
， 解之得 或 …………4分
當(dāng) 時， ； 當(dāng) 時， ．
數(shù)列 的通項公式為 或 ． …………………6分
(Ⅱ)∵等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的， ， ，
③ ………………………8分
④ 由③－④，得
………………………10分
即 ，即
易知：當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，
故使 成立的正整數(shù) 的最小值為5. ……………………12分
18.(選修2一1第109頁例4改編)
方法一：（Ⅰ）證明：連結(jié) 交 于 ，連結(jié) ．
是正方形，∴ 是 的中點．
是 的中點，∴ 是△ 的中位線．
∴ ． ………………………2分
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． ………………………4分
（Ⅱ）證明：由條件有
∴ 平面 ，且 平面 ∴
又∵ 是 的中點，∴
∴ 平面 平面 ∴ ……………6分
由已知 ∴ 平面
又 平面 ∴平面 平面 ……………………8分
（Ⅲ）取 中點 ，則 ．作 于 ，連結(jié) ．
∵ 底面 ，∴ 底面 ．
∴ 為 在平面 內(nèi)的射影．
∵ ,∴ ．
∴ 為二面角 的平面角． ………………………10分
設(shè) ，在 中， ，
∴ ．
∴ 二面角 的余弦的大小為 ． ………………………12分
方法二：（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系
，由 ,可設(shè) ，則
．
， ，
,即有 …6分
又 且 ．
平面 ． 又 平面
∴平面 ⊥平面 ． ………………………8分
（Ⅲ） 底面 ，∴ 是平面 的一個法向量， ．
設(shè)平面 的法向量為 ,
, 則 即 , ∴
令 ,則 ． ……………………10分
, 由作圖可知二面角 為銳二面角
∴二面角 的余弦值為 ． ………………………12分
19．（本小題滿分12分）(必修一第127頁例2改編)
（Ⅰ）設(shè)獎勵函數(shù)模型為 ，則該函數(shù)模型滿足的條件是：
①當(dāng) 時， 是增函數(shù)；
②當(dāng) 時， 恒成立；
③當(dāng) 時， 恒成立． ………………………5分
（Ⅱ）（1）對于函數(shù)模型 ，它在 上是增函數(shù)，滿足條件①；
但當(dāng) 時， ，因此，當(dāng) 時， ，不滿足條件②；
故該函數(shù)模型不符合公司要求． ………………………7分
（2）對于函數(shù)模型 ，它在 上是增函數(shù)．滿足條件①
時 ，即 恒成立．滿足條件②…9分
設(shè) ，則 ，又
，所以 在 上是遞減的，因此
，即 恒成立．滿足條件③
故該函數(shù)模型符合公司要求
綜上所述，函數(shù)模型 符合公司要求． ………………………12分
20．(選修2一1第49頁習(xí)題第7題改編)
（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4 ，
故動點Q的軌跡 是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓． ………………………2分
設(shè)其方程為 ，可知 ， ，則 ，……3分
所以點Q的軌跡 的方程為 ． ………………………4分
(Ⅱ)設(shè)直線 的方程為 ， ，
由 可得 ，
由韋達(dá)定理有：
且 ………………………6分
∵ 構(gòu)成等比數(shù)列， = ，即：
由韋達(dá)定理代入化簡得： ．∵ ， ． ………………………8分
此時 ，即 ．又由 三點不共線得
從而 ．
故
……………………………………10分
∵
則
為定值． ……………………12分
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立．
綜上： 的取值范圍是 ． ……………………13分
21. (Ⅰ) , 定義域（0， ） ……………………1分
①當(dāng) 時， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, …………………2分
②當(dāng) 時， ，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 . …………4分
(Ⅱ)存在 ，使得 成立,
等價于 . ……………………5分
考察
0
3
+ 0 - 0 +
遞增
遞減
遞增 15
……………7分
由上表可知 ，
，
所以滿足條件的最大整數(shù) ． ……………………9分
（Ⅲ）當(dāng) 時，由（Ⅱ）可知， 在 上是減函數(shù)，
在 上增函數(shù)，而
的最大值是1. ……………………………………10分
要滿足條件，則只需當(dāng) 時， 恒成立,
等價于 恒成立,
記 ， ， .…………11分
當(dāng) 時, 即函數(shù) 在區(qū)間 上遞增，
當(dāng) 時, 即函數(shù) 在區(qū)間 上遞減，
取到極大值也是最大值 ． ………………………13分
所以 . ……………………14分
另解:設(shè) ，
由于 ，
所以 在 上遞減，又
當(dāng) 時， 時 ，
即函數(shù) 在區(qū)間 上遞增，在區(qū)間 上遞減， ……………13分
所以 ，所以 . ………………………14分
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