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浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2015屆第二次適應(yīng)性測(cè)試
數(shù)學(xué)（理科）試題 2015.01
本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至2頁(yè)，非選擇題部分3至4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．
選擇題部分（共50分）
注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上．
參考公式：
球的表面積公式 棱柱的體積公式
球的體積公式 其中 表示棱柱的底面積， 表示棱柱的高
棱臺(tái)的體積公式
其中R表示球的半徑
棱錐的體積公式 其中S1、S2分別表示棱臺(tái)的上、下底面積，
h表示棱臺(tái)的高
其中 表示棱錐的底面積， 表示棱錐的高 如果事件 互斥，那么
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知 ，若集合 中恰有 個(gè)元素，則（ ▲ ）。
A． B．
C． D．
2．設(shè) 是奇函數(shù)，則使 的 的取值范圍是（ ▲ ）。
A． B．
C． D．
3．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位： )如圖所示，則
該幾何體的側(cè)面積為（ ▲ ） 。
A． B．
C． D．
4．在空間給出下面四個(gè)命題(其中 、 為不同的兩條直線, 、 為不同的兩個(gè)平面)
① , // ② // , // //
③ // , , // ④ , // , // , // , // //
其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ▲ ）。
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
5．已知 ，若 的必要條件是 ，則
之間的關(guān)系是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
6．設(shè) 滿足約束條件 ，則 取值范圍是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
7．已知 為 的外心， ， ，若 ，且
，則 （ ▲ ）。
A． B． C． D．
8．已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 ， ， 為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，若 的最小值為 ，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
9．若 ，則 的最小值是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
10．已知等差數(shù)列 的公差 不為 ，等比數(shù)列 的公比 是小于 的正有理數(shù)。若
， ，且 是正整數(shù)，則 等于（ ▲ ）。
A． B． C． D．
非選擇題部分（共100分）
注意事項(xiàng)：1．用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上．
2．在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑．
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11．閱讀右側(cè)程序框圖,輸出的結(jié)果 的值為 ▲ 。
12．已知
是直角三角形的概率是 ▲ 。
13．已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面
積為 ▲ 。
14．已知 ，則
= ▲ 。
15．已知 中， ， ，
且 ，則 的取值范圍是 ▲ 。
16．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) , , 分別是橢圓的上下頂點(diǎn)， 是橢圓的左頂點(diǎn)， 是
橢圓的左焦點(diǎn)，直線 與 相交于點(diǎn) 。若橢圓的離心率為 ，則 的正切
值 ▲ 。
17．在等腰三角形 中， ， 在線段 ， （ 為常數(shù)，且 ）， 為定長(zhǎng)，則 的面積最大值為 ▲ 。
三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
18．（本小題滿分14分）
如圖，已知單位圓上有四點(diǎn)
，
分別設(shè) 的面積為 .
（1）用 表示 ；
（2）求 的最大值及取最大值時(shí) 的值。
19．（本小題滿分14分）
在 中，角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ，且 。
（1）求角 的值；
（2）若角 ， 邊上的中線 ，求 的面積。
20．（本小題滿分15分）
如圖，在幾何體 中， 平面 ，
平面 ， ，又 ，
。
（1）求 與平面 所成角的正弦值；
（2）求平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值。
21．（本小題滿分15分）
已知橢圓 的離心率為 ，且經(jīng)過(guò)
點(diǎn) 。 過(guò)它的兩個(gè)焦點(diǎn) ， 分別作直線 與 ，
交橢圓于 兩點(diǎn)， 交橢圓于 兩點(diǎn)，且 ．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求四邊形 的面積 的取值范圍。
22．（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，已知 ，且
，其中 為常數(shù)。
（1）證明：數(shù)列 為等差數(shù)列；
（2）證明：不等式 對(duì)任何正整數(shù) 都成立。
浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2015屆第二次適應(yīng)性測(cè)試
數(shù)學(xué)（理科）答案 2015.01
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C A D B D C A
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
18．（本小題滿分14分）
本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同
時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。
解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知
所以 ，所 .
又因?yàn)?四邊形OABC的面積＝ ，
所以 . （7分）
（2）由（1）知 .
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
所以 的最大值為 ，此時(shí) 的值為 . （7分）
19．（本小題滿分14分）
本題主要考查三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力。滿分14分．
解：（1）因?yàn)?，由正弦定理
得 ， （2分）
即 = 3sin(A+C) ． （2分）
因?yàn)锽＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，
所以 ．
因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以 ，因?yàn)?，所以 ． （3分）
（2）由（1）知 ，所以 ， ． （1分）
設(shè) ，則 ，又
在△AMC中，由余弦定理
得
即 解得x＝2. （4分）
故 （2分）
20．（本小題滿分15分）
本題通過(guò)分層設(shè)計(jì)，考查了空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間
想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 滿分15分.
解：過(guò)點(diǎn) 作 的垂線交 于 ,以 為原點(diǎn),
分別以 為 軸建立空間上角坐標(biāo)系。
,又 ,則點(diǎn) 到 軸的距離為1,到 軸的距離 為 。
則有 , , , , 。 （4分）
（1）設(shè)平面 的法向量為 ，
．
則有 ，取 ，得 ，又 ，
設(shè) 與平面 所成角為 ，則 ，
故 與平面 所成角的正弦值為 。 （5分）
（2）設(shè)平面 的法向量為 ，
，
則有 ，取 ，得 。
，
故平面 與平面 所成的銳二面角的余弦值是 。 （5分）
21．（本小題滿分15分）
本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考
查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。
解：（1）由 ，所以 ， （2分）
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得 ， （2分）
故所求橢圓方程為 （1分）
（2）當(dāng) 與 中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時(shí)四邊形
的面積為 ， （2分）
若 與 的斜率都存在，設(shè) 的斜率為 ，則 的斜率為 ．
直線 的方程為 ，
設(shè) ， ，聯(lián)立 ，
消去 整理得， （1）
， ， （1分）
，
（2） （1分）
注意到方程（1）的結(jié)構(gòu)特征，或圖形的對(duì)稱性，可以用 代替（2）中的 ，
得 ， （2分）
，令 ，
，
，
綜上可知，四邊形 面積的 . （3分）
22．（本小題滿分14分）
本題主要考查等差數(shù)列的概念與求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能
力。滿分14分。
解：由已知，得 ， ，
由 ，知
，即
解得 . （4分）
（1） ①
所以 ②
②-①得 ③
所以 ④
④-③得
因?yàn)?nbsp;
所以
因?yàn)?nbsp;
所以
所以 ，
又
所以數(shù)列 為等差數(shù)列 （5分）
（2） 由（1）可知， ，
要證
只要證 ，
因?yàn)?nbsp; ，
，
故只要證 ，
即只要證 ，因?yàn)?BR> 所以命題得證 （5分）
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