高中數(shù)學(xué)選修1-1《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案【一】
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容選自課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材人教A版，是導(dǎo)數(shù)的起始課，主要內(nèi)容有變化率問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)的概念。
導(dǎo)數(shù)是微積分中的核心概念，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生將學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，體會(huì)其中蘊(yùn)含的思想方法，感受其在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。
大綱教材中導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，這種建立概念的方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學(xué)生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)理解。
課標(biāo)教材則不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識(shí)，而是通過(guò)列表計(jì)算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(shì)(蘊(yùn)涵著極限的描述性定義)，這種直觀形象的方法中蘊(yùn)含了逼近的思想，這樣定義導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是：
1.使學(xué)生將更多精力放在導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上;
2.學(xué)生對(duì)逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解，有利于在大學(xué)的初級(jí)階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義.
基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用逼近的思想方法引導(dǎo)學(xué)生探索理解導(dǎo)數(shù)的思想及內(nèi)涵。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.通過(guò)分析實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;
2.通過(guò)動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和抽象概括的能力，體會(huì)逼近的思想方法; 3.經(jīng)歷從生活中的變化率問(wèn)題抽象概括出平均變化率的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。通過(guò)概念的形成過(guò)程體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)動(dòng)速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識(shí)，但是如何從具體實(shí)例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵之一。對(duì)于吹氣球問(wèn)題要用函數(shù)的觀點(diǎn)分析變化過(guò)程中的自變量和函數(shù)值，自然地引導(dǎo)學(xué)生建立半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)關(guān)系式;在吹氣過(guò)程中要注意觀察或者想象，并把實(shí)際操作轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，比如當(dāng)吹入差不多大小相同的一口氣時(shí)，是指氣球的體積的增量相同等。
2.對(duì)于利用平均速度解決瞬時(shí)速度的問(wèn)題還是第一次，很難做到一次到位，因此，“從平均變化率向瞬時(shí)變化率的過(guò)渡”是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn);同時(shí)，這個(gè)問(wèn)題所涉及到的“逼近”思想，學(xué)生雖然在數(shù)學(xué)1“二分法”的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所接觸，但是沒(méi)有經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)，運(yùn)用起來(lái)還是有一定難度，所以，“逼近”思想的滲透、“逼近”方法的應(yīng)用將是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。
基于上述分析本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：幫助學(xué)生理解氣球平均變化率問(wèn)題和“逼近”的思想方法的應(yīng)用。
四、教學(xué)支持條件分析
在教學(xué)中適時(shí)地使用信息技術(shù)，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生更好地理解概念 1.通過(guò)將計(jì)算結(jié)果實(shí)物投影，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂中來(lái)，使學(xué)生保持高水平的思維活動(dòng);
2.通過(guò)幾何畫(huà)板演示，使學(xué)生對(duì)概念的理解更直觀，生動(dòng)。
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1.創(chuàng)設(shè)情境、引入新課
教師介紹：微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要方法和手段。在本章中，學(xué)生將通過(guò)大量的實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，那么，我們先來(lái)研究變化率的問(wèn)題，引出新課。
設(shè)計(jì)意圖：充分挖掘章引言的教學(xué)價(jià)值，它說(shuō)明了三方面的問(wèn)題：首先，簡(jiǎn)明的指出了函數(shù)和微積分的關(guān)系;其次，概述了微積分的創(chuàng)立史及它的地位;第三，概述本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
2.實(shí)例探索，引出概念
問(wèn)題1：大家可能有過(guò)吹氣球的經(jīng)驗(yàn)。在吹氣球的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來(lái)越慢。這個(gè)過(guò)程中的自變量和函數(shù)值分別是誰(shuí)?試建立它們之間的函數(shù)關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度如何描述上述變化過(guò)程呢?
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析生活實(shí)例，提煉數(shù)學(xué)模型，為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。
師生活動(dòng)：回憶吹氣球的過(guò)程(或者讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)吹氣球)，建立半徑r關(guān)于體積V的函
數(shù)關(guān)系：r(V)?
r(V2)?r(V1)
。通過(guò)觀察和計(jì)算，用數(shù)據(jù)解釋上述現(xiàn)象，并通過(guò)幾何畫(huà)板演示，更逼真的
V2?V1
感受上述現(xiàn)象。圖1直觀地演示了當(dāng)球的體積增大(黑色部分面積變大，綠色越來(lái)越薄)時(shí)，半徑增大越來(lái)越小。圖2演示當(dāng)A，B兩點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，自變量的增量保持不變，但是平均變化率越來(lái)越小。
圖1
問(wèn)題2 怎樣才能更準(zhǔn)確的描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)呢?
設(shè)計(jì)意圖：分析實(shí)例，抽象數(shù)學(xué)模型，為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景，并使學(xué)生初步感受平均變化率的不足，激發(fā)進(jìn)一步探求新知的欲望。
師生活動(dòng)：
問(wèn)題2
中的平均變化率計(jì)算公式v?
h(t2)?h(t1)
t2?t1
并借助于幾何畫(huà)給予直觀解釋。
3.分析歸納，得到概念
問(wèn)題3 對(duì)比問(wèn)題1和問(wèn)題2中的平均變化率計(jì)算關(guān)系式，他們有什么共同特點(diǎn)?對(duì)于一般函數(shù)f(x),如何計(jì)算其平均變化率?
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合兩個(gè)實(shí)例，對(duì)比、分析，抽象概括出一般形式，經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)過(guò)程。
師生活動(dòng)：學(xué)生討論，分析，歸納根據(jù)前面的實(shí)例，得到結(jié)論：
f(x2)?f(x1)稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化定義：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子21f(x2)?f(x1)?y率，則 ?
x2?x1?x
其中△x 、△ y 的值可正、可負(fù)，但△x值不能為0， △ y 的值可以為0。
x?x
若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)， △ y =0。 變式：
f(x)?f(x)f(x?? x)?f(x)
?
x?x? x
2
1
1
1
2
1
。
21
?問(wèn)題4 觀察函數(shù)f(x)的平均變化率，結(jié)合直線的斜率分析平均
f(x)?f(x)
x2?x1
?y?x
變化率的幾何意義是什么?
圖4
設(shè)計(jì)意圖：從幾何角度得到平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。
r(v0??v)?r(v0)。 ?v?0?vlim
問(wèn)題8 對(duì)于一般函數(shù)f(x)在x?x0處的瞬時(shí)變化率如何表示呢?
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問(wèn)題的實(shí)際意義，抽象得出函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的飛躍。
師生活動(dòng)：在前面兩個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上提出導(dǎo)數(shù)的概念：
一般地，函數(shù)f(x)在x?x0處的瞬時(shí)變化率是：
lim
y?|f?(x0)?lim稱(chēng)為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作 f?(x0)或 x ?x ，即：?x?00?x?0f(x?Δx)?f(x) ?y?lim? x? x00 ?x?0 f(x0?Δx)?f(x0) .? x
5.自主歸納，提升認(rèn)識(shí)
問(wèn)題9：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲?
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系，理清知識(shí)脈絡(luò)，更好地理解本節(jié)課的知識(shí)和思想方法。
師生活動(dòng)：在學(xué)生自主小結(jié)的基礎(chǔ)上揭示函數(shù)思想、逼近思想方法，概念形成過(guò)程中的抽象概括。
六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1.將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果
2?在第x h時(shí)候，原油溫度(單位：c)為f(x)?x?7x?15(0?x?8)。
(1)計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它的意義。
(2)計(jì)算第3h和第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它的意義。
2.已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系S(t)=-2t2+5t
(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時(shí)速度。
(2)求物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。
(3)求物體t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度，并判斷物體作什么運(yùn)動(dòng)?
設(shè)計(jì)意圖：目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型，建立各學(xué)科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。
高中數(shù)學(xué)選修1-1《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案【二】
教學(xué)準(zhǔn)備
1. 教學(xué)目標(biāo)
(1)理解平均變化率的概念.
(2)了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率、的概念.
(3)理解導(dǎo)數(shù)的概念
(4)會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率.
2. 教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念及導(dǎo)數(shù)概念的形成和理解
教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)
3. 教學(xué)用具
多媒體、板書(shū)
4. 標(biāo)簽
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情景、引入課題
【師】十七世紀(jì)，在歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工場(chǎng)的手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過(guò)渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產(chǎn)生。
【板演/PPT】
【師】人們發(fā)現(xiàn)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?
【板演/PPT】
讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不急于下結(jié)論，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：欲知結(jié)論怎樣，讓我們一起來(lái)觀察、研探。
【設(shè)計(jì)意圖】自然進(jìn)入課題內(nèi)容。
二、新知探究
[1]變化率問(wèn)題
【合作探究】
探究1 氣球膨脹率
【師】很多人都吹過(guò)氣球，回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?
氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是
如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么
【板演/PPT】
【活動(dòng)】
【分析】
當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為
0.62>0.16
可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.
【思考】當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?
解析：
探究2 高臺(tái)跳水
【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?
(請(qǐng)計(jì)算)
【板演/PPT】
【生】學(xué)生舉手回答
【活動(dòng)】學(xué)生覺(jué)得問(wèn)題有價(jià)值，具有挑戰(zhàn)性，迫切想知道解決問(wèn)題的方法。
【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)問(wèn)題由易到難，讓學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階。為引入變化率的概念以及加深對(duì)變化率概念的理解服務(wù)。
探究3 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在
這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題:
(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?
(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?
【板演/PPT】
【生】學(xué)生舉手回答
【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).
【活動(dòng)】師生共同歸納出結(jié)論
平均變化率:
上述兩個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系用y=f(x)表示，那么問(wèn)題中的變化率可用式子
我們把這個(gè)式子稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.
習(xí)慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2
同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：
【幾何意義】觀察函數(shù)f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?
探究2 當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢(shì)?
從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度
當(dāng)△ t 趨近于0時(shí), 即無(wú)論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時(shí), 平均速度都趨近與一個(gè)確定的值 –13.1.
從物理的角度看, 時(shí)間間隔 |△t |無(wú)限變小時(shí), 平均速度就無(wú)限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此, 運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的瞬時(shí)速度是 –13.1 m/s.
為了表述方便，我們用xx表示“當(dāng)t =2, △t趨近于0時(shí), 平均速度 趨近于確定值– 13.1”.
【瞬時(shí)速度】
我們用
表示 “當(dāng)t=2, Δt趨近于0時(shí),平均速度趨于確定值-13.1”.
局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 的瞬時(shí)速度?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由平均速度到瞬時(shí)速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。
探究3:
(1).運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度怎樣表示?
(2).函數(shù)f(x)在 x = x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?
導(dǎo)數(shù)的概念:
一般地，函數(shù) y = f (x)在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是
稱(chēng)為函數(shù) y = f(x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作
或,
【總結(jié)提升】
由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:
[3]例題講解
例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 計(jì)算第2h與第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)明它們的意義.
解: 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是
在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為–3和5. 它說(shuō)明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.
[4]本節(jié)課知識(shí)總結(jié)
1.函數(shù)的平均變化率
2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)計(jì)算平均變化率
3、求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求極限
4、由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0
)
(2))平均變化率
(3)求極限
三、復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置
[1] 課堂練習(xí)
1.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時(shí)，函數(shù)值的改變量Δy為 ( ) A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=8+t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 ( ) A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.過(guò)曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1，1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率.
課堂練習(xí)【參考答案】
1. D
解析：分別寫(xiě)出x=x0和x=x0+Δx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)和f(x0+Δx)，兩式相減，就得到了函數(shù)值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，故應(yīng)選D.
2. B
解析：
3.解析：
教案設(shè)計(jì)頻道小編推薦：高中數(shù)學(xué)教案 | 高三數(shù)學(xué)教案 | 高三數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃
教案設(shè)計(jì)頻道小編推薦：高中數(shù)學(xué)教案 | 高三數(shù)學(xué)教案 | 高三數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
本節(jié)內(nèi)容選自課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材人教A版，是導(dǎo)數(shù)的起始課，主要內(nèi)容有變化率問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)的概念。
導(dǎo)數(shù)是微積分中的核心概念，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本章的學(xué)習(xí)中，學(xué)生將學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，體會(huì)其中蘊(yùn)含的思想方法，感受其在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。
大綱教材中導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，這種建立概念的方式具有嚴(yán)密的邏輯性和系統(tǒng)性，但學(xué)生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)理解。
課標(biāo)教材則不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識(shí)，而是通過(guò)列表計(jì)算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢(shì)(蘊(yùn)涵著極限的描述性定義)，這種直觀形象的方法中蘊(yùn)含了逼近的思想，這樣定義導(dǎo)數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是：
1.使學(xué)生將更多精力放在導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解上;
2.學(xué)生對(duì)逼近思想有了豐富的直觀基礎(chǔ)和一定的理解，有利于在大學(xué)的初級(jí)階段學(xué)習(xí)嚴(yán)格的極限定義.
基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用逼近的思想方法引導(dǎo)學(xué)生探索理解導(dǎo)數(shù)的思想及內(nèi)涵。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.通過(guò)分析實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;
2.通過(guò)動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和抽象概括的能力，體會(huì)逼近的思想方法; 3.經(jīng)歷從生活中的變化率問(wèn)題抽象概括出平均變化率的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。通過(guò)概念的形成過(guò)程體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1.吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)動(dòng)速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識(shí)，但是如何從具體實(shí)例中抽象出共同的數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是本節(jié)課教學(xué)的關(guān)鍵之一。對(duì)于吹氣球問(wèn)題要用函數(shù)的觀點(diǎn)分析變化過(guò)程中的自變量和函數(shù)值，自然地引導(dǎo)學(xué)生建立半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)關(guān)系式;在吹氣過(guò)程中要注意觀察或者想象，并把實(shí)際操作轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，比如當(dāng)吹入差不多大小相同的一口氣時(shí)，是指氣球的體積的增量相同等。
2.對(duì)于利用平均速度解決瞬時(shí)速度的問(wèn)題還是第一次，很難做到一次到位，因此，“從平均變化率向瞬時(shí)變化率的過(guò)渡”是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn);同時(shí)，這個(gè)問(wèn)題所涉及到的“逼近”思想，學(xué)生雖然在數(shù)學(xué)1“二分法”的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所接觸，但是沒(méi)有經(jīng)過(guò)反復(fù)練習(xí)，運(yùn)用起來(lái)還是有一定難度，所以，“逼近”思想的滲透、“逼近”方法的應(yīng)用將是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。
基于上述分析本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：幫助學(xué)生理解氣球平均變化率問(wèn)題和“逼近”的思想方法的應(yīng)用。
四、教學(xué)支持條件分析
在教學(xué)中適時(shí)地使用信息技術(shù)，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生更好地理解概念 1.通過(guò)將計(jì)算結(jié)果實(shí)物投影，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂中來(lái)，使學(xué)生保持高水平的思維活動(dòng);
2.通過(guò)幾何畫(huà)板演示，使學(xué)生對(duì)概念的理解更直觀，生動(dòng)。
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
1.創(chuàng)設(shè)情境、引入新課
教師介紹：微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要方法和手段。在本章中，學(xué)生將通過(guò)大量的實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，那么，我們先來(lái)研究變化率的問(wèn)題，引出新課。
設(shè)計(jì)意圖：充分挖掘章引言的教學(xué)價(jià)值，它說(shuō)明了三方面的問(wèn)題：首先，簡(jiǎn)明的指出了函數(shù)和微積分的關(guān)系;其次，概述了微積分的創(chuàng)立史及它的地位;第三，概述本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容。
2.實(shí)例探索，引出概念
問(wèn)題1：大家可能有過(guò)吹氣球的經(jīng)驗(yàn)。在吹氣球的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來(lái)越慢。這個(gè)過(guò)程中的自變量和函數(shù)值分別是誰(shuí)?試建立它們之間的函數(shù)關(guān)系，從數(shù)學(xué)角度如何描述上述變化過(guò)程呢?
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)分析生活實(shí)例，提煉數(shù)學(xué)模型，為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。
師生活動(dòng)：回憶吹氣球的過(guò)程(或者讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)吹氣球)，建立半徑r關(guān)于體積V的函
數(shù)關(guān)系：r(V)?
r(V2)?r(V1)
。通過(guò)觀察和計(jì)算，用數(shù)據(jù)解釋上述現(xiàn)象，并通過(guò)幾何畫(huà)板演示，更逼真的
V2?V1
感受上述現(xiàn)象。圖1直觀地演示了當(dāng)球的體積增大(黑色部分面積變大，綠色越來(lái)越薄)時(shí)，半徑增大越來(lái)越小。圖2演示當(dāng)A，B兩點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，自變量的增量保持不變，但是平均變化率越來(lái)越小。
圖1
問(wèn)題2 怎樣才能更準(zhǔn)確的描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)呢?
設(shè)計(jì)意圖：分析實(shí)例，抽象數(shù)學(xué)模型，為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景，并使學(xué)生初步感受平均變化率的不足，激發(fā)進(jìn)一步探求新知的欲望。
師生活動(dòng)：
問(wèn)題2
中的平均變化率計(jì)算公式v?
h(t2)?h(t1)
t2?t1
并借助于幾何畫(huà)給予直觀解釋。
3.分析歸納，得到概念
問(wèn)題3 對(duì)比問(wèn)題1和問(wèn)題2中的平均變化率計(jì)算關(guān)系式，他們有什么共同特點(diǎn)?對(duì)于一般函數(shù)f(x),如何計(jì)算其平均變化率?
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合兩個(gè)實(shí)例，對(duì)比、分析，抽象概括出一般形式，經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學(xué)過(guò)程。
師生活動(dòng)：學(xué)生討論，分析，歸納根據(jù)前面的實(shí)例，得到結(jié)論：
f(x2)?f(x1)稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化定義：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子21f(x2)?f(x1)?y率，則 ?
x2?x1?x
其中△x 、△ y 的值可正、可負(fù)，但△x值不能為0， △ y 的值可以為0。
x?x
若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時(shí)， △ y =0。 變式：
f(x)?f(x)f(x?? x)?f(x)
?
x?x? x
2
1
1
1
2
1
。
21
?問(wèn)題4 觀察函數(shù)f(x)的平均變化率，結(jié)合直線的斜率分析平均
f(x)?f(x)
x2?x1
?y?x
變化率的幾何意義是什么?
圖4
設(shè)計(jì)意圖：從幾何角度得到平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。
r(v0??v)?r(v0)。 ?v?0?vlim
問(wèn)題8 對(duì)于一般函數(shù)f(x)在x?x0處的瞬時(shí)變化率如何表示呢?
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問(wèn)題的實(shí)際意義，抽象得出函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的飛躍。
師生活動(dòng)：在前面兩個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上提出導(dǎo)數(shù)的概念：
一般地，函數(shù)f(x)在x?x0處的瞬時(shí)變化率是：
lim
y?|f?(x0)?lim稱(chēng)為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作 f?(x0)或 x ?x ，即：?x?00?x?0f(x?Δx)?f(x) ?y?lim? x? x00 ?x?0 f(x0?Δx)?f(x0) .? x
5.自主歸納，提升認(rèn)識(shí)
問(wèn)題9：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲?
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系，理清知識(shí)脈絡(luò)，更好地理解本節(jié)課的知識(shí)和思想方法。
師生活動(dòng)：在學(xué)生自主小結(jié)的基礎(chǔ)上揭示函數(shù)思想、逼近思想方法，概念形成過(guò)程中的抽象概括。
六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1.將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果
2?在第x h時(shí)候，原油溫度(單位：c)為f(x)?x?7x?15(0?x?8)。
(1)計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它的意義。
(2)計(jì)算第3h和第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它的意義。
2.已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系S(t)=-2t2+5t
(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時(shí)速度。
(2)求物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。
(3)求物體t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度，并判斷物體作什么運(yùn)動(dòng)?
設(shè)計(jì)意圖：目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型，建立各學(xué)科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。
高中數(shù)學(xué)選修1-1《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案【二】
教學(xué)準(zhǔn)備
1. 教學(xué)目標(biāo)
(1)理解平均變化率的概念.
(2)了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率、的概念.
(3)理解導(dǎo)數(shù)的概念
(4)會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率.
2. 教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念及導(dǎo)數(shù)概念的形成和理解
教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)
3. 教學(xué)用具
多媒體、板書(shū)
4. 標(biāo)簽
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情景、引入課題
【師】十七世紀(jì)，在歐洲資本主義發(fā)展初期，由于工場(chǎng)的手工業(yè)向機(jī)器生產(chǎn)過(guò)渡，提高了生產(chǎn)力，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，其中突出的成就就是數(shù)學(xué)研究中取得了豐碩的成果―――微積分的產(chǎn)生。
【板演/PPT】
【師】人們發(fā)現(xiàn)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?
【板演/PPT】
讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不急于下結(jié)論，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：欲知結(jié)論怎樣，讓我們一起來(lái)觀察、研探。
【設(shè)計(jì)意圖】自然進(jìn)入課題內(nèi)容。
二、新知探究
[1]變化率問(wèn)題
【合作探究】
探究1 氣球膨脹率
【師】很多人都吹過(guò)氣球，回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?
氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是
如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么
【板演/PPT】
【活動(dòng)】
【分析】
當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為(1)當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為
0.62>0.16
可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.
【思考】當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?
解析：
探究2 高臺(tái)跳水
【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t(單位：秒)存在函數(shù)關(guān)系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?
(請(qǐng)計(jì)算)
【板演/PPT】
【生】學(xué)生舉手回答
【活動(dòng)】學(xué)生覺(jué)得問(wèn)題有價(jià)值，具有挑戰(zhàn)性，迫切想知道解決問(wèn)題的方法。
【師】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【設(shè)計(jì)意圖】?jī)蓚€(gè)問(wèn)題由易到難，讓學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階。為引入變化率的概念以及加深對(duì)變化率概念的理解服務(wù)。
探究3 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在
這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題:
(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?
(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?
【板演/PPT】
【生】學(xué)生舉手回答
【師】在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).
【活動(dòng)】師生共同歸納出結(jié)論
平均變化率:
上述兩個(gè)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系用y=f(x)表示，那么問(wèn)題中的變化率可用式子
我們把這個(gè)式子稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.
習(xí)慣上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2
同樣Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均變化率可以表示為：
【幾何意義】觀察函數(shù)f(x)的圖象，平均變化率的幾何意義是什么?
探究2 當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢(shì)?
從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度
當(dāng)△ t 趨近于0時(shí), 即無(wú)論 t 從小于2的一邊, 還是從大于2的一邊趨近于2時(shí), 平均速度都趨近與一個(gè)確定的值 –13.1.
從物理的角度看, 時(shí)間間隔 |△t |無(wú)限變小時(shí), 平均速度就無(wú)限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此, 運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的瞬時(shí)速度是 –13.1 m/s.
為了表述方便，我們用xx表示“當(dāng)t =2, △t趨近于0時(shí), 平均速度 趨近于確定值– 13.1”.
【瞬時(shí)速度】
我們用
表示 “當(dāng)t=2, Δt趨近于0時(shí),平均速度趨于確定值-13.1”.
局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 的瞬時(shí)速度?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)由平均速度到瞬時(shí)速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度。
探究3:
(1).運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度怎樣表示?
(2).函數(shù)f(x)在 x = x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?
導(dǎo)數(shù)的概念:
一般地，函數(shù) y = f (x)在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是
稱(chēng)為函數(shù) y = f(x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作
或,
【總結(jié)提升】
由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:
[3]例題講解
例題1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第 x h時(shí), 原油的溫度(單位: )為 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 計(jì)算第2h與第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)明它們的意義.
解: 在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是
在第2h和第6h時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為–3和5. 它說(shuō)明在第2h附近, 原油溫度大約以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油溫度大約以5 /h的速率上升.
[4]本節(jié)課知識(shí)總結(jié)
1.函數(shù)的平均變化率
2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)計(jì)算平均變化率
3、求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求極限
4、由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0
)
(2))平均變化率
(3)求極限
三、復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置
[1] 課堂練習(xí)
1.函數(shù)y=f(x)的自變量x由x0改變到x0+Δx時(shí)，函數(shù)值的改變量Δy為 ( ) A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=8+t2運(yùn)動(dòng)，則在時(shí)間段2～2.1中，平均速度是 ( ) A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.過(guò)曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P(1，1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率.
課堂練習(xí)【參考答案】
1. D
解析：分別寫(xiě)出x=x0和x=x0+Δx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x0)和f(x0+Δx)，兩式相減，就得到了函數(shù)值的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，故應(yīng)選D.
2. B
解析：
3.解析：
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