高中數(shù)學選修1-2《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》教案【一】
教學準備
教學目標
知識與技能
1、了解數(shù)系擴充的過程及引入復數(shù)的需要
2、掌握復數(shù)的有關概念和代數(shù)符號形式、復數(shù)的分類方法及復數(shù)相等的充要條件
過程與方法
1、通過數(shù)系擴充的介紹，讓學生體會數(shù)系擴充的一般規(guī)律
2、通過具體到抽象的過程，讓學生形成復數(shù)的一般形式
情感態(tài)度與價值觀
1、體會數(shù)系的擴充過程中蘊含的創(chuàng)新精神與實踐精神，感受人類理性思維的作用
2、體會類比、分類討論、等價轉化的數(shù)學思想方法
教學重難點
重點：引入復數(shù)的必要性與復數(shù)的相關概念、復數(shù)的分類，復數(shù)相等的充要條件
難點：虛數(shù)單位i的引進和復數(shù)的概念
教學過程
(一)問題引入
事實上在實數(shù)范圍內x和y確實不存在?為什么會這樣呢?假設x和y是存在的，那么就肯定是一些不是實數(shù)的數(shù)，那么，這些數(shù)是什么呢?我們能不能解決這個問題呢?這就是我們今天要學習的內容《數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入》
(二)回顧數(shù)系的擴充歷程
師：其實對于這種“數(shù)不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎?從小學到現(xiàn)在，我們一直在經(jīng)歷著數(shù)的不斷擴充?，F(xiàn)在就讓我們來回顧一下，看看我們以前是怎么解決“數(shù)不夠用”的問題的。
(三)類比，引入新數(shù)，將實數(shù)集擴充
1、類比數(shù)系的擴充規(guī)律，引導學生找出解決“實數(shù)不夠用”這個問題的辦法
生：引入新數(shù)，使得平方為負數(shù)
師：我們希望引入的數(shù)的平方為負數(shù)，但是負數(shù)有無窮多個，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢?
2、歷史重現(xiàn)：
3、探究復數(shù)的一般形式：
(四)新的數(shù)集——復數(shù)集
1.復數(shù)的定義(略)
2.復數(shù)的應用：復數(shù)在數(shù)學、力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用，復數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，是進一步學習數(shù)學的基礎。
(五)復數(shù)的分類
(六)復數(shù)相等的充要條件
復數(shù)相等的充要條件可以把復數(shù)相等的問題轉化為求方程組的解的問題，是一種轉化的思想。
課后小結
1、由于實際的需要，我們總結數(shù)的三次擴充過程的規(guī)律，運用類比的方法，我們引進了新的數(shù)i，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，認識到了復數(shù)的代數(shù)形式，并討論了復數(shù)的分類及復數(shù)相等的充要條件，并且利用相等的條件把復數(shù)問題轉化為方程組的解的問題
2、那么，復數(shù)究竟是什么東西呢?能不能像實數(shù)一樣在現(xiàn)實中找到它的影子呢?別急，我們的探索腳步并不會停止下去，這是我們下次將要探索的內容。
課后習題
1、習題3.1 A組第1、2題
2、課后探究復數(shù)能不能比較大小，為什么?(可查資料)
高中數(shù)學選修1-2《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》教案【二】
學習目標：
1、了解引進復數(shù)的必要性;理解并掌握虛數(shù)的單位i
2、理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律
3、理解并掌握復數(shù)的有關概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關概念
學習重點：
復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類(實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學重點.
學習難點：
虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念是本節(jié)課的教學難點.liuxue86.com復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立。
自主學習
一、知識回顧：
數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的 ，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集N 為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù);為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù).這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q.顯然N Q.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負整數(shù)集合并在一起，構成整數(shù)集Z，則有Z Q、N Z.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集。
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構成實數(shù)集R.因為有理數(shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)集實際上就是小數(shù)集
因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴到實數(shù)集R以后，像x2=-1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數(shù)的平方等于-1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù) ，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復數(shù)
二、新課研究：
1、虛數(shù)單位 :
(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
2. 與-1的關系: 就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根，方程x2=-1的另一個根是- !
2、 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
3、復數(shù)的定義：形如 的數(shù)叫復數(shù)， 叫復數(shù)的實部， 叫復數(shù)的虛部 全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*
4、復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z表示，即 ，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式
5、復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關系：對于復數(shù) ，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a;當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù);當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù);當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.
6、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：N Z Q R C.
7、兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等
這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d
復數(shù)相等的定義是求復數(shù)值，在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù) 一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”對嗎?不對 如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小 只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小
例題講解
例1 請說出復數(shù) 的實部和虛部，有沒有純虛數(shù)?
答：它們都是虛數(shù)，它們的實部分別是2，-3，0，- ;虛部分別是3， ，- ，- ;- i是純虛數(shù).
例2 復數(shù)-2i+3.14的實部和虛部是什么?
答：實部是3.14，虛部是-2.
易錯為：實部是-2，虛部是3.14!
例3 實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m-1)i是:
(1)實數(shù)? (2)虛數(shù)? (3)純虛數(shù)?
[分析]因為m∈R，所以m+1，m-1都是實數(shù)，由復數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.
解：(1)當m-1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù);
(2)當m-1≠0，即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù);
(3)當m+1=0，且m-1≠0時，即m=-1時，復數(shù)z 是純虛數(shù).
例4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組 ，所以x= ，y=4
課堂鞏固
1、設集合C={復數(shù)｝，A={實數(shù)｝，B={純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結論正確的是( )
A.A∪B=C B. A=B C.A∩ B= D.B∪ B=C
2、復數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足( )
A.x=- B.x=-2或- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2
3、復數(shù)z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復數(shù)z= +(m2+2m-3)i，當m為何值時，(1)z∈R; (2)z是虛數(shù);(3)z是純虛數(shù);(4)z= +4i.
歸納反思
課后探究
1、設復數(shù)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數(shù)根，試求實數(shù)m的值.
高中教學計劃小編推薦各科教學設計：
語文、數(shù)學、英語、歷史、地理、政治、化學、物理、生物、美術、音樂、體育、信息技術
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教學準備
教學目標
知識與技能
1、了解數(shù)系擴充的過程及引入復數(shù)的需要
2、掌握復數(shù)的有關概念和代數(shù)符號形式、復數(shù)的分類方法及復數(shù)相等的充要條件
過程與方法
1、通過數(shù)系擴充的介紹，讓學生體會數(shù)系擴充的一般規(guī)律
2、通過具體到抽象的過程，讓學生形成復數(shù)的一般形式
情感態(tài)度與價值觀
1、體會數(shù)系的擴充過程中蘊含的創(chuàng)新精神與實踐精神，感受人類理性思維的作用
2、體會類比、分類討論、等價轉化的數(shù)學思想方法
教學重難點
重點：引入復數(shù)的必要性與復數(shù)的相關概念、復數(shù)的分類，復數(shù)相等的充要條件
難點：虛數(shù)單位i的引進和復數(shù)的概念
教學過程
(一)問題引入
事實上在實數(shù)范圍內x和y確實不存在?為什么會這樣呢?假設x和y是存在的，那么就肯定是一些不是實數(shù)的數(shù)，那么，這些數(shù)是什么呢?我們能不能解決這個問題呢?這就是我們今天要學習的內容《數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入》
(二)回顧數(shù)系的擴充歷程
師：其實對于這種“數(shù)不夠用”的情況，我們并不陌生。大家記得嗎?從小學到現(xiàn)在，我們一直在經(jīng)歷著數(shù)的不斷擴充?，F(xiàn)在就讓我們來回顧一下，看看我們以前是怎么解決“數(shù)不夠用”的問題的。
(三)類比，引入新數(shù)，將實數(shù)集擴充
1、類比數(shù)系的擴充規(guī)律，引導學生找出解決“實數(shù)不夠用”這個問題的辦法
生：引入新數(shù)，使得平方為負數(shù)
師：我們希望引入的數(shù)的平方為負數(shù)，但是負數(shù)有無窮多個，我們不肯能一下子引入那么多，只要引入平方為多少就行呢?
2、歷史重現(xiàn)：
3、探究復數(shù)的一般形式：
(四)新的數(shù)集——復數(shù)集
1.復數(shù)的定義(略)
2.復數(shù)的應用：復數(shù)在數(shù)學、力學、電學及其他學科中都有廣泛的應用，復數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，是進一步學習數(shù)學的基礎。
(五)復數(shù)的分類
(六)復數(shù)相等的充要條件
復數(shù)相等的充要條件可以把復數(shù)相等的問題轉化為求方程組的解的問題，是一種轉化的思想。
課后小結
1、由于實際的需要，我們總結數(shù)的三次擴充過程的規(guī)律，運用類比的方法，我們引進了新的數(shù)i，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，認識到了復數(shù)的代數(shù)形式，并討論了復數(shù)的分類及復數(shù)相等的充要條件，并且利用相等的條件把復數(shù)問題轉化為方程組的解的問題
2、那么，復數(shù)究竟是什么東西呢?能不能像實數(shù)一樣在現(xiàn)實中找到它的影子呢?別急，我們的探索腳步并不會停止下去，這是我們下次將要探索的內容。
課后習題
1、習題3.1 A組第1、2題
2、課后探究復數(shù)能不能比較大小，為什么?(可查資料)
高中數(shù)學選修1-2《數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念》教案【二】
學習目標：
1、了解引進復數(shù)的必要性;理解并掌握虛數(shù)的單位i
2、理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律
3、理解并掌握復數(shù)的有關概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關概念
學習重點：
復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類(實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù))和復數(shù)相等等概念是本節(jié)課的教學重點.
學習難點：
虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念是本節(jié)課的教學難點.liuxue86.com復數(shù)的概念是在引入虛數(shù)單位i并同時規(guī)定了它的兩條性質之后，自然地得出的.在規(guī)定i的第二條性質時，原有的加、乘運算律仍然成立。
自主學習
一、知識回顧：
數(shù)的概念是從實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的 ，由于計數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2及表示“沒有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構成自然數(shù)集N 為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數(shù);為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進了負數(shù).這樣就把數(shù)集擴充到有理數(shù)集Q.顯然N Q.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負整數(shù)集合并在一起，構成整數(shù)集Z，則有Z Q、N Z.如果把整數(shù)看作分母為1的分數(shù)，那么有理數(shù)集實際上就是分數(shù)集。
有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數(shù)表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數(shù).所謂無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無理數(shù)集合并在一起，構成實數(shù)集R.因為有理數(shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實數(shù)集實際上就是小數(shù)集
因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充，數(shù)集的每一次擴充，對數(shù)學學科本身來說，也解決了在原有數(shù)集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴到實數(shù)集R以后，像x2=-1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數(shù)的平方等于-1.由于解方程的需要，人們引入了一個新數(shù) ，叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復數(shù)
二、新課研究：
1、虛數(shù)單位 :
(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
2. 與-1的關系: 就是-1的一個平方根，即方程x2=-1的一個根，方程x2=-1的另一個根是- !
2、 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
3、復數(shù)的定義：形如 的數(shù)叫復數(shù)， 叫復數(shù)的實部， 叫復數(shù)的虛部 全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*
4、復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z表示，即 ，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式
5、復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關系：對于復數(shù) ，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a;當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù);當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù);當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0.
6、復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關系：N Z Q R C.
7、兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等
這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d
復數(shù)相等的定義是求復數(shù)值，在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù) 一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.
現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”對嗎?不對 如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小 只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小
例題講解
例1 請說出復數(shù) 的實部和虛部，有沒有純虛數(shù)?
答：它們都是虛數(shù)，它們的實部分別是2，-3，0，- ;虛部分別是3， ，- ，- ;- i是純虛數(shù).
例2 復數(shù)-2i+3.14的實部和虛部是什么?
答：實部是3.14，虛部是-2.
易錯為：實部是-2，虛部是3.14!
例3 實數(shù)m取什么數(shù)值時，復數(shù)z=m+1+(m-1)i是:
(1)實數(shù)? (2)虛數(shù)? (3)純虛數(shù)?
[分析]因為m∈R，所以m+1，m-1都是實數(shù)，由復數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的值.
解：(1)當m-1=0，即m=1時，復數(shù)z是實數(shù);
(2)當m-1≠0，即m≠1時，復數(shù)z是虛數(shù);
(3)當m+1=0，且m-1≠0時，即m=-1時，復數(shù)z 是純虛數(shù).
例4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y∈R，求x與y.
解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組 ，所以x= ，y=4
課堂鞏固
1、設集合C={復數(shù)｝，A={實數(shù)｝，B={純虛數(shù)｝，若全集S=C，則下列結論正確的是( )
A.A∪B=C B. A=B C.A∩ B= D.B∪ B=C
2、復數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i為虛數(shù)，則實數(shù)x滿足( )
A.x=- B.x=-2或- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2
3、復數(shù)z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R)，則z1=z2的充要條件是______.
4、已知m∈R，復數(shù)z= +(m2+2m-3)i，當m為何值時，(1)z∈R; (2)z是虛數(shù);(3)z是純虛數(shù);(4)z= +4i.
歸納反思
課后探究
1、設復數(shù)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數(shù)根，試求實數(shù)m的值.
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語文、數(shù)學、英語、歷史、地理、政治、化學、物理、生物、美術、音樂、體育、信息技術
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