等差數列課件(篇1)
等差數列是《普通高中課程標準實驗教科書?數學5》(人教版)第二章數列第二節(jié)等差數列第一課時。
數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，?數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面，學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。
1、通過本節(jié)課的學習使學生理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列。
2、引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數學建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用;并在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力。
3、在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。
②等差數列的通項公式的推導過程及應用。
難點：
①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。
普通高中學生經過一年的高中的學習生活，已經慢慢習慣的高中的學習氛圍，大部分學生知識經驗已較為豐富，且對數列的知識有了初步的接觸和認識，已經熟悉由觀察到抽象的數學活動過程，對函數、方程思想體會逐漸深刻，應用數學公式的能力逐漸加強。他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。
結合本節(jié)課的特點，我設計了從教法、學法兩種方法對等差數列的通項公式進行推導，讓學生更好的理解。通過引入實例來啟發(fā)學生，挺高學生的學習興趣，是學生更加形象、愉快的去學習這堂課。下面是我教學設計：
⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。
⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現問題，解決問題，調動學生的積極性。
⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。
引導學生首先從四個現實問題(數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。
在南北朝時期《張邱建算經》中，有一道題“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金 四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更 給，問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何“。 這個問題該怎樣解決呢?
由學生觀察分析并得出答案： 在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，___，___，___，___，?
水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚 類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位 為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列(單位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5
思考：同學們觀察一下上面的這兩個數列： 0，5，10，15，20， ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ② 看這些數列有什么共同特點呢?
傾聽和觀察分析，發(fā)表各自的意見。
對于以上幾組數列我們稱它們?yōu)榈炔顢盗?。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上兩組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5。
提問：如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列數列，那么A應滿足什么條件?
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b
的等差中項。
不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項。 如數列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，
等差數列課件(篇2)
①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
①本節(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等差數列的定義與表示法，一節(jié)為等差數列通項公式的應用．
②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．
④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應．
⑤有窮等差數列的末項與通項是有區(qū)別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點．
⑥等差數列前 項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規(guī)律的子數列會引起學生的興趣．
⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．
1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.
教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．
前一節(jié)課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？
等差數列的'概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知等差數列 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
（1）已知等差數列 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.
這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.
（1）已知等差數列 中， ，求 的值.
（2）已知等差數列 中， ， 求 .
若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.
由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發(fā)現規(guī)律，完善問題
（3）已知等差數列 中， 求 ； ； ； ；….
（4）已知等差數列 中， 求 的值.
，考察 隨項數 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
這是為研究等差數列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？
（2）等差數列 從第________項起以后每項均為負數.
1. 用方程思想認識等差數列通項公式；
教學目標
1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.
（1）了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等差數列，了解等差中項的概念；
（2）正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項；
（3）能通過通項公式與圖像認識等差數列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.
2.通過等差數列的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想.
3.通過等差數列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.
關于等差數列的教學建議
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
（3）教法建議
①本節(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等差數列的定義與表示法，一節(jié)為等差數列通項公式的應用．
②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．
④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應．
⑤有窮等差數列的末項與通項是有區(qū)別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點．
⑥等差數列前 項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規(guī)律的子數列會引起學生的興趣．
⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．
等差數列通項公式的教學設計示例
教學目標
1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.
教學重點，難點
教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．
教學用具
實物投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
研探式.
教學過程（）
一.復習提問
前一節(jié)課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？
等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
二.主體設計
通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知等差數列 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
1.方程思想的運用
（1）已知等差數列 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.
（2）已知等差數列 中，首項 ， 則公差
（3）已知等差數列 中，公差 ， 則首項
這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差數列 中， ，求 的值.
（2）已知等差數列 中， ， 求 .
若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.
如：已知等差數列 中， …
由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發(fā)現規(guī)律，完善問題
（3）已知等差數列 中， 求 ； ； ； ；….
類似的還有
（4）已知等差數列 中， 求 的值.
以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出
3.研究等差數列的單調性，考察 隨項數 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
4.研究項的符號
這是為研究等差數列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？
（2）等差數列 從第________項起以后每項均為負數.
三.小結
1. 用方程思想認識等差數列通項公式；
2. 用函數思想解決等差數列問題.
等差數列課件(篇4)
本節(jié)課將探究一類特殊的數列——等差數列.本節(jié)課安排2課時，第1課時是在生活中具體例子的基礎上引出等差數列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數列的通項公式，最后根據這個公式去進行有關計算.第2課時主要是讓學生明確等差中項的概念，進一步熟練掌握等差數列的通項公式及其推導的公式，并能通過通項公式與圖象認識等差數列的性質.讓學生明白一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，使學生學會用圖象與通項公式的關系解決某些問題.在學法上，引導學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，學會探究.在問題探索過程中，先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數列通項公式的靈活運用.
在教學過程中，應遵循學生的認知規(guī)律，充分調動學生的積極性，盡可能讓學生經歷知識的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學習興趣，發(fā)揮他們的主觀能動性及其在教學過程中的主體地位.使學生認識到生活離不開數學，同樣數學也是離不開生活的.學會在生活中挖掘數學問題，解決數學問題，使數學生活化，生活數學化.
數列在整個中學數學內容中處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為后面學習數列與函數的極限等內容作了鋪墊.教材采取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯系，而數列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內容是培養(yǎng)學生觀察問題、啟發(fā)學生思考問題的好素材.
1.通過實例理解等差數列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數列模型，讓學生認識到這一類數列是現實世界中大量存在的數列模型.同時經歷由發(fā)現幾個具體數列的等差關系，歸納出等差數列的定義的過程.
2.探索并掌握等差數列的通項公式，由等差數列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數列的通項公式.通過與一次函數的圖象類比，探索等差數列的通項公式的圖象特征與一次函數之間的聯系.
3.通過對等差數列的研究，使學生明確等 差數列與一般數列的內在聯系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯系實際，激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式，等差中項及性質，會用公式解決一些簡單的問題.
教學難點：概括通項公式推導過程中體現的數學思想方法，以及從函數、方程的觀點看通項公式，并會解決一些相關的問題.
思路1.(直接導入)教師引導學生先復習上節(jié)課學過的數列的概念以及通項公式，可有意識地在黑板上(或課件中)出示幾個數列，如：數列1,2,3，…，數列0,0,0，…，數列0,2,4,6，…等，然后直接引導學生閱讀教材中的實例，不知不覺中就已經進入了新課.
思路2.(類比導入)教師首先引導學生復習上節(jié)課所學的數列的概念及通項公式，使學生明了我們現在要研究的就是一列數.由此我們聯想：在初中我們學習了實數，研究了它的一些運算與性質，那么我們能不能也像研究實數一樣，來研究它的項與項之間的關系、運算和性質呢?由此導入新課.
?1?回憶數列的概念，數列都有哪幾種表示方法?
?2?閱讀教科書本節(jié)內容中的①②③3個背景實例，熟悉生活中常見現象，寫出由3個實例所得到的數列.
?3?觀察數列①②③，它們有什么共同特點?
?4?根據數列①②③的特征，每人能再舉出2個與其特征相同的數列嗎?
?5?什么是等差數列?怎樣理解等差數列?其中的關鍵字詞是什么?
?6?數列①②③存在通項公式嗎?如果存在，分別是什么?
?7?等差數列的通項公式是什么?怎樣推導?
活動：教師引導學生回憶上節(jié)課所學的數列及其簡單表示法——列表法、通項公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數列的特點.然后引導學生閱讀教材中的實例模型，指導學生寫出這3個模型的數列：
①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…;
②2,9,16,23,30;
③89,83,77,71,65,59,53,47.
這是由日常生活中經常遇到的實際問題中得到的數列.觀察這3個數列發(fā)現，每個數列中相鄰的后項減前項都等于同一個常數.當然這里我們是拿后項減前項，其實前項減后項也是一個常數，為了后面內容的學習方便，這個 順序不能顛倒.
至此學生會認識到，具備這個特征的數列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數列為100,99,98,97，…，某體育場一角的看臺的座位排列：第一排15個座位，向后依次為17,19,21,23，…，等等.
以上這些數列的共同特征是：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(即等差).這就是我們這節(jié)課要研究的主要內容.教師先讓學生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數列的定義.
等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.
教師引導學生理解這個定義：這里公差d一定是由后項減前項所得，若前項減后項則為-d，這就是為什么前面3個模型的分析中總是說后項減前項而不說前項減后項的原因.顯然3個模型數列都是等差數列，公差依次為0.5,7，-6.
教師進一步引導學生分析等差數列定義中的關鍵字是什么?(學生在學習中經常遇到一些概念，能否抓住定義中的關鍵字，是能否正確、深入地理解和掌握概念的重要條件，這是學好數學及其他學科的重要一環(huán).因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力)
這里“從第二項起”和“同一個常數”是等差數列定義中的核心部分.用遞推公式可以這樣描述等差數列的定義：對于數列{an}，若an-an-1=d(d是與n無關的常數或字母)，n≥2，n∈N_，則此數列是等差數列.這是證明一個數列是等差數列的常用方法.點撥學生注意這里的“n≥2”，若n包括1，則數列是從第1項向前減，顯然無從減起.若n從3開始，則會漏掉a2-a1的差，這也不符合定義，如數列1,3 ,4,5,6，顯然不是等差數列，因此要從意義上深刻理解等差數列的定義.
教師進一步引導學生探究數列①②③的通項公式，學生根據已經學過的數列通項公式的定義，觀察每一數列的項與序號之間的關系會很快寫出：①an=21.5+0.5n，②an=7n-5，③an=-6n+95.
以上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結果方面都存在許多共性.教師點撥學生探求，對任意等差數列a1，a2，a3，…，an，…，根據等差數列的定義都有：
a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
……
所以a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.
學生很容易猜想出等差數列的通項公式an= a1+(n-1)d后，教師適時點明：我們歸納出的公式只是一個猜想，嚴格的證明需要用到后面的其他知識.
教師可就此進一步點撥學生：數學猜想在數學領域中是很重要的思考方法，后面還要專門探究它.數學中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數學皇冠上的明珠，對于它的證明中國已處于世界領先地位.很多著名的數學結論都是從猜想開始的.但要注意，數學猜想僅是一種數學想象，在未得到嚴格的證明前不能當作正確的結論來用.這里我們歸納猜想的等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d是經過嚴格證明了的，只是現在我們知識受限，無法證明，所以說我們先承認它.鼓勵學生只要創(chuàng)新探究，獨立思考，也會有自己的新奇發(fā)現.
教師根據教學實際情況，也可引導學生得出等差數列通項公式的其他推導方法.例如：
∴an-an-1=d，
an-1-an-2=d，
an-2-an-3=d，
……
a2-a1=d.
兩邊分別相加得an-a1=(n-1)d，
所以an=a1+(n-1)d，
……
=a1+(n-1)d.
所以an=a1+(n-1)d.
(5)如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.其中關鍵詞為“從第2項起”、“等于同一個常數”.
(6)三個數列都有通項公式，它們分別是：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.
(7)可用疊加法和迭代法推導等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d.
活動：本例的目的是讓學生熟悉公式，使學生從中體會公式與方程之間的聯系.教學時要使學生認識到等差數列的通項公式其實就是一個關于an、a1、d、n(獨立的量有3個)的方程，以便于學生能把方程思想和通項公式相結合，解決等差數列問題.本例中的(2)是判斷一個數是否是某等差數列的項.這個問題可以看作(1)的逆問題.需要向學生說明的是，求出的項數為正整數，所給數就是已知數列中的項，否則，就不是已知數列中的項.本例可由學生自己獨立解決，也可做板演之用，教師只是對有困難的學生給予恰當點撥.
(1)100是不是等差數列2,9,16，…的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由;
(2)-20是不是等差數列0，-312，-7，…的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由.
解：(1)由題意，知a1=2，d=9-2=7.因而通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個數列的第15項.
(2)由題意可知a1=0，d=-312，因而此數列的通項公式為an=-72n+72.
令-72n+72=-20，解得n=477.因為-72n+72=-20沒有正整數解，所以-20不是這個數列的項.
例2一個等差數列首項為125，公差d>0，從第10項起每一項都比1大，求公差d的范圍.
活動：教師引導學生觀察題意，思考條件“從第10項起每一項都比1大”的含義，應轉化為什么數學條件?是否僅是a10>1呢?d>0的條件又說明什么?教師可讓學生合作探究，放手讓學生討論，不要怕學生出錯.
即a10>1a9≤1?125+?10-1?d>1，125+?9-1?d≤1，
點評：本例學生很容易解得不完整，解完此題后讓學生反思解題過程.本題主要訓練學生靈活運用等差數列的通項公式以及對公差的深刻理解.
在數列{an}中，已知a1=1，1an+1=1an+13(n∈N_)，求a50.
解：已知條件可化為1an+1-1an=13(n∈N_)，
由等差數列的定義，知{1an}是首項為1a1=1，公差為d=13的等差數列，
∴1a50=1+(50-1)×13=523.
∴a50=352.
例3已知數列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列?若是，首項與公差分別是什么?
活動：要判定{an}是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，根據an-an-1(n>1)是不是一個與n無關的常數.
這實際上給出了判斷一個數列是否是等差數列的一個方法：如果一個數列的通項公式是關于正整數的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列.因而把等差數列通項公式與一次函數聯系了起來.本例設置的“旁注”，目的是為了揭示等差數列通項公式的結構特征：對于通項公式形如an=pn+q的數列，一定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.因此可以深化學生對等差數列的理解，同時還可以從多個角度去看待等差數列的通項公式，有利于以后更好地把握等差數列的性質.在教學時教師要根據學生解答的情況，點明這點.
解：當n≥2時，〔取數列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p為常數，
所以{an}是等差數列，首項a1=p+q，公差為p.
點評：(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關于n的一次式，從圖象上看，表示數列的各點(n，an)均在一次函數y=px+q的圖象上，一次項的系數是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數)，稱其為第3通項公式.
已知數列的通項公式an=6n-1.問這個數列是等差數列嗎?若是等差數列，其首項與公差分別是多少?
解：∵an+1-an=-(6n-1)=6(常數)，
∴{an}是等差數列，其首項為a1=6×1-1=5，公差為6.
點評：該訓練題的目的是進一步熟悉例3的內容.需要向學生強調，若用an-an-1=d，則必須強調n≥2這一前提條件，若用an+1-an=d，則可不對n進行限制.
1.(1)求等差數列8,5,2，…的第20項;
(2)-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項?如果是，是第幾項?
2.求等差數列3,7,11，…的第4項與第10項.
答案：
1.解：(1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個數列的通項公式為
an=-5-4(n-1)=-4n-1.
由題意知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-4n-1成立.解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項.
∴該數列的通項公式為an=3+(n-1)×4，
即an=4n-1(n≥1，n∈N_).
∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.
1.先由學生自己總結回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數學思想方法?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進一步集中強調，本節(jié)學習的重點內容是等差數列的定義及通項公式，等差數列的基本性質是“等差”.這是我們研究有關等差數列的主要出發(fā)點，是判斷、證明一個數列是否為等差數列和解決其他問題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對任意相鄰兩項來說的.
本教案設計突出了重點概念的教學，突出了等差數列的定義和對通項公式的認識與應用.等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確地把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具.因為等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，因此通過函數圖象研究數列性質成為可能.
本教案設計突出了教法學法與新課程理念的接軌，引導綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數學，這是一種非常重要的學習方法;在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.
本教案設計突出了發(fā)散思維的訓練.通過一題多解，多題一解的訓練，比較優(yōu)劣，換個角度觀察問題，這是數學發(fā)散思維的基本素質.只有在學習過程中有意識地將知識遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗多樣性，學懂學透，融會貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增.
思路1.(復習導入)上一節(jié)課我們研究了數列中的一個重要概念——等差數列的定義，讓學生回憶這個定義，并舉出幾個等差數列的例子.接著教師引導學生探究自己所舉等差數列例子中項與項之間有什么新的發(fā)現?比如，在同一個等差數列中，與某一項“距離”相等的兩項的和會是什么呢?由此展開新課.
思路2.(直接導入)教師先引導學生回顧上一節(jié)所學的內容：等差數列的定義以及等差數列的通項，之后直接提出等差中項的概念讓學生探究，由此而展開新課.
?1?請學生回憶上節(jié)課學習的等差數列的定義，如何證明一個數列是等差數列??2?等差數列的通項公式是怎樣得出來的?它與一次函數有什么關系??3?什么是等差中項?怎樣求等差中項??4?根據等差中項的概念，你能探究出哪些重要結論呢?
活動：借助課件，教師引導學生先回憶等差數列的定義，一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，即an-an-1=d(n≥2，n∈N_)，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差(通常用字母“d”表示).
再一起回顧通項公式，等差數列{an}有兩種通項公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數).
由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的方法：①d=an-an-1;②d=an-a1n-1;③d=an-amn-m.
對于通項公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項公式，后又用疊加法及迭代法推導了通項公式.
教師指導學生閱讀課本等差中項的概念，引導學生探究：如果我們在數a與數b中間插入一個數A，使三個數a，A，b成等差數列，那么數A應滿足什么樣的條件呢?
由定義可得A-a=b-A，即A=a+b2.
反之，若A=a+b2，則A-a=b-A，
由此可以得A=a+b2?a，A，b成等差數列.
由此我們得出等差中項的概念：如果三個數x，A，y組成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項.如果A是x和y的等差中項，則A=x+y2.
根據我們前面的探究不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項.
如數列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項.
9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項.
等差中項及其應用問題的解法關鍵在于抓住a，A，b成等差數列?2A=a+b，以促成將等差數列轉化為目標量間的等量關系或直接由a，A，b間的關系證得a，A，b成等差數列.
根據等差中項的概念我們來探究這樣一個問題：如上面的數列1,3,5,7,9,11,13，…中，我們知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8，那么你能發(fā)現什么規(guī)律呢?再驗證一下，結果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6. 由此我們猜想這個規(guī)律可推廣到一般，即在等差數列{an}中，若m、n、p、q∈N_且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，這個猜想與上節(jié)的等差數列的通項公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴格證明，不能說它就一定是正確的.讓學生進一步探究怎樣證明它的正確性呢?只要運用通項公式加以轉化即可.設首項為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.
因為我們有m+ n=p+q，所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.
由此我們的一個重要結論得到了證明：在等差數列{an}的各項中，與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數列中，若m+n=p+q，則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若m+n=2p，則am+an=2ap.這也是等差中項的內容.
我們自然會想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢?舉個反例，這里舉個常數列就可以說明結論不成立.
這說明在等差數列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此我們還進一步推出an+1-an=d=an+2-an+1，即2an+1=an+an+2，這也是證明等差數列的常用方法.
同時我們通過這個探究過程明白：若要說明一個猜想正確，必須經過嚴格的證明，若要說明一個猜想不正確，僅舉一個反例即可.
(3)如果三個數x，A，y成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項，且A=x+y2.
(4)得到兩個重要結論：①在數列{an}中，若2an+1=an+an+2(n∈N_)，則{an}是等差數列.
②在等差數列中，若m+n=p+q(m、n、p、q∈N_)，則am+an=ap+aq.
例1在等差數列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.
活動：本例是一道基本量運算題，運用方程思想可由已知條件求出a1，d，進而求出通項公式an，則a3，a9不難求出.應要求學生掌握這種解題方法，理解數列與方程的關系.
解：由已知，得a1+a1+5d=9，a1+3d=7，解得a1=-8，d=5.
∴通項公式為an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13.
∴a3=2，a9=32.
點評：本例解法是數列問題的基本運算，應要求學生熟練掌握，當然對學有余力的同學來說，教師可引導探究一些其他解法，如a1+a6=a4+a3=9.
∴a3=9-a4=9-7=2.
∴a9=a4+5d=32.
點評：這種解法巧妙，技巧性大，需對等差數列的定義及重要結論有深刻的理解.
已知數列{an}對任意的p，q∈N_滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( )
解析：依題意知，a2=a1+a1=2a1，a1=12a2=-3，an+1=an+a1=an-3，
可知數列{an}是等差數列，a10= a1+9d=-3-9×3=-30.
活動：本例是等差數列通項公式的靈活運用.正如邊注所說，相當于已知直線過點(1,17)，斜率為-0.6，求直線在x軸下方的點的橫坐標的取值范圍.可放手讓學生完成本例.
等差數列{an}的公差d
C.an=-2n+12(n∈N_) D.an=-2n+10( n∈N_)
解析：由題意知a2?a4=12a2+a4=8d
所以由an=a1+(n-1)d，得an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.
例3 已知a、b、c成等差數列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差數列?
活動：教師引導學生思考a、b、c成等差數列可轉化為什么形式的等式?本題的關鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).教師可讓學生自己探究完成，必要時給予恰當的點撥.
∴a+c=2b.
=(a2b-2ab2)+(bc2-2b2c)+(a2c+ac2)
=0，
∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).
∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差數列.
點評：如果a、b、c成等差數列，常轉化為a+c=2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數列，常改證a+c=2b.有時還需運用一些等價變形技巧，才能獲得成功.
例4在-1與7之間順次插入三個數a、b、c，使這五個數成等差數列，求此數列.
活動：教師引導學生從不同角度加以考慮：一是利用等差數列的定義與通項;一是利用等差中項加以處理.讓學生自己去探究，教師一般不要給予提示，對個別探究有困難的學生可適時地給以點撥、提示.
解：(方法一)設這些數組成的等差數列為{an}，由已知，a1=-1，a5=7，
∴7=-1+(5-1)d，即d=2.
∴所求的數列為-1,1,3,5,7.
(方法二)∵-1，a，b，c,7成等差數列，
∴b是-1,7的等差中項，a是-1，b的等差中項，c是b,7的等差中項，即b=-1+72=3，a=-1+b2=1，c=b+72=5.
∴所求數列為-1,1,3,5,7.
點評：通過此題可以看出，應多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個角度看問題，以開闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力.
數列{an}中，a3=2，a7=1，且數列{1an+1}是等差數列，則a11等于( )
解析：設bn=1an+1，則b3=13，b7=12，
因為{1an+1}是等差數列，可求得公差d=124，
所以b11=b7+(11-7)d=23，即a11=1b11-1=12.
例5某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4千米(不含4千米)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車前往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少元的車費?
活動：教師引導學生從實際問題中建立數學模型.在這里也就是建立等差數列的數學模型.引導學生找出首項和公差，利用等差數列通項公式的知識解決實際問題.
解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列{an}來計算車費.
令a1=11.2表示4 km處的車費，公差d=1.2，那么，當出租車行至14 km處時，n=11，此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
點評：本例中令a1=11.2，這點要引起學生注意，這樣一來，前往14 km處的目的地就相當于n=11，這點極容易弄錯.
1.已知等差數列{an}中，a1+a3+a5+a7=4，則a2+a4+a6等于( )
2.在等差數列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于( )
答案：
1.解析：由a1+a3+a5+a7=4，知4a4=4，即a4=1.
∴2a1+3d=13.
∵a1=2，∴d=3.
而a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
1.先由學生自己總結回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數學思想方法?你是如何通過舊知識來獲取新知識的?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進一步畫龍點睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎上又推出了兩個很重要的結論，一個是等差數列的證明方法，一個是等差數列的性質，要注意這些重要結論的靈活運用.
本教案是根據課程標準、學生的認知特點而設計的，設計的活動主要都是學生自己完成的.特別是上節(jié)課通項公式的歸納、猜想給學生留下了很深的記憶;本節(jié)課只是繼續(xù)對等差數列進行這方面的探究.
本教案除了安排教材上的兩個例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓練.為了學生的課外進一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習題，目的是讓學生對等差數列的有關知識作進一步拓展探究，以開闊學生的視野.
本教案的設計意圖還在于，加強數列與函數的聯系.這不僅有利于知識的融會貫通，加深對數列的理解，運用函數的觀點和方法解決有關數列的問題，而且反過來可使學生對函數的認識深化一步，讓學 生體會到數學是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學生的數學學習興趣.
【例1】 梯子最高一級寬33 cm，最低一級寬為110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度.
解：設{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數列，由已知條件，可知a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.
因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=10 3.
答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
【例2】 已知1a，1b，1c成等差數列，求證：b+ca，c+ab，a+bc也成等差數列.
證明：因為1a，1b，1c成等差數列，所以2b=1a+1c，化簡得2ac=b(a+c)，所以有
b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=b?a+c?+a2+c2ac=2ac+a2+c2ac=?a+c?2ac=?a+c?2b?a+c?2=2?a+cb.
因而b+ca，c+ab，a+bc也成等差數列.
【例3】 設數列{an}{bn}都是等差數列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求數列{an+bn}的第37項的值.
分析：由數列{an}{bn}都是等差數列，可得{an+bn}是等差數列，故可求出數列{an+bn}的公差和通項.
解：設數列{an}{bn}的公差分別為d1，d2，則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2為常數，所以可得{an+bn}是等差數列.設其公差為d，則公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.
所以數列{an+bn}的第37項的值為-250.
點評：若一個數列未告訴我們是等差數列時，應先由定義法判定它是等差數列后，方可使用通項公式an=a1+(n-1)d.但對客觀試題則可以直接運用某些重要結論，直接判定數列是否為等差數列.
1.已知等差數列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12的值是( )
2.在數列{an}中3an+1=3an+2(n∈N_)，且a2+a4+a7+a9=20，則a10為( )
3.在等差數列{an}中，a1+3a8+a15=120，則3a9-a11的值為( )
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為14的等差數列，則|m-n|等于( )
5.在等差數列{an}中，a5=3，a6=-2，則a4+a5+…+a10=__________.
6.已知a、b、c成等差數列，且a、b、c三數之和為15，若a2，b2+9，c2也成等差數列，求a、b、c.
7.設1a+b，1a+c，1b+c成等差數列，求證：a2，b2，c2也成等差數列.
8.成等差數列的四個數之和為2 6，第二數與第三數之積為40，求這四個數.
9.有一批影碟機(VCD)原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價為760元，以此類推，每多買一臺則所買各臺單價均減少20元，但每臺最少不低于440元;乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機，問去哪一家商場購買花費較少?
∴a7+a9=2a8.
∴a8=8.
又∵a4，a8，a12成等差數列，
∴公差d=a8-a4=7.
∴a12=a8+d=8+7=15.
2.C 由已知得an+1-an=23，
∴{an}是首項為a1，公差d=23的等差數列.
a2+a4+a7+a9=4a1+18d=20，解得a1=2，
∴a10=2+23(10-1)=8.
3.D ∵a1+a15=2a8，
∴a1+3a8+a15=5a8=120.
∴a8=24.
而3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48.
4.C 設a1=14，a2=14+d，a3=14+2d，a4=14+3d，
而方程x2-2x+m=0中的兩根之和為2，方程x2-2x+n=0中的兩根之和也是2，
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.
∴d=12.
∴a1=14，a4=74是一個方程的兩個根，a2=34，a3=54是另一個方程的兩個根.
∴716，1516為m或n.
6.解：由已知得2b=a+c，a+b+c=15，2?b2+9?=a2+c2，
解之，得a=8，b=5，c=2，或a=2，b=5，c=8.
7.證明：由已知得1a+b+1b+c=2?1a+c，化簡得a2+c2=2b2，
∴a2，b2，c2成等差數列.
8.解：設這四個數為a-3d，a-d，a+d，a+3d，
則由題設得?a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26，?a-d??a+d?=40，
解得a=132，d=32，或a=132，d=-32.
∴所求四個數為2,5,8,11或11,8,5,2.
9.解：設某單位需購買影碟機n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元時，售價依臺數n成等差數列{an}.
an=780+(n-1)(-20)=800-20n，解不等式an≥440,800-20n≥440，得n≤18.
當購買臺數小于18時，每臺售價為800-2n元，在臺數大于或等于18時，每臺售價440元.
到乙商場購買，每臺售價為800×75%=600(元)，作差(800-20n)n-600n=20n(10-n)，
當n=10時，600n=(800-20n)n;
當n>18時，440n
等差數列課件(篇5)
通過練習2和3 引出兩個具體的等差數列，初步認識等差數列的特征，為后面的概念學習建立基礎，為學習新知識創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲。由學生觀察兩個數列特點，引出等差數列的概念，對問題的總結又培養(yǎng)學生由具體到抽象、由特殊到一般的認知能力。
1、由引入自然的給出等差數列的概念：
如果一個數列，從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數，這個數列就叫等差數列， 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。強調：
②公差d一定是由后項減前項所得；
③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數（強調“同一個常數” ）；
在理解概念的基礎上，由學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言，歸納出數學表達式：
同時為了配合概念的理解，我找了5組數列，由學生判斷是否為等差數列，是等差數列的找出公差。
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
在歸納等差數列通項公式中，我采用討論式的教學方法。給出等差數列的首項 ，公差d，由學生研究分組討論a4 的通項公式。通過總結a4的通項公式由學生猜想a40的通項公式，進而歸納an的通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學生的協作意識又化解了教學難點。
若一等差數列{an }的首項是a1，公差是d，
則據其定義可得：
進而歸納出等差數列的通項公式：
此時指出： 這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度，在這里向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法――――――迭加法：
將這（n―1）個等式左右兩邊分別相加，就可以得到 anC a1= （n―1） d即 an= a1+（n―1） d （1）
當n=1時，（1）也成立，
因此它就是等差數列｛an｝的通項公式。
在迭加法的證明過程中，我采用啟發(fā)式教學方法。
利用等差數列概念啟發(fā)學生寫出n―1個等式。
對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學生想出將n―1個等式相加。證出通項公式。
在這里通過該知識點引入迭加法這一數學思想，逐步達到“注重方法，凸現思想” 的教學要求
接著舉例說明：若一個等差數列｛an｝的首項是1，公差是2，得出這個數列的通項公式是：an=1+（n―1）×2 ， 即an=2n―1 以此來鞏固等差數列通項公式運用
同時要求畫出該數列圖象，由此說明等差數列是關于正整數n一次函數，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數的思想來研究數列，使數列的性質顯現得更加清楚。
這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向學生表明：要用運動變化的觀點看等差數列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關系。當其中的部分量已知時，可根據該公式求出另一部分量。
例1 （1）求等差數列8，5，2，…的第20項；第30項；第40項
（2）―401是不是等差數列―5，―9，―13，…的項？如果是，是第幾項？
在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數列通項公式；第二問實際上是求正整數解的問題，而關鍵是求出數列的通項公式an
例2 在等差數列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首項a1與公差d。
建造房屋時要設計樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米，第三層離地面5。8米，若樓梯設計為等高的16級臺階，問每級臺階高為多少米？
這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結合的教學方法。啟發(fā)學生注意每級臺階“等高”使學生想到每級臺階離地面的高度構成等差數列，引導學生將該實際問題轉化為數學模型――――――等差數列：（學生討論分析，分別演板，教師評析問題。問題可能出現在：項數學生認為是16項，應明確a1為第2層的樓底離地面的高度，a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17，可用展示實際樓梯圖以化解難點）
設置此題的目的：
1。加強同學們對應用題的綜合分析能力，
2。通過數學實際問題引出等差數列問題，激發(fā)了學生的興趣；
3。再者通過數學實例展示了“從實際問題出發(fā)經抽象概括建立數學模型，最后還原說明實際問題的“數學建?！钡臄祵W思想方法
1、小節(jié)后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規(guī)定時間內完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。
2、書上例3）梯子的最高一級寬33c，最低一級寬110c，中間還有10級，各級的寬度成等差數列。計算中間各級的寬度。
3、若數例{an} 是等差數列，若 bn = an ，（為常數）試證明：數列{bn}是等差數列
此題是對學生進行數列問題提高訓練，學習如何用定義證明數列問題同時強化了等差數列的概念。
1。等差數列的概念及數學表達式．
選做題：已知等差數列{an}的首項a1= ―24，從第10項開始為正數，求公差d的取值范圍。（目的：通過分層作業(yè)，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）
在板書中突出本節(jié)重點，將強調的地方如定義中，“從第二項起”及“同一常數”等幾個字用紅色粉筆標注，同時給學生留有作題的地方，整個板書充分體現了精講多練的教學方法。
等差數列課件(篇6)
教學目標??????????????????? ??? 1．明確等差中的概念． ??? 2．進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式 ??? 3．培養(yǎng)學生的應用意識． ??? 教學重點??????????????????? 等差數列的性質的理解及應用 ?? ?教學難點??????????????????? 靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題 ??? 教學方法??????????????????? ??? 講練相結合 ??? 教具準備?????????????????? ???? 投影片2張(內容見下面) 教學過程??????????????????? ??? (i)復習回顧 師：首先回憶一下上節(jié)課所學主要內容： 1．? 等差數列定義： （n≥2） 2．? 等差數列通項公式： （n≥2） 推導公式： （ⅱ）講授新課 師：先來看這樣兩個例題（放投影片1） 例1：在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差 例2：梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度。1．? 解：由題意可知 解之得 即這個數列的首項是-2，公差是3。 或由題意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2．? 解設 表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列，由已知條件，可知： a1=33,? a12=110，n=12 ∴ ,即時10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 師：如果在 與 中間插入一個數a，使 ，a， 成等差數列數列，那么a應滿足什么條件？ 生：由定義得a- = -a 即： 反之，若 ，則a- = -a 師：由此可可得： 成等差數列，若 ，a， 成等差數列，那么a叫做 與 的等差中項。 不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。 如數列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和風細雨的等差中項，1和9的等差中項。 9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。 看來， 從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q 則， 生：結合例子，熟練掌握此性質 師：再來看例3。（放投影片2） 生：思考例題 例3：已知數列的通項公式為： 分析：由等差數列的定義，要判定 是不是等差數列，只要看 （n≥2）是不是一個與n無關的常數。 解：取數列 中的任意相鄰兩項 與 （n≥2）， 則： 它是一個與n無關的常數，所以 是等差數列。在 中令n=1，得： ，所以這個等差數列的首項是p=q，公差是p.看來，等差數列的通項公式可以表示為： ，其中 、 是常數。 （ⅲ）課堂練習生：（口答） （書面練習） 師：給出答案 生：自評練習（ⅳ）課時小結 師：本節(jié)主要概念：等差中項 另外，注意靈活應用等差數列定義及通項公式解決相關問題。 （ⅴ）課后作業(yè) 一、課本 二、1．預習內容 ??? 2．預習提綱：①等差數列的前n項和公式； ②等差數列前n項和的簡單應用。 教學后記
等差數列是《普通高中課程標準實驗教科書?數學5》(人教版)第二章數列第二節(jié)等差數列第一課時。
數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，?數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面，學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。
1、通過本節(jié)課的學習使學生理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列。
2、引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數列的公差及通項公式，能在解題中靈活應用，初步引入“數學建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\用;并在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力。
3、在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。
②等差數列的通項公式的推導過程及應用。
難點：
①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。
普通高中學生經過一年的高中的學習生活，已經慢慢習慣的高中的學習氛圍，大部分學生知識經驗已較為豐富，且對數列的知識有了初步的接觸和認識，已經熟悉由觀察到抽象的數學活動過程，對函數、方程思想體會逐漸深刻，應用數學公式的能力逐漸加強。他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。
結合本節(jié)課的特點，我設計了從教法、學法兩種方法對等差數列的通項公式進行推導，讓學生更好的理解。通過引入實例來啟發(fā)學生，挺高學生的學習興趣，是學生更加形象、愉快的去學習這堂課。下面是我教學設計：
⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。
⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現問題，解決問題，調動學生的積極性。
⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。
引導學生首先從四個現實問題(數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。
在南北朝時期《張邱建算經》中，有一道題“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金 四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更 給，問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何“。 這個問題該怎樣解決呢?
由學生觀察分析并得出答案： 在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，___，___，___，___，?
水庫的管理人員為了保證優(yōu)質魚 類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位 為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列(單位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5
思考：同學們觀察一下上面的這兩個數列： 0，5，10，15，20， ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ② 看這些數列有什么共同特點呢?
傾聽和觀察分析，發(fā)表各自的意見。
對于以上幾組數列我們稱它們?yōu)榈炔顢盗?。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上兩組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5。
提問：如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列數列，那么A應滿足什么條件?
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b
的等差中項。
不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項。 如數列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。看來，
等差數列課件(篇2)
①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
①本節(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等差數列的定義與表示法，一節(jié)為等差數列通項公式的應用．
②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．
④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應．
⑤有窮等差數列的末項與通項是有區(qū)別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點．
⑥等差數列前 項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規(guī)律的子數列會引起學生的興趣．
⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．
1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.
教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．
前一節(jié)課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？
等差數列的'概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知等差數列 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
（1）已知等差數列 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.
這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.
（1）已知等差數列 中， ，求 的值.
（2）已知等差數列 中， ， 求 .
若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.
由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發(fā)現規(guī)律，完善問題
（3）已知等差數列 中， 求 ； ； ； ；….
（4）已知等差數列 中， 求 的值.
，考察 隨項數 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
這是為研究等差數列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？
（2）等差數列 從第________項起以后每項均為負數.
1. 用方程思想認識等差數列通項公式；
教學目標
1.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.
（1）了解公差的概念，明確一個數列是等差數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等差數列，了解等差中項的概念；
（2）正確認識使用等差數列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項；
（3）能通過通項公式與圖像認識等差數列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.
2.通過等差數列的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列通項公式的運用，滲透方程思想.
3.通過等差數列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；通過對等差數列的研究，使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.
關于等差數列的教學建議
（1）知識結構
（2）重點、難點分析
①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.
②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
（3）教法建議
①本節(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等差數列的定義與表示法，一節(jié)為等差數列通項公式的應用．
②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做等差數列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．
③等差數列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數列的條件．
④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列，前提條件是已知數列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規(guī)律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應．
⑤有窮等差數列的末項與通項是有區(qū)別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮等差數列的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點．
⑥等差數列前 項和的公式推導離不開等差數列的性質，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數列的子數列，有規(guī)律的子數列會引起學生的興趣．
⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．
等差數列通項公式的教學設計示例
教學目標
1.通過教與學的互動，使學生加深對等差數列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；
2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；
3.通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣.
教學重點，難點
教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．
教學用具
實物投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學方法
研探式.
教學過程（）
一.復習提問
前一節(jié)課我們學習了等差數列的概念、表示法，請同學們回憶等差數列的定義，其表示法都有哪些？
等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
二.主體設計
通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當等差數列的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知等差數列 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.
1.方程思想的運用
（1）已知等差數列 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.
（2）已知等差數列 中，首項 ， 則公差
（3）已知等差數列 中，公差 ， 則首項
這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差數列 中， ，求 的值.
（2）已知等差數列 中， ， 求 .
若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些等差數列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.
教師提出新的問題，已知等差數列的一個條件（等式），能否確定一個等差數列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.
如：已知等差數列 中， …
由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發(fā)現規(guī)律，完善問題
（3）已知等差數列 中， 求 ； ； ； ；….
類似的還有
（4）已知等差數列 中， 求 的值.
以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出
3.研究等差數列的單調性，考察 隨項數 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
4.研究項的符號
這是為研究等差數列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？
（2）等差數列 從第________項起以后每項均為負數.
三.小結
1. 用方程思想認識等差數列通項公式；
2. 用函數思想解決等差數列問題.
等差數列課件(篇4)
本節(jié)課將探究一類特殊的數列——等差數列.本節(jié)課安排2課時，第1課時是在生活中具體例子的基礎上引出等差數列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數列的通項公式，最后根據這個公式去進行有關計算.第2課時主要是讓學生明確等差中項的概念，進一步熟練掌握等差數列的通項公式及其推導的公式，并能通過通項公式與圖象認識等差數列的性質.讓學生明白一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，使學生學會用圖象與通項公式的關系解決某些問題.在學法上，引導學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，學會探究.在問題探索過程中，先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數列通項公式的靈活運用.
在教學過程中，應遵循學生的認知規(guī)律，充分調動學生的積極性，盡可能讓學生經歷知識的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學習興趣，發(fā)揮他們的主觀能動性及其在教學過程中的主體地位.使學生認識到生活離不開數學，同樣數學也是離不開生活的.學會在生活中挖掘數學問題，解決數學問題，使數學生活化，生活數學化.
數列在整個中學數學內容中處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為后面學習數列與函數的極限等內容作了鋪墊.教材采取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯系，而數列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內容是培養(yǎng)學生觀察問題、啟發(fā)學生思考問題的好素材.
1.通過實例理解等差數列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數列模型，讓學生認識到這一類數列是現實世界中大量存在的數列模型.同時經歷由發(fā)現幾個具體數列的等差關系，歸納出等差數列的定義的過程.
2.探索并掌握等差數列的通項公式，由等差數列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數列的通項公式.通過與一次函數的圖象類比，探索等差數列的通項公式的圖象特征與一次函數之間的聯系.
3.通過對等差數列的研究，使學生明確等 差數列與一般數列的內在聯系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯系實際，激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式，等差中項及性質，會用公式解決一些簡單的問題.
教學難點：概括通項公式推導過程中體現的數學思想方法，以及從函數、方程的觀點看通項公式，并會解決一些相關的問題.
思路1.(直接導入)教師引導學生先復習上節(jié)課學過的數列的概念以及通項公式，可有意識地在黑板上(或課件中)出示幾個數列，如：數列1,2,3，…，數列0,0,0，…，數列0,2,4,6，…等，然后直接引導學生閱讀教材中的實例，不知不覺中就已經進入了新課.
思路2.(類比導入)教師首先引導學生復習上節(jié)課所學的數列的概念及通項公式，使學生明了我們現在要研究的就是一列數.由此我們聯想：在初中我們學習了實數，研究了它的一些運算與性質，那么我們能不能也像研究實數一樣，來研究它的項與項之間的關系、運算和性質呢?由此導入新課.
?1?回憶數列的概念，數列都有哪幾種表示方法?
?2?閱讀教科書本節(jié)內容中的①②③3個背景實例，熟悉生活中常見現象，寫出由3個實例所得到的數列.
?3?觀察數列①②③，它們有什么共同特點?
?4?根據數列①②③的特征，每人能再舉出2個與其特征相同的數列嗎?
?5?什么是等差數列?怎樣理解等差數列?其中的關鍵字詞是什么?
?6?數列①②③存在通項公式嗎?如果存在，分別是什么?
?7?等差數列的通項公式是什么?怎樣推導?
活動：教師引導學生回憶上節(jié)課所學的數列及其簡單表示法——列表法、通項公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數列的特點.然后引導學生閱讀教材中的實例模型，指導學生寫出這3個模型的數列：
①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…;
②2,9,16,23,30;
③89,83,77,71,65,59,53,47.
這是由日常生活中經常遇到的實際問題中得到的數列.觀察這3個數列發(fā)現，每個數列中相鄰的后項減前項都等于同一個常數.當然這里我們是拿后項減前項，其實前項減后項也是一個常數，為了后面內容的學習方便，這個 順序不能顛倒.
至此學生會認識到，具備這個特征的數列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數列為100,99,98,97，…，某體育場一角的看臺的座位排列：第一排15個座位，向后依次為17,19,21,23，…，等等.
以上這些數列的共同特征是：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(即等差).這就是我們這節(jié)課要研究的主要內容.教師先讓學生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數列的定義.
等差數列的定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.
教師引導學生理解這個定義：這里公差d一定是由后項減前項所得，若前項減后項則為-d，這就是為什么前面3個模型的分析中總是說后項減前項而不說前項減后項的原因.顯然3個模型數列都是等差數列，公差依次為0.5,7，-6.
教師進一步引導學生分析等差數列定義中的關鍵字是什么?(學生在學習中經常遇到一些概念，能否抓住定義中的關鍵字，是能否正確、深入地理解和掌握概念的重要條件，這是學好數學及其他學科的重要一環(huán).因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力)
這里“從第二項起”和“同一個常數”是等差數列定義中的核心部分.用遞推公式可以這樣描述等差數列的定義：對于數列{an}，若an-an-1=d(d是與n無關的常數或字母)，n≥2，n∈N_，則此數列是等差數列.這是證明一個數列是等差數列的常用方法.點撥學生注意這里的“n≥2”，若n包括1，則數列是從第1項向前減，顯然無從減起.若n從3開始，則會漏掉a2-a1的差，這也不符合定義，如數列1,3 ,4,5,6，顯然不是等差數列，因此要從意義上深刻理解等差數列的定義.
教師進一步引導學生探究數列①②③的通項公式，學生根據已經學過的數列通項公式的定義，觀察每一數列的項與序號之間的關系會很快寫出：①an=21.5+0.5n，②an=7n-5，③an=-6n+95.
以上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結果方面都存在許多共性.教師點撥學生探求，對任意等差數列a1，a2，a3，…，an，…，根據等差數列的定義都有：
a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
……
所以a2=a1+d，
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.
學生很容易猜想出等差數列的通項公式an= a1+(n-1)d后，教師適時點明：我們歸納出的公式只是一個猜想，嚴格的證明需要用到后面的其他知識.
教師可就此進一步點撥學生：數學猜想在數學領域中是很重要的思考方法，后面還要專門探究它.數學中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數學皇冠上的明珠，對于它的證明中國已處于世界領先地位.很多著名的數學結論都是從猜想開始的.但要注意，數學猜想僅是一種數學想象，在未得到嚴格的證明前不能當作正確的結論來用.這里我們歸納猜想的等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d是經過嚴格證明了的，只是現在我們知識受限，無法證明，所以說我們先承認它.鼓勵學生只要創(chuàng)新探究，獨立思考，也會有自己的新奇發(fā)現.
教師根據教學實際情況，也可引導學生得出等差數列通項公式的其他推導方法.例如：
∴an-an-1=d，
an-1-an-2=d，
an-2-an-3=d，
……
a2-a1=d.
兩邊分別相加得an-a1=(n-1)d，
所以an=a1+(n-1)d，
……
=a1+(n-1)d.
所以an=a1+(n-1)d.
(5)如果一個數列從第2 項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列.其中關鍵詞為“從第2項起”、“等于同一個常數”.
(6)三個數列都有通項公式，它們分別是：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.
(7)可用疊加法和迭代法推導等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d.
活動：本例的目的是讓學生熟悉公式，使學生從中體會公式與方程之間的聯系.教學時要使學生認識到等差數列的通項公式其實就是一個關于an、a1、d、n(獨立的量有3個)的方程，以便于學生能把方程思想和通項公式相結合，解決等差數列問題.本例中的(2)是判斷一個數是否是某等差數列的項.這個問題可以看作(1)的逆問題.需要向學生說明的是，求出的項數為正整數，所給數就是已知數列中的項，否則，就不是已知數列中的項.本例可由學生自己獨立解決，也可做板演之用，教師只是對有困難的學生給予恰當點撥.
(1)100是不是等差數列2,9,16，…的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由;
(2)-20是不是等差數列0，-312，-7，…的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由.
解：(1)由題意，知a1=2，d=9-2=7.因而通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個數列的第15項.
(2)由題意可知a1=0，d=-312，因而此數列的通項公式為an=-72n+72.
令-72n+72=-20，解得n=477.因為-72n+72=-20沒有正整數解，所以-20不是這個數列的項.
例2一個等差數列首項為125，公差d>0，從第10項起每一項都比1大，求公差d的范圍.
活動：教師引導學生觀察題意，思考條件“從第10項起每一項都比1大”的含義，應轉化為什么數學條件?是否僅是a10>1呢?d>0的條件又說明什么?教師可讓學生合作探究，放手讓學生討論，不要怕學生出錯.
即a10>1a9≤1?125+?10-1?d>1，125+?9-1?d≤1，
點評：本例學生很容易解得不完整，解完此題后讓學生反思解題過程.本題主要訓練學生靈活運用等差數列的通項公式以及對公差的深刻理解.
在數列{an}中，已知a1=1，1an+1=1an+13(n∈N_)，求a50.
解：已知條件可化為1an+1-1an=13(n∈N_)，
由等差數列的定義，知{1an}是首項為1a1=1，公差為d=13的等差數列，
∴1a50=1+(50-1)×13=523.
∴a50=352.
例3已知數列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數，那么這個數列是否一定是等差數列?若是，首項與公差分別是什么?
活動：要判定{an}是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，根據an-an-1(n>1)是不是一個與n無關的常數.
這實際上給出了判斷一個數列是否是等差數列的一個方法：如果一個數列的通項公式是關于正整數的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列.因而把等差數列通項公式與一次函數聯系了起來.本例設置的“旁注”，目的是為了揭示等差數列通項公式的結構特征：對于通項公式形如an=pn+q的數列，一定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.因此可以深化學生對等差數列的理解，同時還可以從多個角度去看待等差數列的通項公式，有利于以后更好地把握等差數列的性質.在教學時教師要根據學生解答的情況，點明這點.
解：當n≥2時，〔取數列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p為常數，
所以{an}是等差數列，首項a1=p+q，公差為p.
點評：(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關于n的一次式，從圖象上看，表示數列的各點(n，an)均在一次函數y=px+q的圖象上，一次項的系數是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數)，稱其為第3通項公式.
已知數列的通項公式an=6n-1.問這個數列是等差數列嗎?若是等差數列，其首項與公差分別是多少?
解：∵an+1-an=-(6n-1)=6(常數)，
∴{an}是等差數列，其首項為a1=6×1-1=5，公差為6.
點評：該訓練題的目的是進一步熟悉例3的內容.需要向學生強調，若用an-an-1=d，則必須強調n≥2這一前提條件，若用an+1-an=d，則可不對n進行限制.
1.(1)求等差數列8,5,2，…的第20項;
(2)-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項?如果是，是第幾項?
2.求等差數列3,7,11，…的第4項與第10項.
答案：
1.解：(1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個數列的通項公式為
an=-5-4(n-1)=-4n-1.
由題意知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-4n-1成立.解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項.
∴該數列的通項公式為an=3+(n-1)×4，
即an=4n-1(n≥1，n∈N_).
∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-1=39.
1.先由學生自己總結回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數學思想方法?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進一步集中強調，本節(jié)學習的重點內容是等差數列的定義及通項公式，等差數列的基本性質是“等差”.這是我們研究有關等差數列的主要出發(fā)點，是判斷、證明一個數列是否為等差數列和解決其他問題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對任意相鄰兩項來說的.
本教案設計突出了重點概念的教學，突出了等差數列的定義和對通項公式的認識與應用.等差數列是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確地把握定義是正確認識等差數列，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具.因為等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，因此通過函數圖象研究數列性質成為可能.
本教案設計突出了教法學法與新課程理念的接軌，引導綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數學，這是一種非常重要的學習方法;在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.
本教案設計突出了發(fā)散思維的訓練.通過一題多解，多題一解的訓練，比較優(yōu)劣，換個角度觀察問題，這是數學發(fā)散思維的基本素質.只有在學習過程中有意識地將知識遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗多樣性，學懂學透，融會貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增.
思路1.(復習導入)上一節(jié)課我們研究了數列中的一個重要概念——等差數列的定義，讓學生回憶這個定義，并舉出幾個等差數列的例子.接著教師引導學生探究自己所舉等差數列例子中項與項之間有什么新的發(fā)現?比如，在同一個等差數列中，與某一項“距離”相等的兩項的和會是什么呢?由此展開新課.
思路2.(直接導入)教師先引導學生回顧上一節(jié)所學的內容：等差數列的定義以及等差數列的通項，之后直接提出等差中項的概念讓學生探究，由此而展開新課.
?1?請學生回憶上節(jié)課學習的等差數列的定義，如何證明一個數列是等差數列??2?等差數列的通項公式是怎樣得出來的?它與一次函數有什么關系??3?什么是等差中項?怎樣求等差中項??4?根據等差中項的概念，你能探究出哪些重要結論呢?
活動：借助課件，教師引導學生先回憶等差數列的定義，一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，即an-an-1=d(n≥2，n∈N_)，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差(通常用字母“d”表示).
再一起回顧通項公式，等差數列{an}有兩種通項公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數).
由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的方法：①d=an-an-1;②d=an-a1n-1;③d=an-amn-m.
對于通項公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項公式，后又用疊加法及迭代法推導了通項公式.
教師指導學生閱讀課本等差中項的概念，引導學生探究：如果我們在數a與數b中間插入一個數A，使三個數a，A，b成等差數列，那么數A應滿足什么樣的條件呢?
由定義可得A-a=b-A，即A=a+b2.
反之，若A=a+b2，則A-a=b-A，
由此可以得A=a+b2?a，A，b成等差數列.
由此我們得出等差中項的概念：如果三個數x，A，y組成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項.如果A是x和y的等差中項，則A=x+y2.
根據我們前面的探究不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項.
如數列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項.
9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項.
等差中項及其應用問題的解法關鍵在于抓住a，A，b成等差數列?2A=a+b，以促成將等差數列轉化為目標量間的等量關系或直接由a，A，b間的關系證得a，A，b成等差數列.
根據等差中項的概念我們來探究這樣一個問題：如上面的數列1,3,5,7,9,11,13，…中，我們知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8，那么你能發(fā)現什么規(guī)律呢?再驗證一下，結果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6. 由此我們猜想這個規(guī)律可推廣到一般，即在等差數列{an}中，若m、n、p、q∈N_且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，這個猜想與上節(jié)的等差數列的通項公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴格證明，不能說它就一定是正確的.讓學生進一步探究怎樣證明它的正確性呢?只要運用通項公式加以轉化即可.設首項為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.
因為我們有m+ n=p+q，所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.
由此我們的一個重要結論得到了證明：在等差數列{an}的各項中，與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數列中，若m+n=p+q，則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若m+n=2p，則am+an=2ap.這也是等差中項的內容.
我們自然會想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢?舉個反例，這里舉個常數列就可以說明結論不成立.
這說明在等差數列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此我們還進一步推出an+1-an=d=an+2-an+1，即2an+1=an+an+2，這也是證明等差數列的常用方法.
同時我們通過這個探究過程明白：若要說明一個猜想正確，必須經過嚴格的證明，若要說明一個猜想不正確，僅舉一個反例即可.
(3)如果三個數x，A，y成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項，且A=x+y2.
(4)得到兩個重要結論：①在數列{an}中，若2an+1=an+an+2(n∈N_)，則{an}是等差數列.
②在等差數列中，若m+n=p+q(m、n、p、q∈N_)，則am+an=ap+aq.
例1在等差數列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.
活動：本例是一道基本量運算題，運用方程思想可由已知條件求出a1，d，進而求出通項公式an，則a3，a9不難求出.應要求學生掌握這種解題方法，理解數列與方程的關系.
解：由已知，得a1+a1+5d=9，a1+3d=7，解得a1=-8，d=5.
∴通項公式為an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13.
∴a3=2，a9=32.
點評：本例解法是數列問題的基本運算，應要求學生熟練掌握，當然對學有余力的同學來說，教師可引導探究一些其他解法，如a1+a6=a4+a3=9.
∴a3=9-a4=9-7=2.
∴a9=a4+5d=32.
點評：這種解法巧妙，技巧性大，需對等差數列的定義及重要結論有深刻的理解.
已知數列{an}對任意的p，q∈N_滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于( )
解析：依題意知，a2=a1+a1=2a1，a1=12a2=-3，an+1=an+a1=an-3，
可知數列{an}是等差數列，a10= a1+9d=-3-9×3=-30.
活動：本例是等差數列通項公式的靈活運用.正如邊注所說，相當于已知直線過點(1,17)，斜率為-0.6，求直線在x軸下方的點的橫坐標的取值范圍.可放手讓學生完成本例.
等差數列{an}的公差d
C.an=-2n+12(n∈N_) D.an=-2n+10( n∈N_)
解析：由題意知a2?a4=12a2+a4=8d
所以由an=a1+(n-1)d，得an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.
例3 已知a、b、c成等差數列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)是否成等差數列?
活動：教師引導學生思考a、b、c成等差數列可轉化為什么形式的等式?本題的關鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).教師可讓學生自己探究完成，必要時給予恰當的點撥.
∴a+c=2b.
=(a2b-2ab2)+(bc2-2b2c)+(a2c+ac2)
=0，
∴a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).
∴a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+b)成等差數列.
點評：如果a、b、c成等差數列，常轉化為a+c=2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數列，常改證a+c=2b.有時還需運用一些等價變形技巧，才能獲得成功.
例4在-1與7之間順次插入三個數a、b、c，使這五個數成等差數列，求此數列.
活動：教師引導學生從不同角度加以考慮：一是利用等差數列的定義與通項;一是利用等差中項加以處理.讓學生自己去探究，教師一般不要給予提示，對個別探究有困難的學生可適時地給以點撥、提示.
解：(方法一)設這些數組成的等差數列為{an}，由已知，a1=-1，a5=7，
∴7=-1+(5-1)d，即d=2.
∴所求的數列為-1,1,3,5,7.
(方法二)∵-1，a，b，c,7成等差數列，
∴b是-1,7的等差中項，a是-1，b的等差中項，c是b,7的等差中項，即b=-1+72=3，a=-1+b2=1，c=b+72=5.
∴所求數列為-1,1,3,5,7.
點評：通過此題可以看出，應多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個角度看問題，以開闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力.
數列{an}中，a3=2，a7=1，且數列{1an+1}是等差數列，則a11等于( )
解析：設bn=1an+1，則b3=13，b7=12，
因為{1an+1}是等差數列，可求得公差d=124，
所以b11=b7+(11-7)d=23，即a11=1b11-1=12.
例5某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4千米(不含4千米)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車前往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少元的車費?
活動：教師引導學生從實際問題中建立數學模型.在這里也就是建立等差數列的數學模型.引導學生找出首項和公差，利用等差數列通項公式的知識解決實際問題.
解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數列{an}來計算車費.
令a1=11.2表示4 km處的車費，公差d=1.2，那么，當出租車行至14 km處時，n=11，此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
點評：本例中令a1=11.2，這點要引起學生注意，這樣一來，前往14 km處的目的地就相當于n=11，這點極容易弄錯.
1.已知等差數列{an}中，a1+a3+a5+a7=4，則a2+a4+a6等于( )
2.在等差數列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于( )
答案：
1.解析：由a1+a3+a5+a7=4，知4a4=4，即a4=1.
∴2a1+3d=13.
∵a1=2，∴d=3.
而a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
1.先由學生自己總結回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數學思想方法?你是如何通過舊知識來獲取新知識的?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?
2.教師進一步畫龍點睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎上又推出了兩個很重要的結論，一個是等差數列的證明方法，一個是等差數列的性質，要注意這些重要結論的靈活運用.
本教案是根據課程標準、學生的認知特點而設計的，設計的活動主要都是學生自己完成的.特別是上節(jié)課通項公式的歸納、猜想給學生留下了很深的記憶;本節(jié)課只是繼續(xù)對等差數列進行這方面的探究.
本教案除了安排教材上的兩個例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓練.為了學生的課外進一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習題，目的是讓學生對等差數列的有關知識作進一步拓展探究，以開闊學生的視野.
本教案的設計意圖還在于，加強數列與函數的聯系.這不僅有利于知識的融會貫通，加深對數列的理解，運用函數的觀點和方法解決有關數列的問題，而且反過來可使學生對函數的認識深化一步，讓學 生體會到數學是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學生的數學學習興趣.
【例1】 梯子最高一級寬33 cm，最低一級寬為110 cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度.
解：設{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數列，由已知條件，可知a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.
因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=10 3.
答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.
【例2】 已知1a，1b，1c成等差數列，求證：b+ca，c+ab，a+bc也成等差數列.
證明：因為1a，1b，1c成等差數列，所以2b=1a+1c，化簡得2ac=b(a+c)，所以有
b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=b?a+c?+a2+c2ac=2ac+a2+c2ac=?a+c?2ac=?a+c?2b?a+c?2=2?a+cb.
因而b+ca，c+ab，a+bc也成等差數列.
【例3】 設數列{an}{bn}都是等差數列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求數列{an+bn}的第37項的值.
分析：由數列{an}{bn}都是等差數列，可得{an+bn}是等差數列，故可求出數列{an+bn}的公差和通項.
解：設數列{an}{bn}的公差分別為d1，d2，則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2為常數，所以可得{an+bn}是等差數列.設其公差為d，則公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.
所以數列{an+bn}的第37項的值為-250.
點評：若一個數列未告訴我們是等差數列時，應先由定義法判定它是等差數列后，方可使用通項公式an=a1+(n-1)d.但對客觀試題則可以直接運用某些重要結論，直接判定數列是否為等差數列.
1.已知等差數列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12的值是( )
2.在數列{an}中3an+1=3an+2(n∈N_)，且a2+a4+a7+a9=20，則a10為( )
3.在等差數列{an}中，a1+3a8+a15=120，則3a9-a11的值為( )
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為14的等差數列，則|m-n|等于( )
5.在等差數列{an}中，a5=3，a6=-2，則a4+a5+…+a10=__________.
6.已知a、b、c成等差數列，且a、b、c三數之和為15，若a2，b2+9，c2也成等差數列，求a、b、c.
7.設1a+b，1a+c，1b+c成等差數列，求證：a2，b2，c2也成等差數列.
8.成等差數列的四個數之和為2 6，第二數與第三數之積為40，求這四個數.
9.有一批影碟機(VCD)原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價為760元，以此類推，每多買一臺則所買各臺單價均減少20元，但每臺最少不低于440元;乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位需購買一批此類影碟機，問去哪一家商場購買花費較少?
∴a7+a9=2a8.
∴a8=8.
又∵a4，a8，a12成等差數列，
∴公差d=a8-a4=7.
∴a12=a8+d=8+7=15.
2.C 由已知得an+1-an=23，
∴{an}是首項為a1，公差d=23的等差數列.
a2+a4+a7+a9=4a1+18d=20，解得a1=2，
∴a10=2+23(10-1)=8.
3.D ∵a1+a15=2a8，
∴a1+3a8+a15=5a8=120.
∴a8=24.
而3a9-a11=3(a1+8d)-(a1+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48.
4.C 設a1=14，a2=14+d，a3=14+2d，a4=14+3d，
而方程x2-2x+m=0中的兩根之和為2，方程x2-2x+n=0中的兩根之和也是2，
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.
∴d=12.
∴a1=14，a4=74是一個方程的兩個根，a2=34，a3=54是另一個方程的兩個根.
∴716，1516為m或n.
6.解：由已知得2b=a+c，a+b+c=15，2?b2+9?=a2+c2，
解之，得a=8，b=5，c=2，或a=2，b=5，c=8.
7.證明：由已知得1a+b+1b+c=2?1a+c，化簡得a2+c2=2b2，
∴a2，b2，c2成等差數列.
8.解：設這四個數為a-3d，a-d，a+d，a+3d，
則由題設得?a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26，?a-d??a+d?=40，
解得a=132，d=32，或a=132，d=-32.
∴所求四個數為2,5,8,11或11,8,5,2.
9.解：設某單位需購買影碟機n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元時，售價依臺數n成等差數列{an}.
an=780+(n-1)(-20)=800-20n，解不等式an≥440,800-20n≥440，得n≤18.
當購買臺數小于18時，每臺售價為800-2n元，在臺數大于或等于18時，每臺售價440元.
到乙商場購買，每臺售價為800×75%=600(元)，作差(800-20n)n-600n=20n(10-n)，
當n=10時，600n=(800-20n)n;
當n>18時，440n
等差數列課件(篇5)
通過練習2和3 引出兩個具體的等差數列，初步認識等差數列的特征，為后面的概念學習建立基礎，為學習新知識創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲。由學生觀察兩個數列特點，引出等差數列的概念，對問題的總結又培養(yǎng)學生由具體到抽象、由特殊到一般的認知能力。
1、由引入自然的給出等差數列的概念：
如果一個數列，從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數，這個數列就叫等差數列， 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。強調：
②公差d一定是由后項減前項所得；
③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數（強調“同一個常數” ）；
在理解概念的基礎上，由學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言，歸納出數學表達式：
同時為了配合概念的理解，我找了5組數列，由學生判斷是否為等差數列，是等差數列的找出公差。
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
在歸納等差數列通項公式中，我采用討論式的教學方法。給出等差數列的首項 ，公差d，由學生研究分組討論a4 的通項公式。通過總結a4的通項公式由學生猜想a40的通項公式，進而歸納an的通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學生的協作意識又化解了教學難點。
若一等差數列{an }的首項是a1，公差是d，
則據其定義可得：
進而歸納出等差數列的通項公式：
此時指出： 這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度，在這里向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法――――――迭加法：
將這（n―1）個等式左右兩邊分別相加，就可以得到 anC a1= （n―1） d即 an= a1+（n―1） d （1）
當n=1時，（1）也成立，
因此它就是等差數列｛an｝的通項公式。
在迭加法的證明過程中，我采用啟發(fā)式教學方法。
利用等差數列概念啟發(fā)學生寫出n―1個等式。
對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學生想出將n―1個等式相加。證出通項公式。
在這里通過該知識點引入迭加法這一數學思想，逐步達到“注重方法，凸現思想” 的教學要求
接著舉例說明：若一個等差數列｛an｝的首項是1，公差是2，得出這個數列的通項公式是：an=1+（n―1）×2 ， 即an=2n―1 以此來鞏固等差數列通項公式運用
同時要求畫出該數列圖象，由此說明等差數列是關于正整數n一次函數，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。用函數的思想來研究數列，使數列的性質顯現得更加清楚。
這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向學生表明：要用運動變化的觀點看等差數列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關系。當其中的部分量已知時，可根據該公式求出另一部分量。
例1 （1）求等差數列8，5，2，…的第20項；第30項；第40項
（2）―401是不是等差數列―5，―9，―13，…的項？如果是，是第幾項？
在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數列通項公式；第二問實際上是求正整數解的問題，而關鍵是求出數列的通項公式an
例2 在等差數列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首項a1與公差d。
建造房屋時要設計樓梯，已知某大樓第2層的樓底離地面的高度為3米，第三層離地面5。8米，若樓梯設計為等高的16級臺階，問每級臺階高為多少米？
這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結合的教學方法。啟發(fā)學生注意每級臺階“等高”使學生想到每級臺階離地面的高度構成等差數列，引導學生將該實際問題轉化為數學模型――――――等差數列：（學生討論分析，分別演板，教師評析問題。問題可能出現在：項數學生認為是16項，應明確a1為第2層的樓底離地面的高度，a2表示第一級臺階離地面的高度而第16級臺階離地面高度為a17，可用展示實際樓梯圖以化解難點）
設置此題的目的：
1。加強同學們對應用題的綜合分析能力，
2。通過數學實際問題引出等差數列問題，激發(fā)了學生的興趣；
3。再者通過數學實例展示了“從實際問題出發(fā)經抽象概括建立數學模型，最后還原說明實際問題的“數學建?！钡臄祵W思想方法
1、小節(jié)后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規(guī)定時間內完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。
2、書上例3）梯子的最高一級寬33c，最低一級寬110c，中間還有10級，各級的寬度成等差數列。計算中間各級的寬度。
3、若數例{an} 是等差數列，若 bn = an ，（為常數）試證明：數列{bn}是等差數列
此題是對學生進行數列問題提高訓練，學習如何用定義證明數列問題同時強化了等差數列的概念。
1。等差數列的概念及數學表達式．
選做題：已知等差數列{an}的首項a1= ―24，從第10項開始為正數，求公差d的取值范圍。（目的：通過分層作業(yè)，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）
在板書中突出本節(jié)重點，將強調的地方如定義中，“從第二項起”及“同一常數”等幾個字用紅色粉筆標注，同時給學生留有作題的地方，整個板書充分體現了精講多練的教學方法。
等差數列課件(篇6)
教學目標??????????????????? ??? 1．明確等差中的概念． ??? 2．進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式 ??? 3．培養(yǎng)學生的應用意識． ??? 教學重點??????????????????? 等差數列的性質的理解及應用 ?? ?教學難點??????????????????? 靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題 ??? 教學方法??????????????????? ??? 講練相結合 ??? 教具準備?????????????????? ???? 投影片2張(內容見下面) 教學過程??????????????????? ??? (i)復習回顧 師：首先回憶一下上節(jié)課所學主要內容： 1．? 等差數列定義： （n≥2） 2．? 等差數列通項公式： （n≥2） 推導公式： （ⅱ）講授新課 師：先來看這樣兩個例題（放投影片1） 例1：在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差 例2：梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度。1．? 解：由題意可知 解之得 即這個數列的首項是-2，公差是3。 或由題意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2．? 解設 表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列，由已知條件，可知： a1=33,? a12=110，n=12 ∴ ,即時10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 師：如果在 與 中間插入一個數a，使 ，a， 成等差數列數列，那么a應滿足什么條件？ 生：由定義得a- = -a 即： 反之，若 ，則a- = -a 師：由此可可得： 成等差數列，若 ，a， 成等差數列，那么a叫做 與 的等差中項。 不難發(fā)現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。 如數列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和風細雨的等差中項，1和9的等差中項。 9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。 看來， 從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q 則， 生：結合例子，熟練掌握此性質 師：再來看例3。（放投影片2） 生：思考例題 例3：已知數列的通項公式為： 分析：由等差數列的定義，要判定 是不是等差數列，只要看 （n≥2）是不是一個與n無關的常數。 解：取數列 中的任意相鄰兩項 與 （n≥2）， 則： 它是一個與n無關的常數，所以 是等差數列。在 中令n=1，得： ，所以這個等差數列的首項是p=q，公差是p.看來，等差數列的通項公式可以表示為： ，其中 、 是常數。 （ⅲ）課堂練習生：（口答） （書面練習） 師：給出答案 生：自評練習（ⅳ）課時小結 師：本節(jié)主要概念：等差中項 另外，注意靈活應用等差數列定義及通項公式解決相關問題。 （ⅴ）課后作業(yè) 一、課本 二、1．預習內容 ??? 2．預習提綱：①等差數列的前n項和公式； ②等差數列前n項和的簡單應用。 教學后記