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極限課件【篇1】
數(shù)列的極限 教學(xué)設(shè)計(jì)
西南位育中學(xué) 肖添憶
一、教材分析
《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學(xué)中最重要和最基本的概念之一，因?yàn)闃O限理論是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立了有限與無(wú)限、常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)之間的橋梁，從而彌補(bǔ)和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運(yùn)算法則、無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的求解也要用到數(shù)列極限的運(yùn)算與性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。
課本在內(nèi)容展開時(shí)，以觀察n??時(shí)無(wú)窮等比數(shù)列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發(fā)展趨勢(shì)為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合數(shù)n21的發(fā)展趨勢(shì)，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個(gè)常用極限。但引入部分的表述如“無(wú)限趨近于0，但它永遠(yuǎn)不會(huì)成為0”、“不管n取值有多大，點(diǎn)（n，an）始終在橫軸的上方”可能會(huì)造成學(xué)生對(duì)“無(wú)限趨近”的理解偏差。
二、學(xué)情分析
通過(guò)第七章前半部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)列極限是一個(gè)全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡的階段。
由于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與不當(dāng)?shù)耐评眍惐?，學(xué)生在理解“極限”、“無(wú)限趨近”時(shí)可能產(chǎn)生偏差，比如認(rèn)為極限代表著一種無(wú)法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學(xué)中“極限”的含義相差甚遠(yuǎn)。在學(xué)習(xí)數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無(wú)限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與數(shù)列中“無(wú)限趨近”的含義有所差異，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)槌?shù)列能達(dá)到某一個(gè)常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實(shí)。
三、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn) 教學(xué)目標(biāo)：
1、通過(guò)數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來(lái)龍去脈；
2、經(jīng)歷極限定義在漫長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢(shì)，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；
3、會(huì)根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)考察數(shù)列的極限；掌握三個(gè)常用極限。教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)列極限的概念
教學(xué)難點(diǎn)：正確理解數(shù)列極限的描述性定義
四、教學(xué)策略分析
在問(wèn)題引入時(shí)著重突出“萬(wàn)世不竭”與“講臺(tái)可以走到”在認(rèn)知上的矛盾，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在極限概念形成時(shí)，結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學(xué)，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程有著一定的相似性，學(xué)生在某些概念上的進(jìn)展有時(shí)與數(shù)學(xué)史上的概念進(jìn)展平行。比如部分學(xué)生的想法與許多古希臘的數(shù)學(xué)家一樣，認(rèn)為無(wú)限擴(kuò)大的正多邊形不會(huì)與圓周重合，它的周長(zhǎng)始終小于其外接圓的周長(zhǎng)。教師通過(guò)梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對(duì)此的一系列觀點(diǎn)，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯(cuò)誤想法。對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程以認(rèn)知角度加以分析，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，了解數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，進(jìn)而建構(gòu)推理過(guò)程，使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習(xí)診斷部分，不但要求回答問(wèn)題，還需對(duì)選擇原因進(jìn)行辨析，進(jìn)而強(qiáng)化概念的正確理解。
五、教學(xué)過(guò)程提綱與設(shè)計(jì)意圖 1.問(wèn)題引入
讓一名學(xué)生從距離講臺(tái)一米處朝講臺(tái)走動(dòng)，每次都移動(dòng)距講臺(tái)距離的一半，在黑板上寫出表示學(xué)生到講臺(tái)距離的數(shù)列。這名學(xué)生是否能走到講臺(tái)呢？類比“一尺之捶,日取其半,萬(wàn)世不竭”，莊子認(rèn)為這樣的過(guò)程是永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié)的，然而“講臺(tái)永遠(yuǎn)走不到”這一結(jié)果顯然與事實(shí)不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學(xué)家們是如何思考的?！驹O(shè)計(jì)意圖】
改編自芝諾悖論的引入問(wèn)題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲，并引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容
2.極限概念的發(fā)展與完善
極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因“無(wú)窮小量是否為0”的爭(zhēng)論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實(shí)數(shù)理論的形成，嚴(yán)格的極限理論至此才真正建立?！驹O(shè)計(jì)意圖】
教師引導(dǎo)學(xué)生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)家們提出觀點(diǎn)的時(shí)代背景，對(duì)照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯(cuò)誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點(diǎn)與現(xiàn)今數(shù)學(xué)界認(rèn)可的觀點(diǎn)時(shí)，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突。從而可能使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)史展開教學(xué)可以讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的動(dòng)機(jī)。
3.數(shù)列極限的概念
極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國(guó)古代。極限理論的完善出于社會(huì)實(shí)踐的需要，不是哪一名數(shù)學(xué)家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴(yán)格定義經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的時(shí)期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對(duì)于極限的闡述。
定義：在n無(wú)限增大的變化過(guò)程中，如果無(wú)窮數(shù)列{an}中的an無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列{an}的極限，或叫做數(shù)列{an}收斂于A，記作liman?A，讀作“n趨向于
n??無(wú)窮大時(shí)，an的極限等于A”。
在數(shù)列極限的定義中，可用|an-A|無(wú)限趨近于0來(lái)描述an無(wú)限趨近于A。
如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個(gè)較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時(shí)，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。
【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)比較歷史上不同觀點(diǎn)下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習(xí)診斷
由數(shù)列極限的定義得到三個(gè)常用數(shù)列的極限:(1)limC?C(C為常數(shù))；
n??(2)lim1?0(n?N*)； n??nnn??(3)當(dāng)|q|判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由
20162016（1）an?；
nsinn?； n（3）1,1,1,1,?,1（2）an?（4）an????4(1?n?1000)
?4(n?1001)?1?1-，n為奇數(shù)（5）an??n
?? 1，n為偶數(shù)注：
（1）、（2）考察三個(gè)常用極限
（3）考查學(xué)生是否能清楚認(rèn)識(shí)到數(shù)列極限概念是基于無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列的背景下探討的。當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)若無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，則認(rèn)為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢(shì)。有窮數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個(gè)概念。
（4）引用柯西的觀點(diǎn)，解釋此處無(wú)限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，數(shù)列的項(xiàng)與某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)且無(wú)窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。
（5）擴(kuò)充對(duì)三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動(dòng)趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學(xué)生將趨近誤解為項(xiàng)數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習(xí)若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，則以下對(duì)A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數(shù)
B、A的精確值為1 C、A的近似值為1
選擇此選項(xiàng)的原因是_________ ①由于A的小數(shù)位都是 9，找不到比A大但比1小的數(shù)；
②A是由無(wú)限多個(gè)正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2；
③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的極限；
④1與A的差等于 0.00…01。
注：此題是為考查學(xué)生對(duì)于無(wú)窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學(xué)家們?cè)L(zhǎng)時(shí)期陷入對(duì)無(wú)窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對(duì)極限概念的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時(shí)可能也會(huì)遇到類似的誤區(qū)。
練習(xí)順次連接△ABC各邊中點(diǎn)A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點(diǎn) A2、B2、C2并順次連接又得到一個(gè)新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進(jìn)行下去，那么最終得到的圖形是_________.A、一個(gè)點(diǎn)
B、一個(gè)三角形
C、不確定
選擇此選項(xiàng)的原因是_________.①
無(wú)限次操作后所得三角形的面積無(wú)限趨近于 0 但不可能等于 0。②
當(dāng)操作一定次數(shù)后，三角形的三點(diǎn)會(huì)重合。
③
該項(xiàng)操作可以無(wú)限多次進(jìn)行下去，因而總能作出類似的三角形。
④
無(wú)限次操作后所得三角形的三個(gè)頂點(diǎn)會(huì)趨向于一點(diǎn)。
注：此題從無(wú)限觀的角度考察學(xué)生對(duì)極限概念的的理解。學(xué)生容易忽視極限概念中的實(shí)無(wú)限，他們?cè)谝曈X上采用無(wú)窮疊加的形式，但是會(huì)受最后一項(xiàng)的慣性思維，導(dǎo)致采用潛無(wú)限的思辨方式。所謂實(shí)無(wú)限是指把無(wú)限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過(guò)程或無(wú)窮整體。相對(duì)地，潛無(wú)限是指把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著不斷產(chǎn)生出來(lái)的東西。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在的。持有潛無(wú)限觀點(diǎn)的學(xué)生在理解極限概念時(shí)，會(huì)將極限理解為是一個(gè)漸進(jìn)過(guò)程，或是一個(gè)不可達(dá)到的極值。
通過(guò)習(xí)題，分析總結(jié)以下三個(gè)注意點(diǎn)：
（1）數(shù)列{an}有極限必須是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，但無(wú)窮數(shù)列不一定有極限存在；
1}可以說(shuō)隨著n的無(wú)限增大，n1數(shù)列的項(xiàng)與-1會(huì)越來(lái)越接近，但這種接近不是無(wú)限趨近，所以不能說(shuō)lim??1；
n??n（2）“無(wú)限趨近”不能用“越來(lái)越接近”代替，例如數(shù)列{（3）數(shù)列{an}趨向極限A的過(guò)程可有多種呈現(xiàn)形式。
【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)例題與選項(xiàng)原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū)：
第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學(xué)生對(duì)于數(shù)列趨向于極限方式的錯(cuò)誤認(rèn)知。第三類是對(duì)于無(wú)限的錯(cuò)誤認(rèn)知。
5.課堂小結(jié)
極限的描述性定義與注意點(diǎn) 三個(gè)常用的極限
6.作業(yè)布置
1>任課老師布置的其他作業(yè)
2>學(xué)習(xí)魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義，并用該定義證明習(xí)題的第一第二小問(wèn) 【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問(wèn)題，完善極限概念的體系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)課后自主探究平臺(tái)，感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的數(shù)學(xué)家的智慧。
極限課件【篇2】
高等數(shù)學(xué)教案
課程的性質(zhì)與任務(wù)
高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，也是該專業(yè)的核心課程。要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無(wú)窮級(jí)數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運(yùn)算；同時(shí)要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。在傳授知識(shí)的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)、興趣和能力。
第一章：函數(shù)與極限
教學(xué)目的與要求
18學(xué)時(shí)
1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。
3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。
5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。
6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。
7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。
10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
第一節(jié)：映射與函數(shù)
一、集合
1、集合概念
具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素
1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}
元素與集合的關(guān)系：a?A
a?A
一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無(wú)限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+
元素與集合的關(guān)系：
A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。
如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運(yùn)算
并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}
差集
AB：AB?{x|x?A且x?B
全集I、E
補(bǔ)集AC：
集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A
A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)
(A?B)?C?A?(B?C)分配律
(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
對(duì)偶律
(A?B)?A?B
(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}
3、區(qū)間和鄰域
開區(qū)間
(a,b)閉區(qū)間
?a,b? 半開半閉區(qū)間
?a,b?有限、無(wú)限區(qū)間 cccccc?a,b?
鄰域：U(a)
U(a,?)?{xa???x?a??}
a 鄰域的中心
?鄰域的半徑
?
去心鄰域
U(a,?)
左、右鄰域
二、映射 1.映射概念
定義
設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作
f：X?Y
其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即
y?f(x)
注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則f
2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一
3)單射、滿射、雙射
2、映射、復(fù)合映射
三、函數(shù)
1、函數(shù)的概念：
定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)
記為
y?f(x)x?D
自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值
用f、g、?
函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等
自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２
2)ｙ＝x
3)符號(hào)函數(shù)
?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?
（階梯曲線）
?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??
2、函數(shù)的幾種特性
?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無(wú)界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。
2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值
f(x1)與f(x2)的大小（注：與區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)
圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱)
4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))
3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)
反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)
函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對(duì)稱
復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域?yàn)镈1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)
4、函數(shù)的運(yùn)算
和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)
5、初等函數(shù)：
?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的
1)冪函數(shù)：y?xa
2)指數(shù)函數(shù)：y?ax
3)對(duì)數(shù)函數(shù) y?loga(x)
4)三角函數(shù)
()
y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx
5)反三角函數(shù)
y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)
6)雙曲函數(shù)
e?e2x?xy?arccot(x)
shx?
chx?xx?x?xe?e2x?x
thx?shxchx?e?ee?e
注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。
雙曲函數(shù)公式
sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx
作業(yè)： 同步練習(xí)冊(cè)練習(xí)一
第二節(jié)：數(shù)列的極限
一、數(shù)列
數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。
1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。
2）序列中有無(wú)限多個(gè)成員。一般寫成：a1縮寫為?un?
例 1 數(shù)列??是這樣一個(gè)數(shù)列?xn?，其中
?n??1?a2a3a4??an??
xn?也可寫為：
1121n，n?1,2,3,4,5???
131415????
1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢(shì)，數(shù)值越來(lái)越小，無(wú)限接近0，記為lim1、極限的??N定義：
???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成
limxn?a
n??也可等價(jià)表述：
1）???0
2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??
xn?O(a?)
極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢(shì)，因此與數(shù)列中某個(gè)、前幾個(gè)的值沒有關(guān)系。
二、收斂數(shù)列的性質(zhì)
定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界
定理3：如果limxn?a且a>0(a0，當(dāng)n>N時(shí)，xn?0x??(xn?0)
定理
4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。
第三節(jié)：函數(shù)的極限
一、極限的定義
1、在x0點(diǎn)的極限
1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個(gè)??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x)有一個(gè)總趨勢(shì)-----以某個(gè)實(shí)數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。
x?x0形式定義為：
???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系
2、x??的極限
設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值 有一個(gè)總趨勢(shì)------該曲線有一條水平漸近
f(x)?A??
線y?A-----則稱函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)?有極限。記為：limf(x)?A
x??
在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)?的左右極限：
f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)
f(??)?limf(x)
x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)
x??x???x???
二、函數(shù)極限的性質(zhì)
1、極限的唯一性
2、函數(shù)極限的局部有界性
3、函數(shù)極限的局部保號(hào)性
4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系
第四節(jié)：無(wú)窮小與無(wú)窮大
一、無(wú)窮小定義
定義：對(duì)一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：
1、??? 則稱它為無(wú)窮小量，即limxn?0
x???的意義；
2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??
3、上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)?，存在一個(gè)號(hào)碼N，使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼n，相應(yīng)的xn與極限0的距離比這個(gè)給定的?還小。它是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識(shí)。
定理1 在自變量的同一變化過(guò)程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無(wú)窮小。
二、無(wú)窮大定義
一個(gè)數(shù)列?xn?，如果成立：
?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無(wú)窮大量。記成：limxn??。
x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無(wú)窮大，記成limxn???
x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負(fù)無(wú)窮大，記成limxn??? x??注：無(wú)法區(qū)分正負(fù)無(wú)窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無(wú)窮大量。
三、無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系
定理2 在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則
1f(x)為無(wú)窮?。环粗?，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)?0則
1f(x)為無(wú)窮大
即：非零的無(wú)窮小量與無(wú)窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)xn?0時(shí)：有
lim?0?limx??1xnx????
lim???limx??1xnx???0
注意是在自變量的同一個(gè)變化過(guò)程中
第五節(jié)：極限運(yùn)算法則
1、無(wú)窮小的性質(zhì)
設(shè)?xn?和?yn?是無(wú)窮小量于是：（1）兩個(gè)無(wú)窮小量的和差也是無(wú)窮小量：
limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0
x??x??（2）對(duì)于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無(wú)窮小量：
limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無(wú)窮小量，兩個(gè)無(wú)窮小量的積是一個(gè)無(wú)窮小量。
limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0
x??x??（4）?xn?也是無(wú)窮小量：
x?x0limxn?0?limxn?0
x?x0（5）無(wú)窮小與有界函數(shù)的積為無(wú)窮小。
2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算
1、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)
x?x0x?x0x?x0
2、函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限，則對(duì)任何常數(shù)a成立
lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)
3、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，則
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)
x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限，并且limg(x)???0，則
x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????
lim?
x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)f和g在點(diǎn)x0有極限 例：求下述極限
lim
x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322
4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則
定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復(fù)合而成，f[g(x)]在點(diǎn)x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當(dāng)x?u(x0,?0)時(shí)，有
g(x)?u0，則
x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則
兩個(gè)重要極限
定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：
x??x??limyn?a
x??
定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。
單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。
例：證明：limx?0sinxx?1
例：
limx?0
例：證明：lim(1?x??tanxx
limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx
1x)有界。求 lim(1?)x的極限
x??x1x
第七節(jié)：無(wú)窮小的比較
定義：若?,?為無(wú)窮小
limlim????????0???c?0?c?0?1且
limlimlim
?K??高階、低階、同階、k階、等價(jià)?～?
1、若?,?為等價(jià)無(wú)窮小，則?????(?)
2、若?～?1、?～?1且
lim??11??11存在，則： lim???lim
例：
limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12
第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)
一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性
函數(shù)f在點(diǎn)x0連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：
f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)
或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f在點(diǎn)x0有極限且此極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值。
limf(x)?f(x0)
其形式定義如下：
x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??
函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時(shí)裝意端點(diǎn)。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))
連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線
二、間斷點(diǎn)
若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個(gè)等式不成立，就間斷，分為：
1、第一類間斷點(diǎn)：
f(x0?0)?f(x0?0)
即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。、第二類間斷點(diǎn)x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個(gè)不存在
例：見教材
第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性
一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算
1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)
x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)
3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)
x?Df是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)
反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。
注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來(lái)的值域。
?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴(yán)格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成
y?f?1(x)x?Df?1
復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：
設(shè)函數(shù)f和g滿足復(fù)合條件?g?Df，若函數(shù)g在點(diǎn)x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點(diǎn)u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f?g在點(diǎn)x0連續(xù)。
注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)與函數(shù)符號(hào)的交換：
x?x0limf(g(x))?f(limg(x))
x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過(guò)若干次四則運(yùn)算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。
第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
一、最大、最小值
設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問(wèn)在值域
D1??yy?f(x),x?D?
中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。
x?D
類似地，如果 Df中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說(shuō)它是某個(gè)點(diǎn)x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min
二、有界性
x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。
有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。
三、零點(diǎn)、介值定理
最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說(shuō)存在兩個(gè)點(diǎn)?和?，使得
f(?)?f(x)?f(?),亦即
x??a,b?
f(?)?min x??a,b??f(x)?
f(?)?max?f(x)?
x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點(diǎn)
零點(diǎn)定理：
如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：f(a)*f(b)?0則至少有一個(gè)零點(diǎn)??(a,b)，使f(?)?0
中值定理：
如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個(gè)中間值。
作業(yè)：見課后各章節(jié)練習(xí)。
極限課件【篇3】
活動(dòng)目標(biāo)：
1.嘗試用多種方法過(guò)不同高度的障礙架，從中體驗(yàn)挑戰(zhàn)活動(dòng)帶來(lái)的驚險(xiǎn)刺激和成功樂趣（重點(diǎn)）。
2.學(xué)習(xí)用雙膝跪地，人往后仰的方法，快速滑過(guò)一定高度的障礙架（難點(diǎn)）。
3.培養(yǎng)幼兒勇于挑戰(zhàn)的冒險(xiǎn)精神，勇敢品質(zhì)和創(chuàng)新能力。
活動(dòng)準(zhǔn)備：
障礙架4組(架上有高度不同的標(biāo)簽)、4塊打過(guò)蠟的塑料地毯、場(chǎng)地布置(最好是塑膠場(chǎng)地)、護(hù)膝幼兒人手一副、哨子、磁帶、錄音機(jī)。
活動(dòng)過(guò)程：
一、開始部分
1、談話導(dǎo)入
2、聽音樂邊跑邊做準(zhǔn)備活動(dòng)：腰部和腿部動(dòng)作為主。
3、站成4路縱隊(duì)：原地放慢速度跟音樂做一些身體活動(dòng)：扭腰、抖手、腳踝、蹲起等。
二、基本部分
1、自由探索活動(dòng)
①介紹活動(dòng)方法及規(guī)則
②幼兒分組練習(xí)，教師強(qiáng)調(diào)想出不同的辦法過(guò)架，高度從高到低。
③聽哨聲集中：幼兒個(gè)別演示過(guò)各高度的不同方法。
2、學(xué)習(xí)新技能
①提問(wèn)：有誰(shuí)能不用躺、不用鉆、不用趴的方法很快通過(guò)架子？并請(qǐng)個(gè)別幼兒嘗試一下。
②教師示范用雙膝跪地，人往后仰的方法，快速滑過(guò)障礙架一次。
③幼兒學(xué)習(xí)新技能。
a..原地練習(xí)：雙膝分開跪地人往后仰，感受后仰感覺。
b.無(wú)障礙練習(xí)：分四組在塑料地毯上練習(xí)，強(qiáng)調(diào)用剛才所學(xué)動(dòng)作，體驗(yàn)滑動(dòng)感。
c.過(guò)障礙練習(xí)：分組由高到低進(jìn)行練習(xí)，教師提醒幼兒：一、分組使用剛才所學(xué)動(dòng)作過(guò)架。二、滑到時(shí)不用手去撐地，注意安全。三、鼓勵(lì)幼兒有信心完成任務(wù)。
3、游戲：挑戰(zhàn)極限
①介紹游戲規(guī)則：聽哨聲每組第一位幼兒一起用剛才所學(xué)動(dòng)作滑過(guò)障礙架，過(guò)架的幼兒再繼續(xù)游戲，未過(guò)幼兒則站在對(duì)面為隊(duì)友加油。
②高呼：挑戰(zhàn)極限，耶！為自己加油開始游戲：根據(jù)能力逐漸降低高度，篩選幼兒。
③分差異評(píng)價(jià)幼兒，挑戰(zhàn)極限成功！師生歡呼。
三、放松活動(dòng)
跟音樂做一些腰、腿等的放松動(dòng)作，愉快的離開場(chǎng)地。
極限課件【篇4】
活動(dòng)目標(biāo)：
1、在觀察了解雨傘特征的基礎(chǔ)上，夸大并任意變形傘面和傘柄。
2、啟發(fā)想象，引發(fā)幼兒大膽地進(jìn)行創(chuàng)造性作畫，并用語(yǔ)言表述自己的想法。
3、能用順暢的線條裝飾畫面，體驗(yàn)無(wú)拘無(wú)束創(chuàng)造作畫的快樂。
活動(dòng)準(zhǔn)備：
ppt、作畫背景輕音樂、作畫材料。
活動(dòng)過(guò)程：
一、引題
師：今天林老師帶來(lái)了一把雨傘。（ppt出示）來(lái)看看，雨傘都是由那幾個(gè)部分組成的？
師：原來(lái)雨傘是由傘面、傘骨、傘柄組成
二、雨傘的變形
師繼續(xù)把傘面變形：這下雨傘變成什么樣子了？傘面像什么形狀？
師再次變形傘面：咦，這時(shí)候傘面的形狀發(fā)生了什么變化？是什么線條組成的？
師：你們創(chuàng)造的雨傘太神奇了，而且每個(gè)小朋友對(duì)每個(gè)雨傘都有自己不同的想法和創(chuàng)意?，F(xiàn)在，老師請(qǐng)你們把自己雨傘拿回去也來(lái)變一變更加神奇吧。
四、互動(dòng)評(píng)價(jià)
1、幼兒自主講述畫面內(nèi)容
2、同伴互評(píng)：你最喜歡哪幅畫？為什么？
3、教師肯定幼兒的作品，給與鼓勵(lì)
活動(dòng)反思：
本次活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)是重點(diǎn)，很多問(wèn)題都值得深入探討。這里我想談我一直在思考的一個(gè)問(wèn)題：課堂教學(xué)的有組織性和引導(dǎo)兒童自由創(chuàng)作可能會(huì)出現(xiàn)的無(wú)序性的矛盾。課堂教學(xué)的有組織性是上好課的保證，這是大多數(shù)教師認(rèn)可的原則。
另外在讀孩子的畫時(shí)，更多的應(yīng)該問(wèn)問(wèn)孩子。你的畫里藏了什么秘密，這樣孩子會(huì)更容易向老師吐露心事。不過(guò)往往有時(shí)候，大人在看孩子的畫時(shí)，會(huì)搖頭說(shuō)：畫的是什么呀，亂七八糟！殊不知，兒童繪畫貴在無(wú)序、天然童真，去雕飾的浪漫稚拙，而且個(gè)性鮮明，想象力豐富。有的孩子喜歡色彩，有的孩子畫畫喜歡用線條。還有的孩子只喜歡畫抽象的形狀。所以對(duì)于兒童畫的批改、評(píng)價(jià)應(yīng)該有多重的標(biāo)準(zhǔn)，要善于發(fā)現(xiàn)兒童畫中閃光的東西。
極限變形是新的，兒童是新的，在教學(xué)中肯定會(huì)有更多的新問(wèn)題新現(xiàn)象新思路值得我們?nèi)ニ伎?，這確實(shí)是十分有意思的事情。我認(rèn)為老師肯定孩子滿足，樹立自信心、自尊感需要學(xué)習(xí)再肯定、再滿足渴望學(xué)習(xí)更新的有難度的東西。美術(shù)特色教學(xué)評(píng)價(jià)是美術(shù)教育的重要組成部分，科學(xué)全面的美術(shù)教學(xué)評(píng)價(jià)不僅幫助教師掌握學(xué)生心智及創(chuàng)造力的成長(zhǎng)情況，及時(shí)給予學(xué)生啟發(fā)和幫助；而且使教師明確學(xué)生表現(xiàn)自我時(shí)的需要并給與激勵(lì)和支持。通過(guò)意象繪畫的美術(shù)教學(xué)活動(dòng)去喚醒他們對(duì)生活的感受，引導(dǎo)他們用基礎(chǔ)的藝術(shù)形式去表現(xiàn)他們內(nèi)心的情感，陶冶情操，提高審美能力，達(dá)到認(rèn)識(shí)、操作、情感、創(chuàng)造的整合的道路。
極限課件【篇5】
一、教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與能力目標(biāo)
①使學(xué)生理解數(shù)列極限的概念和描述性定義。
②使學(xué)生會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，了解數(shù)列極限的“e-N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數(shù)列的極限。
③通過(guò)觀察運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程，歸納總結(jié)數(shù)列與其極限的特定關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力和抽象思維能力。
2.過(guò)程與方法目標(biāo)
培養(yǎng)學(xué)生的極限的思想方法和獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力。
3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)
使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。
二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念和定義。
教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列極限的“ε―N”定義的理解。
三、教學(xué)對(duì)象分析
這節(jié)課是數(shù)列極限的第一節(jié)課，足學(xué)生學(xué)習(xí)極限的入門課，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗(yàn)型抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡階段，在《立體幾何》內(nèi)容求球的表面積和體積時(shí)對(duì)極限思想已有接觸，而學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主要接觸的是關(guān)于“有限”的問(wèn)題，很少涉及“無(wú)限”的問(wèn)題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導(dǎo)他們作出描述性定義“當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)an無(wú)限趨近于常數(shù)A，也就是an與A的差的絕對(duì)值無(wú)限趨近于0”，并能用這個(gè)定義判斷一些簡(jiǎn)單數(shù)列的極限。但要使他們?cè)谝还?jié)課內(nèi)掌握“ε-N”語(yǔ)言求極限要求過(guò)高。因此不宜講得太難，能夠通過(guò)具體的幾個(gè)例子，歸納研究一些簡(jiǎn)單的數(shù)列的極限。使學(xué)生理解極限的基本概念，認(rèn)識(shí)什么叫做數(shù)列的極限以及數(shù)列極限的定義即可。
四、教學(xué)策略及教法設(shè)計(jì)
本課是采用啟發(fā)式講授教學(xué)法，通過(guò)多媒體課件演示及學(xué)生討論的方法進(jìn)行教學(xué)。通過(guò)學(xué)生比較熟悉的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題入手，引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。然后通過(guò)具體的兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，運(yùn)用多媒體課件演示向?qū)W生展示了數(shù)列中的各項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增大，無(wú)限地趨向于某個(gè)常數(shù)的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上討論總結(jié)出這兩個(gè)數(shù)列的特征，從而得出數(shù)列極限的一個(gè)描述性定義。再在教師的引導(dǎo)下分析數(shù)列極限的各種不同情況。從而對(duì)數(shù)列極限有了直觀上的認(rèn)識(shí)，接著讓學(xué)生根據(jù)數(shù)列中各項(xiàng)的情況判斷一些簡(jiǎn)單的數(shù)列的極限。從而達(dá)到深化定義的效果。最后進(jìn)行練習(xí)鞏固，通過(guò)這樣的一個(gè)完整的教學(xué)過(guò)程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學(xué)生逐步地了解極限這個(gè)新的概念，為下節(jié)課的極限的運(yùn)算及應(yīng)用做準(zhǔn)備，為以后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)打下基礎(chǔ)。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中注意突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的要求。
五、教學(xué)過(guò)程
1.創(chuàng)設(shè)情境
課件展示創(chuàng)設(shè)情境動(dòng)畫。
今天我們將要學(xué)習(xí)一個(gè)很重要的新的知識(shí)。
情境
1、我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立“割圓術(shù)”，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。
情境
2、我國(guó)古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過(guò)一句話：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。也就是說(shuō)拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來(lái)再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之???如此下去，無(wú)限次地切，每次都切一半，問(wèn)是否會(huì)切完?
大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來(lái)的少了一半，也就是說(shuō)木棒的長(zhǎng)度越來(lái)越短，但永遠(yuǎn)不會(huì)變成零。從而引出極限的概念。
2.定義探究
展示定義探索(一)動(dòng)畫演示。
問(wèn)題1：請(qǐng)觀察以下無(wú)窮數(shù)列，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a，I的變化趨勢(shì)有什么特點(diǎn)?
(1)1/2,2/3,3/4,?n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n??
問(wèn)題2：觀察課件演示，請(qǐng)分析以上兩個(gè)數(shù)列隨項(xiàng)數(shù)n的增大項(xiàng)有那些特點(diǎn)?
師生一起歸納總結(jié)出以下結(jié)論：數(shù)列(1)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，項(xiàng)無(wú)限趨近于1；數(shù)列(2)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，項(xiàng)無(wú)限趨近于1。
那么就把1叫數(shù)列(1)的極限，1叫數(shù)列(2)的極限。這兩個(gè)數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項(xiàng)數(shù)n的無(wú)限增大，項(xiàng)無(wú)限趨近于某一確定常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的極限。
那么，什么叫數(shù)列的極限呢?對(duì)于無(wú)窮數(shù)列an，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨向于某一個(gè)常數(shù)A，則稱A是數(shù)列an的極限。
提出問(wèn)題3：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定量描述呢?怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述上述數(shù)列的變化趨勢(shì)?
展示定義探索(二)動(dòng)畫演示，師生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離越小，項(xiàng)與1越趨近，因此可以借助兩點(diǎn)間距離無(wú)限小的方式來(lái)描述項(xiàng)無(wú)限趨近常數(shù)。無(wú)論預(yù)先指定多么小的正數(shù)e，如取e=O-1，總能在數(shù)列中找到一項(xiàng)am，使得an項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值都小于ε，若取￡=0。0001，則第6項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值都小于ε，即1是數(shù)列(1)的極限。最后，師生共同總結(jié)出數(shù)列的極限定義中應(yīng)包含哪量(用這些量來(lái)描述數(shù)列1的極限)。
數(shù)列的極限為：對(duì)于任意的ε>0，如果總存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，不等式｜an-A｜n的極限。
定義探索動(dòng)畫(一)：
課件可以實(shí)現(xiàn)任意輸入一個(gè)n值，可以計(jì)算出相應(yīng)的數(shù)列第n項(xiàng)的值，并且動(dòng)畫演示數(shù)列的變化過(guò)程。如圖1所示是課件運(yùn)行時(shí)的一個(gè)畫面。
定義探索動(dòng)畫(二)課件可以實(shí)現(xiàn)任意輸入一個(gè)n值，可以計(jì)算出相應(yīng)的數(shù)列第n項(xiàng)的值和I an一1I的值，并且動(dòng)畫演示出第an項(xiàng)和1之間的距離。如圖2所示是課件運(yùn)行時(shí)的一個(gè)畫面。
3.知識(shí)應(yīng)用
這里舉了3道例題，與學(xué)生一塊思考，一起分析作答。
例1.已知數(shù)列：
1,-1/2,1/3,-1/4,1/5??,(-1)n+11/n，??
(1)計(jì)算|an-0|(2)第幾項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與0的差的絕對(duì)值都小于0.017都小于任意指定的正數(shù)。
(3)確定這個(gè)數(shù)列的極限。
例2.已知數(shù)列：
已知數(shù)列：3/2,9/4,15/8??，2+(-1/2)n，??。
猜測(cè)這個(gè)數(shù)列有無(wú)極限，如果有，應(yīng)該是什么數(shù)?并求出從第幾項(xiàng)開始，各項(xiàng)與這個(gè)極限的差都小于0.1，從第幾項(xiàng)開始，各項(xiàng)與這個(gè)極限的差都小于0.017
例3.求常數(shù)數(shù)列一7，一7，一7，一7，??的極限。
5.知識(shí)小結(jié)
這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對(duì)數(shù)列極限有了初步的認(rèn)識(shí)。數(shù)列極限研究的是無(wú)限變化的趨勢(shì)，而通過(guò)對(duì)數(shù)列極限定義的探討，我們看到這一過(guò)程又是通過(guò)有限來(lái)把握的，有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變之間的辯證關(guān)系在這里得到了充分的體現(xiàn)。
課后練習(xí)：
(1)判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請(qǐng)求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。
(2)課本練習(xí)1，2。
6.探究性問(wèn)題
設(shè)計(jì)研究性學(xué)習(xí)的思考題。
提出問(wèn)題：
芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩(shī)》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠(yuǎn)也無(wú)法超過(guò)在他前面慢慢爬行的烏龜，因?yàn)楫?dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過(guò)這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無(wú)限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當(dāng)阿基里斯追到O.1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當(dāng)阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里??這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎?
這里是研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，以學(xué)生感興趣的悖論作為課后作業(yè)，鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的極限的興趣。同時(shí)也為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了課下交流與討論的情境，逐步培養(yǎng)學(xué)生相互合作、交流和討論的習(xí)慣，使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)質(zhì)，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的知識(shí)去解決生活中遇到的實(shí)際問(wèn)題的習(xí)慣。
極限課件【篇6】
活動(dòng)目標(biāo)：
1.嘗試用多種方法過(guò)不同的障礙物，從中體驗(yàn)挑戰(zhàn)活動(dòng)帶來(lái)的驚險(xiǎn)刺激和成功樂趣(重點(diǎn))。
2.幼兒樂于接受挑戰(zhàn)，能與他人合作有冒險(xiǎn)精神和創(chuàng)新能力。
3.通過(guò)這次游戲促進(jìn)幼兒身體的協(xié)調(diào)性和靈活性。
4.考驗(yàn)小朋友們的反應(yīng)能力，鍛煉他們的個(gè)人能力。
5.培養(yǎng)良好的衛(wèi)生習(xí)慣。
活動(dòng)準(zhǔn)備：
墊子小凳子(紅外線)
活動(dòng)過(guò)程：
一：開始部分：放音樂，老師和幼兒一起做熱身活動(dòng)
二：基本部分
1、放音樂兔子舞，讓幼兒和老師一起做律動(dòng)。
2、老師告訴幼兒做極限爬行運(yùn)動(dòng)
(1)先讓女孩子平躺在墊子上(做木頭人，雙手貼在腿邊)，男孩子從女孩子身上爬(老師師范，手先過(guò)去，再把腿抬過(guò)去)。
(2)讓女孩子拱起身子來(lái)做山洞狀，讓男孩子爬過(guò)去。
(3)讓男孩平躺或拱起身，女孩子爬過(guò)去。
3、老師發(fā)給幼兒每人兩個(gè)紅色圓圈，讓幼兒貼在身上準(zhǔn)備游戲沖破敵陣(注意一定不要碰到紅外線，否則能量會(huì)減少)最后誰(shuí)剩的能力量多就獲勝。
規(guī)則：三個(gè)孩子平躺，三個(gè)孩子拱起身，讓其他幼兒爬過(guò)三個(gè)平躺的孩子，爬過(guò)有紅外線的地方，快思老師.教案網(wǎng)出處在爬過(guò)拱起身的孩子，到達(dá)終點(diǎn)(記錄男孩和女孩剩下能量的多少)。
4、換另一組幼兒進(jìn)行游戲(交替練習(xí))，記錄剩下的能量多少。
三：活動(dòng)延伸
創(chuàng)設(shè)小雪人情境，聽老師口令做放松運(yùn)動(dòng)，結(jié)束活動(dòng)
極限課件【篇7】
數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會(huì)用“”定義證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限。
2.掌握三個(gè)最基本的極限和數(shù)列極限的運(yùn)算法則的運(yùn)用。
3.理解無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念。
4.培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算能力，提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)
題的能力。
教學(xué)過(guò)程：
問(wèn)題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？
數(shù)列極限的定義：對(duì)于數(shù)列{an},如果存在一個(gè)常數(shù)A，無(wú)論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)aN,使得這一項(xiàng)后的所有項(xiàng)與A的差的絕對(duì)值小于，（即當(dāng)n>N時(shí)，記
時(shí)，an趨近于A的無(wú)限性，即趨近程度的無(wú)（1）的任意性刻劃了當(dāng)
限性（要有多近有多近）。
（2）N的存在性證明了這一無(wú)限趨近的可能性。
問(wèn)題3：“
問(wèn)題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，
因?yàn)镹時(shí)，an對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在區(qū)間（A-
問(wèn)題5：利用“，A+）內(nèi)。”定義來(lái)證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ N時(shí)，立）。
問(wèn)題6
：無(wú)窮常數(shù)數(shù)列有無(wú)極限？數(shù)列呢？數(shù)列
（
三個(gè)最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（
問(wèn)題7
：若=A，=B，則（）=？，（）=
？，=
？，=？。數(shù)列極限的運(yùn)算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。
即如果兩個(gè)數(shù)列都有極限，那么這兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項(xiàng)作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)
問(wèn)題8：（，）
=
++
+=0對(duì)嗎？ 運(yùn)算法則中的只能推廣到有限個(gè)的情形。
問(wèn)題9：無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)和s是任何定義的？ s=,其中為無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)和，特別地，對(duì)無(wú)窮等比數(shù)列（
．用極限定義證明：
例2．求下列各式的值
（2）[（）=，]
（2）（）
例3
．已知例4
．計(jì)算：
（++）=0，求實(shí)數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為
小結(jié)：本節(jié)課復(fù)習(xí)了數(shù)列極限的概念，運(yùn)算法則，三個(gè)最基本的極限，無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念，以及它們的運(yùn)用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，利用運(yùn)算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無(wú)窮數(shù)列各項(xiàng)和。
極限課件【篇8】
教材簡(jiǎn)解
活動(dòng)設(shè)計(jì)的靈感來(lái)源于一個(gè)繪本，雖然在這個(gè)故事中沒有一個(gè)文字，但是兩個(gè)小木偶變化出生動(dòng)的各種造型和場(chǎng)景，以及一環(huán)扣一環(huán)的前后連貫的故事情節(jié)，讓孩子深深愛上這個(gè)繪本。大班幼兒已經(jīng)對(duì)圖形組合積累了一定經(jīng)驗(yàn),結(jié)合大班幼兒年齡特點(diǎn)和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,根據(jù)繪本《干變?nèi)f化》設(shè)計(jì)了這一活動(dòng),希望能引導(dǎo)幼兒開拓思路,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。
以小見大，創(chuàng)意無(wú)限
一、情境內(nèi)容小故事大邏輯
《千變?nèi)f化》這個(gè)繪本最主要的特質(zhì)就是在千變?nèi)f化中體現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣的前后邏輯性，不僅是一個(gè)充滿想象和創(chuàng)造的美術(shù)活動(dòng)素材，還可以作為數(shù)學(xué)活動(dòng)素材，讓孩子體驗(yàn)在拼搭中如何組合這些圖形積木，并感知整體與部分的關(guān)系。故事情境中，每一個(gè)畫面都是有前后邏輯關(guān)系的，活動(dòng)設(shè)計(jì)中每一個(gè)問(wèn)題設(shè)置的情境都緊緊圍繞這關(guān)系和邏輯，讓幼兒進(jìn)一步理解故事的前因后果，為接下來(lái)的創(chuàng)造拓展合理的想象空間。
二、操作材料小材料大功用
活動(dòng)的操作材料就是一盒積木，小木偶就是不斷地用這盒積木變化拼搭了各種各樣的造型：房子消防車輪船卡車火車新房子積木的靈活運(yùn)用和反復(fù)操作變化，讓孩子們有更過(guò)的奇思妙想。一盒小小的積木被挖掘出多種功能，不僅成為孩子欣賞的素材，也是孩子樂此不彼、愛不釋手的心愛之物。
三、幼兒作品小照片大創(chuàng)作
面對(duì)一盒可以反復(fù)拆卸的積木，如何讓孩子們的作品得到呈現(xiàn)呢?我想到了時(shí)下流行的數(shù)碼產(chǎn)品相機(jī)(手機(jī))，在幼兒完成創(chuàng)作之后，用相機(jī)拍下來(lái)，及時(shí)傳進(jìn)電腦，利用電視機(jī)在屏幕上呈現(xiàn)出來(lái)，既清晰又滿足孩子展示作品的愿望。通過(guò)小游戲，讓幼兒用簡(jiǎn)明概況的短語(yǔ)來(lái)說(shuō)出自己作品的名稱，大家一起參評(píng)，選出新穎獨(dú)特的續(xù)集新故事內(nèi)容;活動(dòng)結(jié)束后教師可以將電腦里的作品打印成照片，為后續(xù)的排圖講述的欣賞素材。
活動(dòng)目標(biāo)
1.感知不同圖形的組合變化，能創(chuàng)造出新的圖像。
2.能有目的地進(jìn)行想象，體驗(yàn)探索圖形組合無(wú)限創(chuàng)意的干變?nèi)f化的快樂。
活動(dòng)重難點(diǎn)
感知不同圖形的組合變化，能創(chuàng)造出新的圖像。
活動(dòng)準(zhǔn)備
1.幼兒有拼搭積木的經(jīng)驗(yàn)。
2.幻燈片,積木(幼兒每人一份)、米色卡紙、彩色水筆。
活動(dòng)過(guò)程
一、激趣導(dǎo)入認(rèn)識(shí)紅紅和藍(lán)藍(lán)
師:今天我請(qǐng)來(lái)了兩位朋友:紅紅和藍(lán)藍(lán),他們來(lái)自積木王國(guó)。在積木王國(guó)里,任何東西都是用各種各樣的積木變出來(lái)的。讓我們?nèi)タ纯窗?
師(呈現(xiàn)各種形狀的積木):你看到了什么形狀的積木?
師:生活中有什么東西的形狀跟它們是很像的?
師(小結(jié)):生活中的很多東西都跟這些積木的形狀很像。
二、回憶故事再現(xiàn)無(wú)限創(chuàng)意的圖片
三、引發(fā)創(chuàng)作討論無(wú)限創(chuàng)意的方法
師:把不同形狀的積木合在一起還能變出更多的東西呢。紅紅和藍(lán)藍(lán)今天要帶著大家一起玩一個(gè)名叫干變?nèi)f化的游戲。
師:什么叫千變?nèi)f化?
師:一種東西能夠變化出很多很多樣子,數(shù)都數(shù)不過(guò)來(lái),這就叫千變?nèi)f化。
1.變房子。
師:紅紅和藍(lán)藍(lán)會(huì)把這些積木合在一起變出什么呢?(鼓勵(lì)幼兒大膽想象和表達(dá)。)
師:原來(lái)他們用積木變出了一幢房子?？匆豢?房子是怎么變出來(lái)的。(引導(dǎo)幼兒發(fā)現(xiàn)房子的不同部分分別是用什么形狀的積木變出來(lái)的。)
師(小結(jié)):紅紅和藍(lán)藍(lán)把各種各樣的積木合在一起變出了一棟房子。仔細(xì)看一看,三角形積木變成了屋頂,拱形積木變成了門窗真好看啊!
2.變消防車。
師:意想不到的事情發(fā)生了,房子著火了,怎么辦?(鼓勵(lì)幼兒大膽表述生活經(jīng)驗(yàn)。)
師:紅紅和藍(lán)藍(lán)會(huì)用積木變出什么來(lái)滅火呢?
師:紅紅和藍(lán)藍(lán)用積木變出了什么?像不像?哪里像?
師(小結(jié)):紅紅和藍(lán)藍(lán)把不同形狀的積木合在一起變出了消防車。長(zhǎng)方形積木變成梯子,半圓形積木變成車燈和方向盤嘩啦啦,消防車?yán)锏乃芸炀桶汛蠡饟錅缌恕?BR> 3.變輪船。
師:仔細(xì)看看,發(fā)生什么事情了?
師:猜猜紅紅和藍(lán)藍(lán)又會(huì)把積木變成什么呢?
師:你知道紅紅和藍(lán)藍(lán)把積木變成了什么嗎?你是怎么看出來(lái)的?
師(小結(jié)):消防車?yán)锪鞒龅乃絹?lái)越多,都漲大水了。紅紅和藍(lán)藍(lán)立刻用積木變出了大輪船。.!來(lái)源:屈,老.師教案網(wǎng),長(zhǎng)方形積木變成桅桿,半圓形積木變成椅子有了大輪船,水再多也不怕了。
四、幼兒拼搭表現(xiàn)無(wú)限創(chuàng)意的情景
師:開著大輪船到了岸邊,紅紅和藍(lán)藍(lán)還想到更遠(yuǎn)的地方去,他們需要交通工具,你有辦法幫幫他們嗎?今天我也給你們準(zhǔn)備了各種各樣形狀的積木,請(qǐng)你先想一想,可以變什么交通工具,然后看一看哪些形狀合在一起可以變出你想要的交通工具。抓緊時(shí)間動(dòng)手試一試,過(guò)一會(huì)兒我們一起來(lái)說(shuō)一說(shuō)你變的交通工具,好嗎?(幼兒操作。)
四、交流分享欣賞無(wú)限創(chuàng)意的作品
師:誰(shuí)愿意來(lái)介紹你用積木變出了什么交通工具?
師:大家來(lái)說(shuō)說(shuō)變得像不像?哪里像?
師:這是大家用不同形狀的積木組合在一起變成的交通工具,有這么多哦。你們喜歡嗎?你最喜歡哪一個(gè)?你能猜出朋友變的是什么嗎?你是怎么看出來(lái)的?
師(小結(jié)):原來(lái),不同的積木可以干變?nèi)f化,有的轉(zhuǎn)個(gè)方向可以變,有的連在一起可以變,有的換個(gè)位置可以變。到底能變出多少東西呢,數(shù)也數(shù)不清。紅紅和藍(lán)藍(lán)看到你們變出這么多交通工具,別提有多高興了!他們說(shuō):謝謝小朋友。
五、延伸活動(dòng):
師:有了交通工具,紅紅和藍(lán)藍(lán)又要出發(fā)了。他們還會(huì)發(fā)生什么事情呢?這些積木還能變出什么來(lái)呢?等會(huì)兒你們?cè)偃^(qū)角里試試看好嗎?
活動(dòng)反思
在環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上,我力圖體現(xiàn)由易到難、層層深入的思路。
在活動(dòng)的第一環(huán)節(jié),我首先向幼兒介紹故事的兩位主人公紅紅和藍(lán)藍(lán),之所以取這樣的名字,是考慮到幼兒平日游戲所用的積木通常都會(huì)有鮮艷的顏色,用紅紅代表小女孩,藍(lán)藍(lán)代表小男孩,簡(jiǎn)單且形象,易于記憶。接著,我提出紅紅和藍(lán)藍(lán)會(huì)用積木做點(diǎn)什么呢這樣開放性的問(wèn)題,以利于幼兒在了解故事內(nèi)容前充分發(fā)揮想象力。此后,我出示各種形狀的積木,引導(dǎo)幼兒將其與日常生活中常見的物體形狀建立聯(lián)系,為幼兒利用積木變出各種東西奠定基礎(chǔ)。
在活動(dòng)的第二環(huán)節(jié),我首先幫助幼兒理解千變?nèi)f化的含義,使幼兒能在后面的操作活動(dòng)中利用積木進(jìn)行各種形式的變化創(chuàng)造。此后,我主要用圖片呈現(xiàn)情境,引導(dǎo)幼兒仔細(xì)觀察圖片,根據(jù)圖片提供的情境推測(cè)故事內(nèi)容并完整表達(dá),同時(shí)通過(guò)追問(wèn)了解幼兒相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)。在幼兒表達(dá)的基礎(chǔ)上,我在動(dòng)畫片段的輔助下完整講述故事內(nèi)容,以加深幼兒對(duì)故事內(nèi)容的理解。
在活動(dòng)的第三環(huán)節(jié),我在幼兒了解一些積木變換形式的基礎(chǔ)上,讓幼兒動(dòng)手操作,借助情境進(jìn)行想象拼搭,并嘗試完整表達(dá)自己的想法。
極限課件【篇9】
§３ 數(shù)列極限存在的條件
教學(xué)內(nèi)容：?jiǎn)握{(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則。
教學(xué)目的：使學(xué)生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。掌握并會(huì)證明單調(diào)有界定理，并會(huì)運(yùn)用它求某些收斂
數(shù)列的極限；初步理解Cauchy準(zhǔn)則在極限理論中的主要意義，并逐步會(huì)應(yīng)用Cauchy準(zhǔn)則判斷某些數(shù)列的斂散性。
教學(xué)重點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)有界定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)：相關(guān)定理的應(yīng)用。
教學(xué)方法：講練結(jié)合。
教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)。
? 引言
在研究比較復(fù)雜的極限問(wèn)題時(shí)，通常分兩步來(lái)解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問(wèn)題）；若有極限，再考慮如何計(jì)算些極限（極限值的計(jì)算問(wèn)題）。這是極限理論的兩基本問(wèn)題。
本節(jié)將重點(diǎn)討論極限的存在性問(wèn)題。為了確定某個(gè)數(shù)列是否有極限，當(dāng)然不可能將每一個(gè)實(shí)數(shù)依定義一一加以驗(yàn)證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來(lái)作出判斷。本節(jié)就來(lái)介紹兩個(gè)判斷數(shù)列收斂的方法。
一、單調(diào)數(shù)列：
定義 若數(shù)列?an?的各項(xiàng)滿足不等式an?an?1(a?an?1)，則稱?an?為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列． ?(?1)n??1?2例如：??為遞減數(shù)列；?n?為遞增數(shù)列；??不是單調(diào)數(shù)列。n?n???
二、單調(diào)有界定理：
考慮：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列一定收斂嗎？有界數(shù)列一定收斂嗎？以上兩個(gè)問(wèn)題答案都是否定的，如果數(shù)列對(duì)以上兩個(gè)條件都滿足呢？答案就成為肯定的了，即有如下定理：
定理2.9（單調(diào)有界定理）在實(shí)數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。
證明：不妨設(shè)?an?單調(diào)遞增有上界，由確界原理?an?有上確界a?sup?an?，下面證明liman?a.???0，n??
一方面，由上確界定義?aN??an?，使得a???aN，又由?an?的遞增性得，當(dāng)n?N時(shí)a???aN?an； 另一方面，由于a是?an?的一個(gè)上界，故對(duì)一切an，都有an?a?a??；
所以當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??，即an?a??，這就證得liman?a。n??
同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且為它的下確界。
例１ 設(shè)an?1?111????,n?1,2,?其中??2，證明數(shù)列?an?收斂。2?3?n?
證明：顯然數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，以下證明它有上界.事實(shí)上，an?1?111???? 22223n
?1?1111??1??11??1?????1??1???????????? 1?22?3(n?1)n?2??23??n?1n?
?2?1?2，n?1,2,? n
于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。
例２ 證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：
?? n個(gè)根號(hào)
解：記an?
顯然a1?2?2???2，易見數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明?an?有上界2.2?2，假設(shè)an?2，則有an?1?2?an?2?2?2，從而數(shù)列?an?有上界2.n??2于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。以下再求其極限，設(shè)liman?a，對(duì)等式an?1?2?an兩邊
2同時(shí)取極限得a?2?a，解之得a?2或a??1（舍去，由數(shù)列極限保不等式性知此數(shù)列極限非負(fù)），從而 lim2?2???2?2.n??
例３證明lim(1?)存在。n??1nn
分析：此數(shù)列各項(xiàng)變化趨勢(shì)如下
我們有理由猜測(cè)這個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，下面證明這個(gè)猜測(cè)是正確的。
證明：先建立一個(gè)不等式，設(shè)b?a?0，n?N?，則由
bn?1?an?1?(b?a)(bn?bn?1a?bn?2a2???ban?1?an)?(n?1)bn(b?a)得到不等式 an?1?bn?(n?1)a?nb?（＊）
以b?1?1111?1??a代入（＊）式，由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1 nn?1n?1n
n?1nn??11????????1??由此可知數(shù)列??1???為遞增數(shù)列； ??n???n???1??于是?1???n?1?
再以b?1?111?1?a代入（＊）式，同樣由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?)?，2n2n
2n2nn???1????4由此可知數(shù)列??1???為有界數(shù)列； ???n???1?1?1??于是1??1???1?????2n?2?2n?
n綜上由單調(diào)有界定理便知lim(1?)存在。n??n
n???1???注：數(shù)列??1???是收斂的，但它的極限目前沒有辦法求出，實(shí)際上它的極限是e（無(wú)理數(shù)），即有???n???
1lim(1?)n＝e，這是非常有用的結(jié)論，我們必須熟記，以后可以直接應(yīng)用。n??n
例4 求以下數(shù)列極限：
（1）lim(1?)；（2）lim(1?n??n??1nn1n1)；（3）lim(1?)2n.n??2nn
?n??1n1?? 解:(1)lim(1?)?lim??1???n??n??n???n?????11?； e
(2)lim(1?n????1n1?)?lim??1??n??2n2n????2n???e ??12
(3)lim(1?n??12n)n??1?n??lim??1????e2.n?????n???2
三、柯西收斂準(zhǔn)則：
１．引言：
單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實(shí)數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準(zhǔn)則。
２．Cauchy收斂準(zhǔn)則：
定理2.10（Cauchy收斂準(zhǔn)則）數(shù)列?an?收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n,m?N時(shí)有|an?am|??；或?qū)θ谓o的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當(dāng)n?N，及任一p?N?，有an?p?an??。
３．說(shuō)明：
(1)Cauchy收斂準(zhǔn)則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題。
(2)Cauchy收斂準(zhǔn)則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可以小于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?；蛘?，形象地說(shuō)，收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是“擠”在一起。
(3)Cauchy準(zhǔn)則把??N定義中an與a的之差換成an與am之差。其好處在于無(wú)需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。
(4)數(shù)列?an?發(fā)散的充分必要條件是：存在?0?0，對(duì)任意的N?N?，都可以找到n,m?N，使得an?am??0；存在?0?0，對(duì)任意的N?N?，都可以找到n?N，及p?N?，使得an?p?an??0.例5設(shè)an?111?2???n，證明數(shù)列?an?收斂。101010
證明：不妨設(shè)n?m，則
an?am?111?????m?1m?2n101010
1110m?1??1?n?m??1???????10????1?1?1??1?1 m?n?m?19?10?10?10mm1?10對(duì)任給的??0，存在N?
例6設(shè)an?1?
證明：??0??，對(duì)一切n?m?N有|an?am|??，由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列?an?收斂。11???，證明數(shù)列?an?發(fā)散。2n
an?p1，對(duì)任意的N?N?，任取n?N，及p?n，則有 211111111?an??????????(共n項(xiàng))?n????0 n?1n?22n2n2n2n2n2由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列?an?發(fā)散。