試卷說明： 表示矩陣 的轉(zhuǎn)置矩陣， 表示矩陣 的伴隨矩陣， 是單位矩陣，| |表示方陣 的行列式。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.排列53142的逆序數(shù)τ（53142）=（?。?BR> A.7 B.6
C.5 D.4
2.下列等式中正確的是（?。?BR> A. B.
C. D.
3.設(shè)k為常數(shù)，A為n階矩陣，則|kA|=（?。?BR> A.k|A| B.|k||A|
C. |A| D. |A|
4.設(shè)n階方陣A滿足 ，則必有（?。?BR> A. 不可逆 B. 可逆
C. 可逆 D.
5.設(shè) ， ， ，則關(guān)系式（?。?BR> 的矩陣表示形式是
A. B.
C. D.
6.若向量組（Ⅰ）： 可由向量組（Ⅱ）： 線性表示，則必有（?。?BR> A.秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B.秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）
C.r≤s D.r>s
7.設(shè) 是非齊次線性方程組 的兩個解，則下列向量中仍為方程組解的是（?。?BR> A. B.
C. D.
8.設(shè)A，B是同階正交矩陣，則下列命題錯誤的是（?。?BR> A. 也是正交矩陣 B. 也是正交矩陣
C. 也是正交矩陣 D. 也是正交矩陣
9.下列二次型中，秩為2的二次型是（?。?BR> A. B.
C. D.
10.已知矩陣 ，則二次型 （?。?BR> A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
11.已知A，B為n階矩陣， =2， =－3，則 =_________________.
12.已知 ，E是3階單位矩陣，則 ＝_________________.
13.若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量組 的一個線性無關(guān)組為_________________.
14.若向量組 線性無關(guān)，則t應(yīng)滿足條件_________________.
15.設(shè) 是方程組 的基礎(chǔ)解系，則向量組 的秩為_________________.
16.設(shè) ， ，則 的內(nèi)積（ ）＝________________.
17.設(shè)齊次線性方程組？＝ 的解空間的維數(shù)是2，則a＝______________.
18.若實(shí)二次型 正定，則t的取值范圍是_________________.
19.實(shí)二次型 的正慣性指數(shù)p＝_________________.
20.設(shè)A為n階方陣， ，若A有特征值λ，則 必有特征值_________________.
三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題6分，共48分）
21.計(jì)算行列式 .
22.設(shè)實(shí)數(shù) 滿足條件？＝ ，求 及 .
23.求向量組， ， ，的一個線性無關(guān)組，并把其余向量用該線性無關(guān)組表示。
24.給定齊次線性方程組
（1）當(dāng)λ滿足什么條件時，方程組的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量？
（2）當(dāng)λ＝1時，求方程組的通解。
25.設(shè)矩陣 ，求
26.設(shè)向量 和 都是方陣A的屬于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 .
27.設(shè)矩陣 ，求正交矩陣P，使 為對角矩陣。
28.設(shè)二次型 經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，求a，b的值。
四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
29.設(shè)A為3階實(shí)對稱矩陣，且 .證明： .
30.已知矩陣 可逆，證明線性方程組 無解。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.排列53142的逆序數(shù)τ（53142）=（?。?BR> A.7 B.6
C.5 D.4
2.下列等式中正確的是（?。?BR> A. B.
C. D.
3.設(shè)k為常數(shù)，A為n階矩陣，則|kA|=（?。?BR> A.k|A| B.|k||A|
C. |A| D. |A|
4.設(shè)n階方陣A滿足 ，則必有（?。?BR> A. 不可逆 B. 可逆
C. 可逆 D.
5.設(shè) ， ， ，則關(guān)系式（?。?BR> 的矩陣表示形式是
A. B.
C. D.
6.若向量組（Ⅰ）： 可由向量組（Ⅱ）： 線性表示，則必有（?。?BR> A.秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B.秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ）
C.r≤s D.r>s
7.設(shè) 是非齊次線性方程組 的兩個解，則下列向量中仍為方程組解的是（?。?BR> A. B.
C. D.
8.設(shè)A，B是同階正交矩陣，則下列命題錯誤的是（?。?BR> A. 也是正交矩陣 B. 也是正交矩陣
C. 也是正交矩陣 D. 也是正交矩陣
9.下列二次型中，秩為2的二次型是（?。?BR> A. B.
C. D.
10.已知矩陣 ，則二次型 （?。?BR> A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
11.已知A，B為n階矩陣， =2， =－3，則 =_________________.
12.已知 ，E是3階單位矩陣，則 ＝_________________.
13.若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量組 的一個線性無關(guān)組為_________________.
14.若向量組 線性無關(guān)，則t應(yīng)滿足條件_________________.
15.設(shè) 是方程組 的基礎(chǔ)解系，則向量組 的秩為_________________.
16.設(shè) ， ，則 的內(nèi)積（ ）＝________________.
17.設(shè)齊次線性方程組？＝ 的解空間的維數(shù)是2，則a＝______________.
18.若實(shí)二次型 正定，則t的取值范圍是_________________.
19.實(shí)二次型 的正慣性指數(shù)p＝_________________.
20.設(shè)A為n階方陣， ，若A有特征值λ，則 必有特征值_________________.
三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題6分，共48分）
21.計(jì)算行列式 .
22.設(shè)實(shí)數(shù) 滿足條件？＝ ，求 及 .
23.求向量組， ， ，的一個線性無關(guān)組，并把其余向量用該線性無關(guān)組表示。
24.給定齊次線性方程組
（1）當(dāng)λ滿足什么條件時，方程組的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量？
（2）當(dāng)λ＝1時，求方程組的通解。
25.設(shè)矩陣 ，求
26.設(shè)向量 和 都是方陣A的屬于特征值λ＝2的特征向量，又向量 ，求 .
27.設(shè)矩陣 ，求正交矩陣P，使 為對角矩陣。
28.設(shè)二次型 經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，求a，b的值。
四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
29.設(shè)A為3階實(shí)對稱矩陣，且 .證明： .
30.已知矩陣 可逆，證明線性方程組 無解。