說明：|A|表示方陣A的行列式
一、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確答案，并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每小題2分，共24分）
1.若A是（），則A必為方陣。
A. 分塊矩陣 B. 可逆矩陣
C. 轉(zhuǎn)置矩陣 D. 線性方程組的系數(shù)矩陣
2.設(shè)n階方陣A，且｜A｜≠0，則（A*）-1=（）。
A.A B.A* C. ｜A-1｜A-1 D.A
3.設(shè)向量組M為四維向量空間R4的一個基，則（）必成立。 A. M由四個向量組成
B. M由四維向量組成
C. M由四個線性無關(guān)的四維向量組成
D. M由四個線性相關(guān)的四維向量組成
4.已知β1=3α1-α2，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2為非零向量，則向量組β1，β2，β3的秩（）。
A. >3 B. <3
C. =3 D. =0
5.設(shè)向量α1=（3，0，-2）T，α2=（2，-1，-5）T，β=（1，-2，k）T，則k=（）時，β才能由α1，α2線性表示。 A. –2 B. –4
C. –6 D. -8
6.設(shè)n階方陣A，秩（A）=r A. 必有r個行向量線性無關(guān)
B. 任意r個行向量線性無關(guān)
C. 任意r個行向量都構(gòu)成無關(guān)組
D. 任意一個行向量都可由其他r個行向量線性表示
7.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，A為m×n矩陣，則必有（）。
A. m=n B. 秩（A）=m C. 秩（A）=n D. 秩（A） 8.設(shè)方陣A，下列說法正確的是（）。
A. 若A有n個不同的特征向量，則A可以對角化
B. 若A的特征值不完全相異，則A不能對角化
C. 若AT=A，則A可以對角化
D. 以上說法都不對
9.A為實對稱矩陣，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，則（x1，x2）=（）。
A. 1 B. –1
C. 0 D. 2
10.若（），則A∽B.
A. ｜A｜=｜B｜ B. 秩（A）=秩（B）
C. A與B有相同的特征多項式
D. n階矩陣A與B有相同的特征值，且n個特征值各不相同
11.正定二次型f（x1，x2，x3，x4）的矩陣為A，則（）必成立。
A. A的所有順序主子式為非負數(shù) B. A的所有特征值為非負數(shù)
C. A的所有順序主子式大于零 D. A的所有特征值互不相同
12.設(shè)A，B為n階矩陣，若（），則A與B合同。
A. 存在n階可逆矩陣P、Q，且PAQ=B
B. 存在n階可逆矩陣P，且P-1AP=B
C. 存在n階正交矩陣Q，且Q-1AQ=B
D. 存在n階方陣C、T，且CAT=B 二、填空題（每空2分，共24分）
1.行列式 =______.
2.設(shè)A= ，則AAT=______.
3.向量組α1=（1，1，1，1），α2=（0，1，1，1），α3=（0，0，1，1）的一個無關(guān)組是______.
4.非零n維向量α1，α2線性無關(guān)的充要條件是______.
5.三維向量空間R3的一個基為（1，2，3），（-4，5，6），（7，-8，9），R3中向量α在該基下的坐標(biāo)為（-2，0，1），則α=______.
6.線性方程組Ax=0解向量的一個無關(guān)組為x1，x2，…，xt，則Ax=0的解向量x=_____. 7.設(shè)m×n矩陣A，且秩（A）=r，D為A的一個r+1階子式，則D=______.
8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，則 =______.
9.矩陣A= 的所有特征值為________.
10.二次型f（x1，x2，x3）的矩陣A有三個特征值1，-1，2，該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為______.
11.二次型f（x1，x2，x3）=2x12-x22+x32，該二次型的負慣性指數(shù)等于______.
12.與矩陣A= 對應(yīng)的二次型是______.
三、計算題（每小題7分，共42分）
1.已知 X= ，求矩陣X.
2.計算行列式
3.t取何值時，向量組α1=（1，2，3），α2=（2，2，2），α3=（3，0，t）線性相關(guān)，寫出一個線性相關(guān)的關(guān)系式。
4.方程組 是否有非零解若有，求其結(jié)構(gòu)解。
5.已知二階方陣A的特征值為4，-2，其對應(yīng)的特征向量分別為（1，1）T，（1，-5）T，求矩陣A.
6.求一個正交變換，把f（x1，x2）=2x12+2x1x2+2x22化成標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷f（x1，x2）是否正定。
四、證明題（每小題5分，共10分）
1.若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A-1也是對稱矩陣。
2.設(shè)n階矩陣A，且A2=E，試證A的特征值只能是1或-1.
一、單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確答案，并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每小題2分，共24分）
1.若A是（），則A必為方陣。
A. 分塊矩陣 B. 可逆矩陣
C. 轉(zhuǎn)置矩陣 D. 線性方程組的系數(shù)矩陣
2.設(shè)n階方陣A，且｜A｜≠0，則（A*）-1=（）。
A.A B.A* C. ｜A-1｜A-1 D.A
3.設(shè)向量組M為四維向量空間R4的一個基，則（）必成立。 A. M由四個向量組成
B. M由四維向量組成
C. M由四個線性無關(guān)的四維向量組成
D. M由四個線性相關(guān)的四維向量組成
4.已知β1=3α1-α2，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2為非零向量，則向量組β1，β2，β3的秩（）。
A. >3 B. <3
C. =3 D. =0
5.設(shè)向量α1=（3，0，-2）T，α2=（2，-1，-5）T，β=（1，-2，k）T，則k=（）時，β才能由α1，α2線性表示。 A. –2 B. –4
C. –6 D. -8
6.設(shè)n階方陣A，秩（A）=r
B. 任意r個行向量線性無關(guān)
C. 任意r個行向量都構(gòu)成無關(guān)組
D. 任意一個行向量都可由其他r個行向量線性表示
7.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有解，A為m×n矩陣，則必有（）。
A. m=n B. 秩（A）=m C. 秩（A）=n D. 秩（A）
A. 若A有n個不同的特征向量，則A可以對角化
B. 若A的特征值不完全相異，則A不能對角化
C. 若AT=A，則A可以對角化
D. 以上說法都不對
9.A為實對稱矩陣，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，則（x1，x2）=（）。
A. 1 B. –1
C. 0 D. 2
10.若（），則A∽B.
A. ｜A｜=｜B｜ B. 秩（A）=秩（B）
C. A與B有相同的特征多項式
D. n階矩陣A與B有相同的特征值，且n個特征值各不相同
11.正定二次型f（x1，x2，x3，x4）的矩陣為A，則（）必成立。
A. A的所有順序主子式為非負數(shù) B. A的所有特征值為非負數(shù)
C. A的所有順序主子式大于零 D. A的所有特征值互不相同
12.設(shè)A，B為n階矩陣，若（），則A與B合同。
A. 存在n階可逆矩陣P、Q，且PAQ=B
B. 存在n階可逆矩陣P，且P-1AP=B
C. 存在n階正交矩陣Q，且Q-1AQ=B
D. 存在n階方陣C、T，且CAT=B 二、填空題（每空2分，共24分）
1.行列式 =______.
2.設(shè)A= ，則AAT=______.
3.向量組α1=（1，1，1，1），α2=（0，1，1，1），α3=（0，0，1，1）的一個無關(guān)組是______.
4.非零n維向量α1，α2線性無關(guān)的充要條件是______.
5.三維向量空間R3的一個基為（1，2，3），（-4，5，6），（7，-8，9），R3中向量α在該基下的坐標(biāo)為（-2，0，1），則α=______.
6.線性方程組Ax=0解向量的一個無關(guān)組為x1，x2，…，xt，則Ax=0的解向量x=_____. 7.設(shè)m×n矩陣A，且秩（A）=r，D為A的一個r+1階子式，則D=______.
8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，則 =______.
9.矩陣A= 的所有特征值為________.
10.二次型f（x1，x2，x3）的矩陣A有三個特征值1，-1，2，該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為______.
11.二次型f（x1，x2，x3）=2x12-x22+x32，該二次型的負慣性指數(shù)等于______.
12.與矩陣A= 對應(yīng)的二次型是______.
三、計算題（每小題7分，共42分）
1.已知 X= ，求矩陣X.
2.計算行列式
3.t取何值時，向量組α1=（1，2，3），α2=（2，2，2），α3=（3，0，t）線性相關(guān)，寫出一個線性相關(guān)的關(guān)系式。
4.方程組 是否有非零解若有，求其結(jié)構(gòu)解。
5.已知二階方陣A的特征值為4，-2，其對應(yīng)的特征向量分別為（1，1）T，（1，-5）T，求矩陣A.
6.求一個正交變換，把f（x1，x2）=2x12+2x1x2+2x22化成標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷f（x1，x2）是否正定。
四、證明題（每小題5分，共10分）
1.若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A-1也是對稱矩陣。
2.設(shè)n階矩陣A，且A2=E，試證A的特征值只能是1或-1.