內(nèi)容概述
均值不等式，即和為定值的兩數(shù)的乘積隨著兩數(shù)之差的增大而減?。鞣N求值或最小值的問(wèn)題，解題時(shí)宜首先考慮起主要作用的量，如較高數(shù)位上的數(shù)值，有時(shí)局部調(diào)整和枚舉各種可能情形也是必要的．
典型問(wèn)題
2．有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過(guò)60塊．那么這4袋糖塊的總和最少有多少塊?
【分析與解】 方法一：設(shè)這4袋為A、B、C、D，為使4袋糖塊的總和最少，則每袋糖應(yīng)盡量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21塊糖．
則當(dāng)A、B、D三袋糖在一起時(shí)，為了滿足條件，D袋糖不少于21塊，驗(yàn)證A、B、C、D這4袋糖依次有20，20，2l，2l時(shí)滿足條件，且總和最少．
這4袋糖的總和為20+20+21+21=82塊．
方法二：設(shè)這4袋糖依次有a、b、c、d塊糖，
有 ，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81 ,因?yàn)閍+b+c+d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是82．
評(píng)注：不能把不等式列為 ，如果這樣將①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因?yàn)閍、b、c、d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是81.至于為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況．如何避免,希望大家自己解決.
4．用1，3，5，7，9這5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)ABC和一個(gè)兩位數(shù)DE，再用O，2，4，6，8這5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)FGH和一個(gè)兩位數(shù)IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的計(jì)算結(jié)果的值．
【分析與解】 為了使ABC×DE-FGH×IJ盡可能的大，ABC×DE盡可能的大，F(xiàn)GH×IJ盡可能的?。?BR> 則ABC×DE時(shí)，兩位數(shù)和三位數(shù)的位都，所以為7、9，然后為3、5，最后三位數(shù)的個(gè)位為1，并且還需這兩個(gè)數(shù)盡可能的接近，所以這兩個(gè)數(shù)為751，93．
則FGH×IJ最小時(shí)，位應(yīng)盡可能的小，并且兩個(gè)數(shù)的差要盡可能的大，應(yīng)為468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的值為751×93-468×20=60483．
評(píng)注：類似的還可以算出FGH×IJ-ABC×DE的值為640×82-379×15=46795．
6．將6，7，8，9，10按任意次序?qū)懺谝粓A周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得5個(gè)乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少?
【分析與解】 我們從對(duì)結(jié)果影響的數(shù)上人手，然后考慮次大的，所以我
們首先考慮10，為了讓和數(shù)最小，10兩邊的數(shù)必須為6和7．
然后考慮9，9顯然只能放到圖中的位置，最后是8，8的位置有兩個(gè)位置可放，而且也不能立即得到哪個(gè)位置的乘積和最小，所以我們兩種情況都計(jì)算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
所以，最小值為312．
8．一個(gè)兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問(wèn)余數(shù)是多少?
【分析與解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為 =lOa+b，它們的數(shù)字和為a+b,因?yàn)閘Oa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，
設(shè)的余數(shù)為k，有9a≡k(mod a+b)．
特殊的當(dāng)a+b為18時(shí)，有9a=k+18m，因?yàn)?a、18m均是9的倍數(shù)，那么k也應(yīng)是9的倍數(shù)且小于除數(shù)18，即0，9，也就是說(shuō)余數(shù)為9；
所以當(dāng)除數(shù)a+b不為18，即為17時(shí)，
:余數(shù)為16，除數(shù)a+b只能是17，此時(shí)有9a=15+17m，有 (t為可取0的自然數(shù))，而a是一位數(shù)，顯然不滿足；
：余數(shù)其次為15，除數(shù)a+b只能是17或16，
除數(shù)a+b=17時(shí)，有9a=15+17m,有 ,(t為可取0的自然數(shù))，a是一位數(shù)，顯然也不滿足；
除數(shù)a+b=16時(shí)，有9a=15+16m,有 (t為可取0的自然數(shù))，因?yàn)閍是一位數(shù)，所以a只能取7，對(duì)應(yīng)b為16-7=9，滿足；
所以的余數(shù)為15，此時(shí)有兩位數(shù)79÷(7+9)=4……15．
10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)被減數(shù)、減數(shù)、差都是三位數(shù)的正確的減法算式，那么這個(gè)算式的差是多少?
【分析與解】 考慮到對(duì)差的影響大小，我們先考慮百位數(shù)，為了讓差，被減數(shù)的百位為9，減數(shù)的百位為1，如果差的百位為8，那算式就是如下形式： 剩下的6個(gè)數(shù)字為2、3、4、5、6、7，因?yàn)榘傥粩?shù)字為8，所以我們可以肯定被減數(shù)的十位數(shù)字比減數(shù)要大，而且至少大2，因?yàn)?已經(jīng)出現(xiàn)在算式中了，算式的可能的形式如下：
得數(shù)的十位只可能是減數(shù)和被減數(shù)的十位數(shù)字之差，或者小1，可能的算式形式如下：
但這時(shí)剩下的數(shù)都無(wú)法使算式成立．再考慮差的百位數(shù)字為7的情況，這時(shí)我們可以肯定減數(shù)的十位數(shù)比被減數(shù)要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8，因此，算式可能的形式為：
再考慮剩下的三個(gè)數(shù)字，可以找到如下幾個(gè)算式：
，所以差為784．
12. 4個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)的分子都是1，它們的分母有2個(gè)是奇數(shù)、2個(gè)是偶數(shù)，而且2個(gè)分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)之和與2個(gè)分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)之和相等．這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明希望這樣的2個(gè)偶數(shù)之和盡量地小，那么這個(gè)和的最小可能值是多少?
【分析與解】 設(shè)這四個(gè)分?jǐn)?shù)為上 、 、 、 (其中m、n、a、b均為非零自然數(shù))
有 + = + ，則有 - = - ，
我們從m=1,b=1開始試驗(yàn)：
= + = + ， = + = + ，
= + = + ， = + = + ，
= + = + ，﹍
我們發(fā)現(xiàn)， 和 分解后具有相同的一項(xiàng) ，而且另外兩項(xiàng)的分母是滿足一奇一偶，滿足題中條件：
+ = + ，所以最小的兩個(gè)偶數(shù)和為6+10=16．
14.有13個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是100．問(wèn)其中偶數(shù)最多有多少個(gè)?最少有多少個(gè)？
【分析與解】 13個(gè)整數(shù)的和為100，即偶數(shù)，那么奇數(shù)個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè)，則奇數(shù)最少為2個(gè)，最多為12個(gè)；對(duì)應(yīng)的偶數(shù)最多有11個(gè)，最少有1個(gè)．
但是我們必須驗(yàn)證看是否有實(shí)例符合．
當(dāng)有11個(gè)不同的偶數(shù)，2個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，11個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3=4．它們的和最小為132+4=136，顯然不滿足：
當(dāng)有9個(gè)不同的偶數(shù)，4個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，9個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16，還是大于100，仍然不滿足；
當(dāng)有7個(gè)不同的偶數(shù)，6個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，7個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14=56，6個(gè)不同的奇數(shù)和為1+3+5+7+9+11：36，滿足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即為100．
類似的可知，最少有5個(gè)不同的偶數(shù)，8個(gè)不同的奇數(shù)，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15滿足．
所以，滿足題意的13個(gè)數(shù)中，偶數(shù)最多有7個(gè)，最少有5個(gè)．
均值不等式，即和為定值的兩數(shù)的乘積隨著兩數(shù)之差的增大而減?。鞣N求值或最小值的問(wèn)題，解題時(shí)宜首先考慮起主要作用的量，如較高數(shù)位上的數(shù)值，有時(shí)局部調(diào)整和枚舉各種可能情形也是必要的．
典型問(wèn)題
2．有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過(guò)60塊．那么這4袋糖塊的總和最少有多少塊?
【分析與解】 方法一：設(shè)這4袋為A、B、C、D，為使4袋糖塊的總和最少，則每袋糖應(yīng)盡量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21塊糖．
則當(dāng)A、B、D三袋糖在一起時(shí)，為了滿足條件，D袋糖不少于21塊，驗(yàn)證A、B、C、D這4袋糖依次有20，20，2l，2l時(shí)滿足條件，且總和最少．
這4袋糖的總和為20+20+21+21=82塊．
方法二：設(shè)這4袋糖依次有a、b、c、d塊糖，
有 ，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81 ,因?yàn)閍+b+c+d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是82．
評(píng)注：不能把不等式列為 ，如果這樣將①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因?yàn)閍、b、c、d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是81.至于為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況．如何避免,希望大家自己解決.
4．用1，3，5，7，9這5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)ABC和一個(gè)兩位數(shù)DE，再用O，2，4，6，8這5個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)FGH和一個(gè)兩位數(shù)IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的計(jì)算結(jié)果的值．
【分析與解】 為了使ABC×DE-FGH×IJ盡可能的大，ABC×DE盡可能的大，F(xiàn)GH×IJ盡可能的?。?BR> 則ABC×DE時(shí)，兩位數(shù)和三位數(shù)的位都，所以為7、9，然后為3、5，最后三位數(shù)的個(gè)位為1，并且還需這兩個(gè)數(shù)盡可能的接近，所以這兩個(gè)數(shù)為751，93．
則FGH×IJ最小時(shí)，位應(yīng)盡可能的小，并且兩個(gè)數(shù)的差要盡可能的大，應(yīng)為468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的值為751×93-468×20=60483．
評(píng)注：類似的還可以算出FGH×IJ-ABC×DE的值為640×82-379×15=46795．
6．將6，7，8，9，10按任意次序?qū)懺谝粓A周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得5個(gè)乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少?
【分析與解】 我們從對(duì)結(jié)果影響的數(shù)上人手，然后考慮次大的，所以我
們首先考慮10，為了讓和數(shù)最小，10兩邊的數(shù)必須為6和7．
然后考慮9，9顯然只能放到圖中的位置，最后是8，8的位置有兩個(gè)位置可放，而且也不能立即得到哪個(gè)位置的乘積和最小，所以我們兩種情況都計(jì)算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
所以，最小值為312．
8．一個(gè)兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問(wèn)余數(shù)是多少?
【分析與解】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)為 =lOa+b，它們的數(shù)字和為a+b,因?yàn)閘Oa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，
設(shè)的余數(shù)為k，有9a≡k(mod a+b)．
特殊的當(dāng)a+b為18時(shí)，有9a=k+18m，因?yàn)?a、18m均是9的倍數(shù)，那么k也應(yīng)是9的倍數(shù)且小于除數(shù)18，即0，9，也就是說(shuō)余數(shù)為9；
所以當(dāng)除數(shù)a+b不為18，即為17時(shí)，
:余數(shù)為16，除數(shù)a+b只能是17，此時(shí)有9a=15+17m，有 (t為可取0的自然數(shù))，而a是一位數(shù)，顯然不滿足；
：余數(shù)其次為15，除數(shù)a+b只能是17或16，
除數(shù)a+b=17時(shí)，有9a=15+17m,有 ,(t為可取0的自然數(shù))，a是一位數(shù)，顯然也不滿足；
除數(shù)a+b=16時(shí)，有9a=15+16m,有 (t為可取0的自然數(shù))，因?yàn)閍是一位數(shù)，所以a只能取7，對(duì)應(yīng)b為16-7=9，滿足；
所以的余數(shù)為15，此時(shí)有兩位數(shù)79÷(7+9)=4……15．
10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字各一次，組成一個(gè)被減數(shù)、減數(shù)、差都是三位數(shù)的正確的減法算式，那么這個(gè)算式的差是多少?
【分析與解】 考慮到對(duì)差的影響大小，我們先考慮百位數(shù)，為了讓差，被減數(shù)的百位為9，減數(shù)的百位為1，如果差的百位為8，那算式就是如下形式： 剩下的6個(gè)數(shù)字為2、3、4、5、6、7，因?yàn)榘傥粩?shù)字為8，所以我們可以肯定被減數(shù)的十位數(shù)字比減數(shù)要大，而且至少大2，因?yàn)?已經(jīng)出現(xiàn)在算式中了，算式的可能的形式如下：
得數(shù)的十位只可能是減數(shù)和被減數(shù)的十位數(shù)字之差，或者小1，可能的算式形式如下：
但這時(shí)剩下的數(shù)都無(wú)法使算式成立．再考慮差的百位數(shù)字為7的情況，這時(shí)我們可以肯定減數(shù)的十位數(shù)比被減數(shù)要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8，因此，算式可能的形式為：
再考慮剩下的三個(gè)數(shù)字，可以找到如下幾個(gè)算式：
，所以差為784．
12. 4個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)的分子都是1，它們的分母有2個(gè)是奇數(shù)、2個(gè)是偶數(shù)，而且2個(gè)分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)之和與2個(gè)分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)之和相等．這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明希望這樣的2個(gè)偶數(shù)之和盡量地小，那么這個(gè)和的最小可能值是多少?
【分析與解】 設(shè)這四個(gè)分?jǐn)?shù)為上 、 、 、 (其中m、n、a、b均為非零自然數(shù))
有 + = + ，則有 - = - ，
我們從m=1,b=1開始試驗(yàn)：
= + = + ， = + = + ，
= + = + ， = + = + ，
= + = + ，﹍
我們發(fā)現(xiàn)， 和 分解后具有相同的一項(xiàng) ，而且另外兩項(xiàng)的分母是滿足一奇一偶，滿足題中條件：
+ = + ，所以最小的兩個(gè)偶數(shù)和為6+10=16．
14.有13個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是100．問(wèn)其中偶數(shù)最多有多少個(gè)?最少有多少個(gè)？
【分析與解】 13個(gè)整數(shù)的和為100，即偶數(shù)，那么奇數(shù)個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè)，則奇數(shù)最少為2個(gè)，最多為12個(gè)；對(duì)應(yīng)的偶數(shù)最多有11個(gè)，最少有1個(gè)．
但是我們必須驗(yàn)證看是否有實(shí)例符合．
當(dāng)有11個(gè)不同的偶數(shù)，2個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，11個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3=4．它們的和最小為132+4=136，顯然不滿足：
當(dāng)有9個(gè)不同的偶數(shù)，4個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，9個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4個(gè)不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16，還是大于100，仍然不滿足；
當(dāng)有7個(gè)不同的偶數(shù)，6個(gè)不同的奇數(shù)時(shí)，7個(gè)不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14=56，6個(gè)不同的奇數(shù)和為1+3+5+7+9+11：36，滿足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即為100．
類似的可知，最少有5個(gè)不同的偶數(shù)，8個(gè)不同的奇數(shù)，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15滿足．
所以，滿足題意的13個(gè)數(shù)中，偶數(shù)最多有7個(gè)，最少有5個(gè)．