第二章 數字推理
第一節(jié) 基本數列及其變式剖析及真題點撥
一、等差數列及其變式
等差數列是指相鄰兩數字之間的差值相等，整列數字是依次遞增、遞減或恒為常數的一組數字。等差數列中相鄰兩數字之差為公差，通常用字母d來表示，等差數列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d(n為自然數)。例如：2,4,6,8,10,12……
等差數列的特點是數列各項依次遞增或遞減，各項數字之間的變化幅度不大。二級等差數列：后一項減前一項所得的新數列是一個等差數列。多級等差數列：一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后，所得到的新數列是一個等差數列。等差數列是數字推理題目中最基礎的題型，也是解答數字推理題目的“第一切入角度”。所謂“第一切入角度”是指進行任何數字推理解題時都要首先想到等差數列及其變式，即從數與數之間差的關系進行推理。
例題1.(2007年中央第44題)
0,4,16,40,80，( )
A.160 B.128
C.136 D.140
【解析】此題考查三級等差數列。原數列的后一項減去前一項得到第一個新數列為4,12,24,40，新數列的后一項減去前一項得到第二個新數列為8,12,16，因此第二個新數列的下一項為20，第一個新數列的下一項為60，則未知項為80＋60＝140。故選D。
例題2.(2005年中央(一類)第33題)
1,10,31,70,133，( )
A.136 B.186
C.226 D.256
【解析】此題考查三級等差數列。原數列的第(n＋1)項減去第n項的值分別是9,21,39,63，此新數列的后一項減前一項的差分別是12,18,24，此數列是以6為公差的等差數列，則下一項應為30，因此63的后一項為63＋30＝93，即原數列的未知項為133＋93＝226。故選C。
例題3.(2002年中央(A類)第3題)
2,5,11,20,32，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】此題考查二級等差數列。第(n＋1)項減去第n項，可以得出一個新數列：3,6,9,12，這是一個以3為公差的等差數列，新數列的下個數字是12＋3＝15，因此，原數列的未知項為32＋15＝47。故選C。
例題4.(2007年江蘇省(A類)第4題)
1 200,200,40，( )，103
A.10 B.20
C.30 D.5
【解析】此題考查等差數列的變式。前項除以后項得出一個新數列6,5，(4)，(3)，則未知項應為10。故選A。
例題5.(2008年北京市(應屆)第5題)
1,8,20,42,79，( )
A.126 B.128
C.132 D.136
【解析】此題考查三級等差數列。8－1＝7,20－8＝12,42－20＝22,79－42＝37。再次做差12－7＝5,22－12＝10,37－22＝15，構成公差為5的等差數列，下一項應該為20，則未知項應填20＋37＋79＝136。故選D。
例題6.(2007年浙江省第1題)
0.5,2，92，8，( )
A.12.5 B.272
C.1412 D.16
【解析】此題考查二級等差數列。后項減前項得新數列1.5，2.5，3.5，新數列是以1為公差的等差數列，其后一項為4.5，即未知項為4.5＋8＝12.5。故選A。
例題7.(2004年福建省第10題)
34,56,78，( )
A.910 B.190
C.150 D.100
【解析】此題考查簡單的等差數列。這是一個公差為22的等差數列，即56－34＝22,78－56＝22，所以 ( )內之數為78＋22＝100。故選D。
二、等比數列及其變式
等比數列是指相鄰兩數字之間的比為常數的數列，這個比值被稱為公比，用字母q來表示。等比數列的通項公式為an＝a1qn－1(q≠0，n為自然數)。例如：5,10,20,40,80……
等比數列的概念構建與等差數列的概念構建基本一致，所以要對比學習與記憶。注意等比數列中不可能出現“0”這個常數，若數列中有“0”肯定不是等比數列。當等比數列的公比是負數時，這個數列就會是正數與負數交替出現。
例題1.(2008年北京市(應屆)第1題)
64,48,36,27，814，( )
A.976 B.12338
C.17912 D.24316
【解析】該數列是典型的等比數列，公比為34，因此其下一項應該為814×34＝24316。故選D。
例題2.(2008年北京市(應屆)第4題)
32,48,40,44,42，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】該數列是等比數列的變式。前項減去后項得出一個新數列－16，8，－4,2，新數列是以－12為公比的等比數列，下一項為－1，則未知項應為43。故選A。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第2題)
5,13,37,109，( )
A.136 B.231
C.325 D.408
【解析】該數列是一個等比數列的變式，后項減去前項形成一個以3為公比的等比數列，該數列為8,24,72，其下一項為216，則未知項應為109＋216＝325。故選C。
例題4.(2007年浙江省第7題)
36,24，( )，323，649
A.43127 B.1409
C.493 D.16
【解析】該數列是以23為公比的等比數列，未知項應為24×23＝16。故選D。
例題5.(2007年河南省第31題)
2,8,32,128，( )
A.256 B.169
C.512 D.626
【解析】該數列是典型的等比數列，公比為4，其下一項應為512。故選C。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第6題)
5，55，115，1155，( )
A.225 B.2255
C.1215 D.12155
【解析】該數列是典型的等比數列。公比為11，則未知項為1215。故選C。
三、和差數列及其變式
和差數列是指前兩項相加或者相減的結果等于下一項。和差數列的變式是指相鄰兩項相加或者相減的結果經過變化之后得到下一項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(如1、2、3、4、5等)；或者相鄰兩項相加之和(之差)與項數之間具有某種關系；或者其相鄰兩項相加(相減)得到某一等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式。
例題1.(2008年中央第41題)
157,65,27,11,5，( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】該數列是和數列，但不是和數列的簡單形式。仔細觀察數字的變化可以看出此數列的規(guī)律為：an＝an＋1×2＋an＋2，代入式子中驗算正確后，即可用此式來計算未知項，即11＝5×2＋( )，未知項應為1。故選D。
例題2.(2007年北京市(應屆)第3題)
14,6,2,0，( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
【解析】該數列是一個和數列，但不是和數列的簡單形式，其數列變化規(guī)律為：14＝6×2＋2,6＝2×2＋2，那么0＝( )×2＋2，空缺處應為－1。故選B。
例題3.(2007年浙江省第3題)
85,52，( ),19,14
A.28 B.33
C.37 D.41
【解析】該數列是典型的差數列。該數列規(guī)律為：前項減去后項等于第三項，85－52＝33,33－19＝14，即空缺項為33。故選B。
例題4.(2007年河南省第34題)
6,7,3,0,3,3,6,9，( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】該數列的規(guī)律為相鄰兩項的和的個位數字為后一項，6＋9＝15，個位數字是5。故選A。
例題5.(2007年山東省第41題)
44,52,59,73,83,94，( )
A.107 B.101
C.105 D.113
【解析】該數列規(guī)律為：44＋4＋4＝52,52＋5＋2＝59,59＋5＋9＝73,73＋7＋3＝83,83＋8＋3＝94,94＋9＋4＝( )＝107。故選A。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第7題)
25,15,10,5,5，( )
A.－5 B.0
C.5 D.10
【解析】該數列是差數列。前項減去后項等于第三項，未知項應為0。故選B。
第一節(jié) 基本數列及其變式剖析及真題點撥
一、等差數列及其變式
等差數列是指相鄰兩數字之間的差值相等，整列數字是依次遞增、遞減或恒為常數的一組數字。等差數列中相鄰兩數字之差為公差，通常用字母d來表示，等差數列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d(n為自然數)。例如：2,4,6,8,10,12……
等差數列的特點是數列各項依次遞增或遞減，各項數字之間的變化幅度不大。二級等差數列：后一項減前一項所得的新數列是一個等差數列。多級等差數列：一個數列經過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后，所得到的新數列是一個等差數列。等差數列是數字推理題目中最基礎的題型，也是解答數字推理題目的“第一切入角度”。所謂“第一切入角度”是指進行任何數字推理解題時都要首先想到等差數列及其變式，即從數與數之間差的關系進行推理。
例題1.(2007年中央第44題)
0,4,16,40,80，( )
A.160 B.128
C.136 D.140
【解析】此題考查三級等差數列。原數列的后一項減去前一項得到第一個新數列為4,12,24,40，新數列的后一項減去前一項得到第二個新數列為8,12,16，因此第二個新數列的下一項為20，第一個新數列的下一項為60，則未知項為80＋60＝140。故選D。
例題2.(2005年中央(一類)第33題)
1,10,31,70,133，( )
A.136 B.186
C.226 D.256
【解析】此題考查三級等差數列。原數列的第(n＋1)項減去第n項的值分別是9,21,39,63，此新數列的后一項減前一項的差分別是12,18,24，此數列是以6為公差的等差數列，則下一項應為30，因此63的后一項為63＋30＝93，即原數列的未知項為133＋93＝226。故選C。
例題3.(2002年中央(A類)第3題)
2,5,11,20,32，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】此題考查二級等差數列。第(n＋1)項減去第n項，可以得出一個新數列：3,6,9,12，這是一個以3為公差的等差數列，新數列的下個數字是12＋3＝15，因此，原數列的未知項為32＋15＝47。故選C。
例題4.(2007年江蘇省(A類)第4題)
1 200,200,40，( )，103
A.10 B.20
C.30 D.5
【解析】此題考查等差數列的變式。前項除以后項得出一個新數列6,5，(4)，(3)，則未知項應為10。故選A。
例題5.(2008年北京市(應屆)第5題)
1,8,20,42,79，( )
A.126 B.128
C.132 D.136
【解析】此題考查三級等差數列。8－1＝7,20－8＝12,42－20＝22,79－42＝37。再次做差12－7＝5,22－12＝10,37－22＝15，構成公差為5的等差數列，下一項應該為20，則未知項應填20＋37＋79＝136。故選D。
例題6.(2007年浙江省第1題)
0.5,2，92，8，( )
A.12.5 B.272
C.1412 D.16
【解析】此題考查二級等差數列。后項減前項得新數列1.5，2.5，3.5，新數列是以1為公差的等差數列，其后一項為4.5，即未知項為4.5＋8＝12.5。故選A。
例題7.(2004年福建省第10題)
34,56,78，( )
A.910 B.190
C.150 D.100
【解析】此題考查簡單的等差數列。這是一個公差為22的等差數列，即56－34＝22,78－56＝22，所以 ( )內之數為78＋22＝100。故選D。
二、等比數列及其變式
等比數列是指相鄰兩數字之間的比為常數的數列，這個比值被稱為公比，用字母q來表示。等比數列的通項公式為an＝a1qn－1(q≠0，n為自然數)。例如：5,10,20,40,80……
等比數列的概念構建與等差數列的概念構建基本一致，所以要對比學習與記憶。注意等比數列中不可能出現“0”這個常數，若數列中有“0”肯定不是等比數列。當等比數列的公比是負數時，這個數列就會是正數與負數交替出現。
例題1.(2008年北京市(應屆)第1題)
64,48,36,27，814，( )
A.976 B.12338
C.17912 D.24316
【解析】該數列是典型的等比數列，公比為34，因此其下一項應該為814×34＝24316。故選D。
例題2.(2008年北京市(應屆)第4題)
32,48,40,44,42，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】該數列是等比數列的變式。前項減去后項得出一個新數列－16，8，－4,2，新數列是以－12為公比的等比數列，下一項為－1，則未知項應為43。故選A。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第2題)
5,13,37,109，( )
A.136 B.231
C.325 D.408
【解析】該數列是一個等比數列的變式，后項減去前項形成一個以3為公比的等比數列，該數列為8,24,72，其下一項為216，則未知項應為109＋216＝325。故選C。
例題4.(2007年浙江省第7題)
36,24，( )，323，649
A.43127 B.1409
C.493 D.16
【解析】該數列是以23為公比的等比數列，未知項應為24×23＝16。故選D。
例題5.(2007年河南省第31題)
2,8,32,128，( )
A.256 B.169
C.512 D.626
【解析】該數列是典型的等比數列，公比為4，其下一項應為512。故選C。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第6題)
5，55，115，1155，( )
A.225 B.2255
C.1215 D.12155
【解析】該數列是典型的等比數列。公比為11，則未知項為1215。故選C。
三、和差數列及其變式
和差數列是指前兩項相加或者相減的結果等于下一項。和差數列的變式是指相鄰兩項相加或者相減的結果經過變化之后得到下一項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(如1、2、3、4、5等)；或者相鄰兩項相加之和(之差)與項數之間具有某種關系；或者其相鄰兩項相加(相減)得到某一等差數列、等比數列、平方數列、立方數列等形式。
例題1.(2008年中央第41題)
157,65,27,11,5，( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】該數列是和數列，但不是和數列的簡單形式。仔細觀察數字的變化可以看出此數列的規(guī)律為：an＝an＋1×2＋an＋2，代入式子中驗算正確后，即可用此式來計算未知項，即11＝5×2＋( )，未知項應為1。故選D。
例題2.(2007年北京市(應屆)第3題)
14,6,2,0，( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
【解析】該數列是一個和數列，但不是和數列的簡單形式，其數列變化規(guī)律為：14＝6×2＋2,6＝2×2＋2，那么0＝( )×2＋2，空缺處應為－1。故選B。
例題3.(2007年浙江省第3題)
85,52，( ),19,14
A.28 B.33
C.37 D.41
【解析】該數列是典型的差數列。該數列規(guī)律為：前項減去后項等于第三項，85－52＝33,33－19＝14，即空缺項為33。故選B。
例題4.(2007年河南省第34題)
6,7,3,0,3,3,6,9，( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】該數列的規(guī)律為相鄰兩項的和的個位數字為后一項，6＋9＝15，個位數字是5。故選A。
例題5.(2007年山東省第41題)
44,52,59,73,83,94，( )
A.107 B.101
C.105 D.113
【解析】該數列規(guī)律為：44＋4＋4＝52,52＋5＋2＝59,59＋5＋9＝73,73＋7＋3＝83,83＋8＋3＝94,94＋9＋4＝( )＝107。故選A。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第7題)
25,15,10,5,5，( )
A.－5 B.0
C.5 D.10
【解析】該數列是差數列。前項減去后項等于第三項，未知項應為0。故選B。