建設(shè)工程經(jīng)濟(jì)(一級(jí)建造師)精講班第2講講義
二、等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計(jì)算
A 年金,發(fā)生在 ( 或折算為 ) 某一特定時(shí)間序列各計(jì)息期末(不包括零期) 的等額資金序列的價(jià)值。
1. 終值計(jì)算 ( 已知 A, 求 F)
等額支付系列現(xiàn)金流量的終值為 :
[(1+i)n-1]/i年稱為等額支付系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù) , 用符號(hào)(F/A,i,n)表示。
公式又可寫成:F=A(F/A,i,n)。
例:若 10 年內(nèi),每年末存 1000 元,年利率 8%, 問(wèn) 10 年末本利和為多少 ?
解 : 由公式得:
=1000×[(1+8%)10-1]/8%
=14487
2. 償債基金計(jì)算 ( 已知 F, 求 A)
償債基金計(jì)算式為:
i/ [(1+i)n-1]稱為等額支付系列償債基金系數(shù),用符號(hào)(A /F,i,n)表示。
則公式又可寫成:A=F(A /F,i,n)
例:欲在 5 年終了時(shí)獲得 10000 元,若每年存款金額相等,年利率為10%, 則每年末需存款多少 ?
解 : 由公式 (1Z101013-16) 得 :
=10000×10%/ [(1+10%)5-1]
=1638 元
3. 現(xiàn)值計(jì)算 ( 已知 A, 求 P)
[(1+i)n-1]/i(1+i)n 稱為等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù) , 用符號(hào)(P/A,i,n)表示。
公式又可寫成: P=A(P/A,i,n)
例:如期望 5 年內(nèi)每年未收回 1000 元,問(wèn)在利率為 10% 時(shí),開(kāi)始需一次投資多少 ?
解 : 由公式得 :
=1000×[(1+10%)5-1]/10%(1+10%)5
=3790. 8 元
4. 資金回收計(jì)算 ( 已知 P, 求 A)
資金回收計(jì)算式為 :
i(1+i)n / [(1+i)n-1]稱為等額支付系列資金回收系數(shù),用符號(hào)(A/P,i,n)表示。
則公式又可寫成:A=P(A/P,i,n)
例:若投資10000元,每年收回率為 8%, 在10年內(nèi)收回全部本利,則每年應(yīng)收回多少 ?
解 : 由公式得 :
=10000×8%×(1+8%)10/ [(1+8%)10-1]
=1490. 3 元
三、等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計(jì)算
每年的還款額 At按下式計(jì)算:
At=PI/n+PI×i×[1-(t-1)/n]
式中: At 第 t 年的還本付息額;
PI — 還款起始年年初的借款金額
例:某借款人向銀行借款 500000 元借款,期限 10 年,年利率為 6%.采用等額還本利息照付方式,問(wèn)第 5年應(yīng)還本付息金額是多少 ?
解 : 由公式得 :
At=PI/n+PI×i×[1-(t-1)/n]
=500000/10+500000×6%×[1-(5-1)/10]
=68000 元
總結(jié):
計(jì)算
公式 公式名稱 已知項(xiàng) 欲求項(xiàng) 系數(shù)符號(hào) 公式
一次支付終值 P F (F/P,i,n) F=P(1+i )n
一次支付現(xiàn)值 F P (P/F,i,n) P=F(1+i)-n
等額支付終值 A F (F/A,i,n)
償債基金 F A (A /F,i,n)
年金現(xiàn)值 P A (P/A,i,n)
資金回收 A P (A/P,i,n)
影響資金等值的因素有三個(gè):金額的多少、資金發(fā)生的時(shí)間長(zhǎng)短、利率 ( 或折現(xiàn)率 ) 的大小。
lZlOlO14 熟悉名義利率和有效利率的計(jì)算
在復(fù)利計(jì)算中,利率周期通常以年為單位,它可以與計(jì)息周期相同,也可以不同。當(dāng)計(jì)息周期小于一年時(shí),就出現(xiàn)了名義利率和有效利率。
一、名義利率的計(jì)算
名義利率 r 是指計(jì)息周期利率 i 乘以一年內(nèi)的計(jì)息周期數(shù) m 所得的年利率。即:
r=i×m
若計(jì)息周期月利率為1%, 則年名義利率為 12%。很顯然 , 計(jì)算名義利率與單利的計(jì)算相同。
二、有效利率的計(jì)算
有效利率是措資金在計(jì)息中所發(fā)生的實(shí)際利率
包括:①計(jì)息周期有效利率
②年有效利率
1. 計(jì)息周期有效利率 , 即計(jì)息周期利率i:
i=r/m
2. 年有效利率 , 即年實(shí)際利率。
有效利率 ieff 為 :
有效利率是按照復(fù)利原理計(jì)算的理率
由此可見(jiàn),有效利率和名義利率的關(guān)系實(shí)質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系一樣。
例:現(xiàn)設(shè)年名義利率 r=10%, 則年、半年、季、月、日的年有效利率如下表所示。
名義利率與有效利率比較表
年名義利率
(r) 計(jì)息、期 年計(jì)息、次數(shù)
(m) 計(jì)息期利率
(i=r/m) 年有效利率
(ieff )
10% 年 1 10% 10%
半年 2 5% 10.25%
季 4 2.5% 10.38%
月 12 0.833% 10.47%
日 365 0.0274% 10.51%
可以看出,每年計(jì)息周期 m 越多 , ieff與 r 相差越大;另一方面,名義利率為 10%, 按季度計(jì)息時(shí) , 按季度利率 2.5% 計(jì)息與按年利率 10.38% 計(jì) 息 , 二者是等價(jià)的。
但應(yīng)注意,對(duì)等額系列流量,只有計(jì)息周期與收付周期一致時(shí)才能按計(jì)息期利率計(jì)算。否則,能用收付周期實(shí)際利率來(lái)計(jì)算。例題見(jiàn)教材17頁(yè)的[1Z101014-4]
二、等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計(jì)算
A 年金,發(fā)生在 ( 或折算為 ) 某一特定時(shí)間序列各計(jì)息期末(不包括零期) 的等額資金序列的價(jià)值。
1. 終值計(jì)算 ( 已知 A, 求 F)
等額支付系列現(xiàn)金流量的終值為 :
[(1+i)n-1]/i年稱為等額支付系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù) , 用符號(hào)(F/A,i,n)表示。
公式又可寫成:F=A(F/A,i,n)。
例:若 10 年內(nèi),每年末存 1000 元,年利率 8%, 問(wèn) 10 年末本利和為多少 ?
解 : 由公式得:
=1000×[(1+8%)10-1]/8%
=14487
2. 償債基金計(jì)算 ( 已知 F, 求 A)
償債基金計(jì)算式為:
i/ [(1+i)n-1]稱為等額支付系列償債基金系數(shù),用符號(hào)(A /F,i,n)表示。
則公式又可寫成:A=F(A /F,i,n)
例:欲在 5 年終了時(shí)獲得 10000 元,若每年存款金額相等,年利率為10%, 則每年末需存款多少 ?
解 : 由公式 (1Z101013-16) 得 :
=10000×10%/ [(1+10%)5-1]
=1638 元
3. 現(xiàn)值計(jì)算 ( 已知 A, 求 P)
[(1+i)n-1]/i(1+i)n 稱為等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù) , 用符號(hào)(P/A,i,n)表示。
公式又可寫成: P=A(P/A,i,n)
例:如期望 5 年內(nèi)每年未收回 1000 元,問(wèn)在利率為 10% 時(shí),開(kāi)始需一次投資多少 ?
解 : 由公式得 :
=1000×[(1+10%)5-1]/10%(1+10%)5
=3790. 8 元
4. 資金回收計(jì)算 ( 已知 P, 求 A)
資金回收計(jì)算式為 :
i(1+i)n / [(1+i)n-1]稱為等額支付系列資金回收系數(shù),用符號(hào)(A/P,i,n)表示。
則公式又可寫成:A=P(A/P,i,n)
例:若投資10000元,每年收回率為 8%, 在10年內(nèi)收回全部本利,則每年應(yīng)收回多少 ?
解 : 由公式得 :
=10000×8%×(1+8%)10/ [(1+8%)10-1]
=1490. 3 元
三、等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計(jì)算
每年的還款額 At按下式計(jì)算:
At=PI/n+PI×i×[1-(t-1)/n]
式中: At 第 t 年的還本付息額;
PI — 還款起始年年初的借款金額
例:某借款人向銀行借款 500000 元借款,期限 10 年,年利率為 6%.采用等額還本利息照付方式,問(wèn)第 5年應(yīng)還本付息金額是多少 ?
解 : 由公式得 :
At=PI/n+PI×i×[1-(t-1)/n]
=500000/10+500000×6%×[1-(5-1)/10]
=68000 元
總結(jié):
計(jì)算
公式 公式名稱 已知項(xiàng) 欲求項(xiàng) 系數(shù)符號(hào) 公式
一次支付終值 P F (F/P,i,n) F=P(1+i )n
一次支付現(xiàn)值 F P (P/F,i,n) P=F(1+i)-n
等額支付終值 A F (F/A,i,n)
償債基金 F A (A /F,i,n)
年金現(xiàn)值 P A (P/A,i,n)
資金回收 A P (A/P,i,n)
影響資金等值的因素有三個(gè):金額的多少、資金發(fā)生的時(shí)間長(zhǎng)短、利率 ( 或折現(xiàn)率 ) 的大小。
lZlOlO14 熟悉名義利率和有效利率的計(jì)算
在復(fù)利計(jì)算中,利率周期通常以年為單位,它可以與計(jì)息周期相同,也可以不同。當(dāng)計(jì)息周期小于一年時(shí),就出現(xiàn)了名義利率和有效利率。
一、名義利率的計(jì)算
名義利率 r 是指計(jì)息周期利率 i 乘以一年內(nèi)的計(jì)息周期數(shù) m 所得的年利率。即:
r=i×m
若計(jì)息周期月利率為1%, 則年名義利率為 12%。很顯然 , 計(jì)算名義利率與單利的計(jì)算相同。
二、有效利率的計(jì)算
有效利率是措資金在計(jì)息中所發(fā)生的實(shí)際利率
包括:①計(jì)息周期有效利率
②年有效利率
1. 計(jì)息周期有效利率 , 即計(jì)息周期利率i:
i=r/m
2. 年有效利率 , 即年實(shí)際利率。
有效利率 ieff 為 :
有效利率是按照復(fù)利原理計(jì)算的理率
由此可見(jiàn),有效利率和名義利率的關(guān)系實(shí)質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系一樣。
例:現(xiàn)設(shè)年名義利率 r=10%, 則年、半年、季、月、日的年有效利率如下表所示。
名義利率與有效利率比較表
年名義利率
(r) 計(jì)息、期 年計(jì)息、次數(shù)
(m) 計(jì)息期利率
(i=r/m) 年有效利率
(ieff )
10% 年 1 10% 10%
半年 2 5% 10.25%
季 4 2.5% 10.38%
月 12 0.833% 10.47%
日 365 0.0274% 10.51%
可以看出,每年計(jì)息周期 m 越多 , ieff與 r 相差越大;另一方面,名義利率為 10%, 按季度計(jì)息時(shí) , 按季度利率 2.5% 計(jì)息與按年利率 10.38% 計(jì) 息 , 二者是等價(jià)的。
但應(yīng)注意,對(duì)等額系列流量,只有計(jì)息周期與收付周期一致時(shí)才能按計(jì)息期利率計(jì)算。否則,能用收付周期實(shí)際利率來(lái)計(jì)算。例題見(jiàn)教材17頁(yè)的[1Z101014-4]