建設(shè)工程經(jīng)濟(一級建造師)精講班第2講講義
等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計算
二、等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計算
A 年金,發(fā)生在 ( 或折算為 ) 某一特定時間序列各計息期末(不包括零期) 的等額資金序列的價值。
1. 終值計算 ( 已知 A, 求 F)
等額支付系列現(xiàn)金流量的終值為 :
[（1＋i）n－1]/i年稱為等額支付系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù) , 用符號(F/A，i，n)表示。
公式又可寫成：F=A(F/A，i，n)。
例：若 10 年內(nèi)，每年末存 1000 元，年利率 8%, 問 10 年末本利和為多少 ?
解 : 由公式得：
＝1000×[（1＋8%）10－1]/8%
＝14487
2. 償債基金計算 ( 已知 F, 求 A)
償債基金計算式為：
i/ [（1＋i）n－1]稱為等額支付系列償債基金系數(shù)，用符號(A /F，i，n)表示。
則公式又可寫成：A=F(A /F，i，n)
例：欲在 5 年終了時獲得 10000 元，若每年存款金額相等，年利率為10%, 則每年末需存款多少 ?
解 : 由公式 (1Z101013-16) 得 ：
＝10000×10%/ [（1＋10%）5－1]
＝1638 元
3. 現(xiàn)值計算 ( 已知 A, 求 P)
[（1＋i）n－1]/i（1＋i）n 稱為等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù) , 用符號(P/A，i，n)表示。
公式又可寫成： P＝A(P/A，i，n)
例：如期望 5 年內(nèi)每年未收回 1000 元，問在利率為 10% 時，開始需一次投資多少 ?
解 : 由公式得 :
＝1000×[（1＋10%）5－1]/10%（1＋10%）5
＝3790. 8 元
4. 資金回收計算 ( 已知 P, 求 A)
資金回收計算式為 :
i（1＋i）n / [（1＋i）n－1]稱為等額支付系列資金回收系數(shù)，用符號(A/P，i，n)表示。
則公式又可寫成：A=P(A/P，i，n)
例：若投資10000元，每年收回率為 8%, 在10年內(nèi)收回全部本利，則每年應(yīng)收回多少 ?
解 : 由公式得 :
＝10000×8%×（1＋8%）10/ [（1＋8%）10－1]
＝1490. 3 元
等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計算
三、等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計算
每年的還款額 At按下式計算：
At＝PI/n＋PI×i×[1－(t－1)/n]
式中： At 第 t 年的還本付息額；
PI — 還款起始年年初的借款金額
例：某借款人向銀行借款 500000 元借款,期限 10 年,年利率為 6%.采用等額還本利息照付方式，問第 5年應(yīng)還本付息金額是多少 ?
解 : 由公式得 :
At＝PI/n＋PI×i×[1－(t－1)/n]
＝500000/10＋500000×6%×[1－(5－1)/10]
＝68000 元
總結(jié)：
計算
公式 公式名稱 已知項 欲求項 系數(shù)符號 公式
一次支付終值 P F （F/P，i，n） F=P（1+i ）n
一次支付現(xiàn)值 F P (P/F，i，n) P=F(1+i)－n
等額支付終值 A F (F/A，i，n)
償債基金 F A (A /F，i，n)
年金現(xiàn)值 P A (P/A，i，n)
資金回收 A P (A/P，i，n)
影響資金等值的因素有三個：金額的多少、資金發(fā)生的時間長短、利率 ( 或折現(xiàn)率 ) 的大小。
名義利率和有效利率的計算
lZlOlO14 熟悉名義利率和有效利率的計算
在復(fù)利計算中，利率周期通常以年為單位，它可以與計息周期相同，也可以不同。當計息周期小于一年時，就出現(xiàn)了名義利率和有效利率。
一、名義利率的計算
名義利率 r 是指計息周期利率 i 乘以一年內(nèi)的計息周期數(shù) m 所得的年利率。即：r＝i×m
若計息周期月利率為1%， 則年名義利率為 12%。很顯然 , 計算名義利率與單利的計算相同。
二、有效利率的計算
有效利率是措資金在計息中所發(fā)生的實際利率
包括：①計息周期有效利率
②年有效利率
1. 計息周期有效利率 , 即計息周期利率i:
i＝r/m
2. 年有效利率 , 即年實際利率。
有效利率 ieff 為 :
有效利率是按照復(fù)利原理計算的理率
由此可見，有效利率和名義利率的關(guān)系實質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系一樣。
例：現(xiàn)設(shè)年名義利率 r＝10%, 則年、半年、季、月、日的年有效利率如下表所示。
名義利率與有效利率比較表
年名義利率
(r) 計息、期 年計息、次數(shù)
(m) 計息期利率
(i＝r/m) 年有效利率
（ieff )
10% 年 1 10% 10%
半年 2 5% 10.25%
季 4 2.5% 10.38%
月 12 0.833% 10.47%
日 365 0.0274% 10.51%
可以看出，每年計息周期 m 越多 , ieff與 r 相差越大；另一方面，名義利率為 10%, 按季度計息時 , 按季度利率 2.5% 計息與按年利率 10.38% 計 息 , 二者是等價的。
但應(yīng)注意，對等額系列流量，只有計息周期與收付周期一致時才能按計息期利率計算。否則，能用收付周期實際利率來計算。例題見教材17頁的[1Z101014-4]
等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計算
二、等額支付系列的終值、現(xiàn)值、資金回收和償債基金計算
A 年金,發(fā)生在 ( 或折算為 ) 某一特定時間序列各計息期末(不包括零期) 的等額資金序列的價值。
1. 終值計算 ( 已知 A, 求 F)
等額支付系列現(xiàn)金流量的終值為 :
[（1＋i）n－1]/i年稱為等額支付系列終值系數(shù)或年金終值系數(shù) , 用符號(F/A，i，n)表示。
公式又可寫成：F=A(F/A，i，n)。
例：若 10 年內(nèi)，每年末存 1000 元，年利率 8%, 問 10 年末本利和為多少 ?
解 : 由公式得：
＝1000×[（1＋8%）10－1]/8%
＝14487
2. 償債基金計算 ( 已知 F, 求 A)
償債基金計算式為：
i/ [（1＋i）n－1]稱為等額支付系列償債基金系數(shù)，用符號(A /F，i，n)表示。
則公式又可寫成：A=F(A /F，i，n)
例：欲在 5 年終了時獲得 10000 元，若每年存款金額相等，年利率為10%, 則每年末需存款多少 ?
解 : 由公式 (1Z101013-16) 得 ：
＝10000×10%/ [（1＋10%）5－1]
＝1638 元
3. 現(xiàn)值計算 ( 已知 A, 求 P)
[（1＋i）n－1]/i（1＋i）n 稱為等額支付系列現(xiàn)值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù) , 用符號(P/A，i，n)表示。
公式又可寫成： P＝A(P/A，i，n)
例：如期望 5 年內(nèi)每年未收回 1000 元，問在利率為 10% 時，開始需一次投資多少 ?
解 : 由公式得 :
＝1000×[（1＋10%）5－1]/10%（1＋10%）5
＝3790. 8 元
4. 資金回收計算 ( 已知 P, 求 A)
資金回收計算式為 :
i（1＋i）n / [（1＋i）n－1]稱為等額支付系列資金回收系數(shù)，用符號(A/P，i，n)表示。
則公式又可寫成：A=P(A/P，i，n)
例：若投資10000元，每年收回率為 8%, 在10年內(nèi)收回全部本利，則每年應(yīng)收回多少 ?
解 : 由公式得 :
＝10000×8%×（1＋8%）10/ [（1＋8%）10－1]
＝1490. 3 元
等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計算
三、等額還本利息照付系列現(xiàn)金流量的計算
每年的還款額 At按下式計算：
At＝PI/n＋PI×i×[1－(t－1)/n]
式中： At 第 t 年的還本付息額；
PI — 還款起始年年初的借款金額
例：某借款人向銀行借款 500000 元借款,期限 10 年,年利率為 6%.采用等額還本利息照付方式，問第 5年應(yīng)還本付息金額是多少 ?
解 : 由公式得 :
At＝PI/n＋PI×i×[1－(t－1)/n]
＝500000/10＋500000×6%×[1－(5－1)/10]
＝68000 元
總結(jié)：
計算
公式 公式名稱 已知項 欲求項 系數(shù)符號 公式
一次支付終值 P F （F/P，i，n） F=P（1+i ）n
一次支付現(xiàn)值 F P (P/F，i，n) P=F(1+i)－n
等額支付終值 A F (F/A，i，n)
償債基金 F A (A /F，i，n)
年金現(xiàn)值 P A (P/A，i，n)
資金回收 A P (A/P，i，n)
影響資金等值的因素有三個：金額的多少、資金發(fā)生的時間長短、利率 ( 或折現(xiàn)率 ) 的大小。
名義利率和有效利率的計算
lZlOlO14 熟悉名義利率和有效利率的計算
在復(fù)利計算中，利率周期通常以年為單位，它可以與計息周期相同，也可以不同。當計息周期小于一年時，就出現(xiàn)了名義利率和有效利率。
一、名義利率的計算
名義利率 r 是指計息周期利率 i 乘以一年內(nèi)的計息周期數(shù) m 所得的年利率。即：r＝i×m
若計息周期月利率為1%， 則年名義利率為 12%。很顯然 , 計算名義利率與單利的計算相同。
二、有效利率的計算
有效利率是措資金在計息中所發(fā)生的實際利率
包括：①計息周期有效利率
②年有效利率
1. 計息周期有效利率 , 即計息周期利率i:
i＝r/m
2. 年有效利率 , 即年實際利率。
有效利率 ieff 為 :
有效利率是按照復(fù)利原理計算的理率
由此可見，有效利率和名義利率的關(guān)系實質(zhì)上與復(fù)利和單利的關(guān)系一樣。
例：現(xiàn)設(shè)年名義利率 r＝10%, 則年、半年、季、月、日的年有效利率如下表所示。
名義利率與有效利率比較表
年名義利率
(r) 計息、期 年計息、次數(shù)
(m) 計息期利率
(i＝r/m) 年有效利率
（ieff )
10% 年 1 10% 10%
半年 2 5% 10.25%
季 4 2.5% 10.38%
月 12 0.833% 10.47%
日 365 0.0274% 10.51%
可以看出，每年計息周期 m 越多 , ieff與 r 相差越大；另一方面，名義利率為 10%, 按季度計息時 , 按季度利率 2.5% 計息與按年利率 10.38% 計 息 , 二者是等價的。
但應(yīng)注意，對等額系列流量，只有計息周期與收付周期一致時才能按計息期利率計算。否則，能用收付周期實際利率來計算。例題見教材17頁的[1Z101014-4]