插板法是用于解決“相同元素”分組問(wèn)題，且要求每組均“非空”，即要求每組至少一個(gè)元素；若對(duì)于 “可空”問(wèn)題，即每組可以是零個(gè)元素，又該如何解題呢？
首先給各位公務(wù)員考友看一道題目：
例1．現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問(wèn)共有多少種不同的分法?
【解析】：題目中球的分法共三類：
第一類：有3個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù)為 。
第二類：有1個(gè)班分到3個(gè)球，1個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù) 。
第三類：有1個(gè)班分到4個(gè)球，其余的6個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù) 。
所以，10個(gè)球分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)球的分法種數(shù)為： 。
由上面解題過(guò)程可以明顯感到對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行分類計(jì)算，比較繁鎖，若是上題中球的數(shù)目較多處理起來(lái)將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式解決問(wèn)題，我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的情境——插板。
將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱之為插板法。
由上述分析可知，分球的方法實(shí)際上為檔板的插法：即是在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”（6個(gè)檔板可把球分為7組），其方法種數(shù)為 。
由上述問(wèn)題的分析解決看到，這種插板法解決起來(lái)非常簡(jiǎn)單，但同時(shí)也提醒各位考友，這類問(wèn)題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：
①所要分的元素必須完全相同；
②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；
③參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。
下面再給各位看一道例題：
例2．有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（ ）種不同方法.
A．35 B．28 C．21 D．45
【解析】：這道題很多同學(xué)錯(cuò)選C，錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板法”，而忽略了“插板法”的適用條件。例2和例1的區(qū)別是：例1的每組元素都要求“非空”，而例2則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。
其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變化，詳解如下：
設(shè)想把這8個(gè)球一個(gè)接一個(gè)排起來(lái)，即 ，共形成9個(gè)空檔（此時(shí)的空檔包括中間7個(gè)空檔和兩端2個(gè)空檔），然后用2個(gè)檔板把這8個(gè)球分成3組，先插第一個(gè)檔板，由于可以有空盒，所以有9個(gè)空檔可以插；再插第二個(gè)板，有10個(gè)空檔可以插，但由于兩個(gè)板是不可分的（也就是說(shuō)當(dāng)兩個(gè)檔板相鄰時(shí)，雖然是兩種插法，但實(shí)際上是一種分法），所以共 種。
例3．（1）已知方程 ，求這個(gè)方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。
（2）已知方程 ，求這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。
【解析】：(1)將20分成20個(gè)1，列出來(lái)：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1在這20個(gè)數(shù)中間的19個(gè)空中插入2個(gè)板子，將20分成3部分，每一部分對(duì)應(yīng)“1”的個(gè)數(shù)，按順序排成 ； ； ；即是正整數(shù)解。故正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ，解法非常簡(jiǎn)單。
【解析】：（2）此題和例2的解法完全相同，請(qǐng)各位考友自己考慮一下。
【提示】：今后我們利用“插板法”解決這種相同元素問(wèn)題時(shí)，一定要注意“空”與“不空”的分析，防止掉入陷阱。例3的兩題相比較，可以很明顯地看出“空”與“不空”的區(qū)別。
【總結(jié)】： “非空”問(wèn)題插板法原型為：設(shè)有 個(gè)相同元素，分成 （ ）組，每組至少一個(gè)元素的分組方法共有 ；“可空”問(wèn)題插板法問(wèn)題原型為：設(shè)有 個(gè)相同元素，分成 （ ）組，則分組方法共有 種方法。
練習(xí)1．有10級(jí)臺(tái)階，分8步走完。每步可以邁1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)臺(tái)階，有多少中走法？（答案為 ）
老子曰：夫物蕓蕓，各復(fù)歸其根，歸根曰靜，靜曰復(fù)命。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)尋找共性，尋找根源，從本質(zhì)上理解歸納各種問(wèn)題。
首先給各位公務(wù)員考友看一道題目：
例1．現(xiàn)有10個(gè)完全相同的球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問(wèn)共有多少種不同的分法?
【解析】：題目中球的分法共三類：
第一類：有3個(gè)班每個(gè)班分到2個(gè)球，其余4個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù)為 。
第二類：有1個(gè)班分到3個(gè)球，1個(gè)班分到2個(gè)球，其余5個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù) 。
第三類：有1個(gè)班分到4個(gè)球，其余的6個(gè)班每班分到1個(gè)球。其分法種數(shù) 。
所以，10個(gè)球分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)球的分法種數(shù)為： 。
由上面解題過(guò)程可以明顯感到對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行分類計(jì)算，比較繁鎖，若是上題中球的數(shù)目較多處理起來(lái)將更加困難，因此我們需要尋求一種新的模式解決問(wèn)題，我們創(chuàng)設(shè)這樣一種虛擬的情境——插板。
將10個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用“檔板”把10個(gè)球隔成有序的7份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)），借助于這樣的虛擬“檔板”分配物品的方法稱之為插板法。
由上述分析可知，分球的方法實(shí)際上為檔板的插法：即是在9個(gè)空檔之中插入6個(gè)“檔板”（6個(gè)檔板可把球分為7組），其方法種數(shù)為 。
由上述問(wèn)題的分析解決看到，這種插板法解決起來(lái)非常簡(jiǎn)單，但同時(shí)也提醒各位考友，這類問(wèn)題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：
①所要分的元素必須完全相同；
②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余；
③參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。
下面再給各位看一道例題：
例2．有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（ ）種不同方法.
A．35 B．28 C．21 D．45
【解析】：這道題很多同學(xué)錯(cuò)選C，錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板法”，而忽略了“插板法”的適用條件。例2和例1的區(qū)別是：例1的每組元素都要求“非空”，而例2則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。
其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變化，詳解如下：
設(shè)想把這8個(gè)球一個(gè)接一個(gè)排起來(lái)，即 ，共形成9個(gè)空檔（此時(shí)的空檔包括中間7個(gè)空檔和兩端2個(gè)空檔），然后用2個(gè)檔板把這8個(gè)球分成3組，先插第一個(gè)檔板，由于可以有空盒，所以有9個(gè)空檔可以插；再插第二個(gè)板，有10個(gè)空檔可以插，但由于兩個(gè)板是不可分的（也就是說(shuō)當(dāng)兩個(gè)檔板相鄰時(shí)，雖然是兩種插法，但實(shí)際上是一種分法），所以共 種。
例3．（1）已知方程 ，求這個(gè)方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。
（2）已知方程 ，求這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。
【解析】：(1)將20分成20個(gè)1，列出來(lái)：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1在這20個(gè)數(shù)中間的19個(gè)空中插入2個(gè)板子，將20分成3部分，每一部分對(duì)應(yīng)“1”的個(gè)數(shù)，按順序排成 ； ； ；即是正整數(shù)解。故正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 ，解法非常簡(jiǎn)單。
【解析】：（2）此題和例2的解法完全相同，請(qǐng)各位考友自己考慮一下。
【提示】：今后我們利用“插板法”解決這種相同元素問(wèn)題時(shí)，一定要注意“空”與“不空”的分析，防止掉入陷阱。例3的兩題相比較，可以很明顯地看出“空”與“不空”的區(qū)別。
【總結(jié)】： “非空”問(wèn)題插板法原型為：設(shè)有 個(gè)相同元素，分成 （ ）組，每組至少一個(gè)元素的分組方法共有 ；“可空”問(wèn)題插板法問(wèn)題原型為：設(shè)有 個(gè)相同元素，分成 （ ）組，則分組方法共有 種方法。
練習(xí)1．有10級(jí)臺(tái)階，分8步走完。每步可以邁1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)臺(tái)階，有多少中走法？（答案為 ）
老子曰：夫物蕓蕓，各復(fù)歸其根，歸根曰靜，靜曰復(fù)命。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)尋找共性，尋找根源，從本質(zhì)上理解歸納各種問(wèn)題。