1、 設(shè)１０件產(chǎn)品中有４件不合格品，從中任取兩件，已知取出的兩件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）
【思路】在”已知取出的兩件中有一件不合格品”的情況下，另一件有兩種情況(1)是不合格品,即一件為合格品,一件為不合格品(2)為合格品,即兩件都是合格品.對(duì)于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;對(duì)于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提問實(shí)際上是求在這兩種情況下,(1)的概率,則(2/15)/(8/15+2/15)=1/5
2、 某人自稱能預(yù)見未來，作為對(duì)他的考驗(yàn)，將1枚硬幣拋10次，每一次讓他事先
預(yù)言結(jié)果，10次中他說對(duì)7次 ，如果實(shí)際上他并不能預(yù)見未來，只是隨便猜測(cè)， 則他作出這樣好的答案的概率是多少？答案為11/64。
【思路】原題說他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7x0.5^3+......C(10 10)0.5^10, 即為11/64.
3、 成等比數(shù)列三個(gè)數(shù)的和為正常數(shù)K,求這三個(gè)數(shù)乘積的最小值
【思路】a/q+a+a*q=k(k為正整數(shù))
由此求得a=k/(1/q+1+q)
所求式=a^3,求最小值可見簡(jiǎn)化為求a的最小值.
對(duì)a求導(dǎo),的駐點(diǎn)為q=+1,q=-1.
其中q=-1時(shí)a取極小值-k,從而有所求最小值為a=-k^3.(mba不要求證明最值)
4、 擲五枚硬幣，已知至少出現(xiàn)兩個(gè)正面，則正面恰好出現(xiàn)三個(gè)的概率。
【思路】可以有兩種方法：
1.用古典概型 樣本點(diǎn)數(shù)為C（3，5），樣本總數(shù)為C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是說正面朝上為2，3，4，5個(gè)），相除就可以了；
2.用條件概率 在至少出現(xiàn)2個(gè)正面的前提下，正好三個(gè)的概率。至少2個(gè)正面向上的概率為13/16，P（AB）的概率為5/16，得5/13
假設(shè)事件A：至少出現(xiàn)兩個(gè)正面；B：恰好出現(xiàn)三個(gè)正面。
A和B滿足貝努力獨(dú)立試驗(yàn)概型，出現(xiàn)正面的概率p=1/2
P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16
A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16
所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。
5、 若方程x2+p*x+37=0恰有兩個(gè)正整數(shù)解x1,x2,則((x1+1)*(x2+1))/p=?
(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1
【思路】題目說有兩個(gè)正整數(shù)的根，故只能是1和37，p=-38
6、一張盒子中有4張卡片，其中兩張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是綠色，一張卡片一面紅一面綠。任取其中一張 ，觀察其一面的顏色，如果被觀察的一面是綠的，求另一面也是綠色的概論。
【思路】設(shè)A=被觀察的一面是綠的，B=兩面都是綠
則需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所給答案卻2/3？
7、設(shè)有一個(gè)均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區(qū)間[0，1）上的諸數(shù)字，另一半上均勻地刻上區(qū)間[1，3）上的諸數(shù)字。旋轉(zhuǎn)這陀螺,求它停下來時(shí)其圓周上觸及桌面的點(diǎn)的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
【思路】設(shè)陀螺觸及桌面的點(diǎn)的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分別為p(01),p(13),p1,p2,則：
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4
同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8
8、設(shè)某家庭有3個(gè)孩子，在已知至少有一個(gè)女孩的條件下，求這個(gè)家庭中至少有一個(gè)男孩的概率。
【思路】設(shè)A為三人中至少有一個(gè)女孩，B為已知三人中有一個(gè)女孩另外至少有一個(gè)男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,
所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。
(這樣分析是認(rèn)為三個(gè)孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三種情況，總共有八個(gè)樣本，這比拋硬幣難理解一些）
9、設(shè)有4只壞，每只都能以同樣的落入4個(gè)格子中的任一個(gè)，求前2個(gè)球落入不同格子中的概率。
【思路】分別設(shè)四球?yàn)?號(hào), 2號(hào)，3號(hào)和4號(hào)
1號(hào)球落入某個(gè)格子有4種可能，那么2號(hào)球就只有3種可能
3號(hào)4號(hào)可落入4個(gè)格子中的任意，有4，4種可能
所以應(yīng)為4*3*4*4/44
10、 甲，乙二人同時(shí)同地繞400米跑道賽跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次趕上乙，求乙速度.( 6s/m)
【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)
已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案為a/x)
【思路1】原方程兩邊對(duì)Y進(jìn)行求偏導(dǎo)
xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)與f’(y)都是對(duì)y偏導(dǎo)數(shù)
xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x
【思路2】當(dāng)⊿x→0時(shí)，令x+⊿x=xz則z=(1+⊿x/x)
由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x
=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x
11.已知函數(shù)f(x+y,x-y)=x2-y2, 則f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)加f對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)等于? (a)2x-2y (b)x+y
【思路1】設(shè)U=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+v
f’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-u
f’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 選A
【思路】在”已知取出的兩件中有一件不合格品”的情況下，另一件有兩種情況(1)是不合格品,即一件為合格品,一件為不合格品(2)為合格品,即兩件都是合格品.對(duì)于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;對(duì)于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提問實(shí)際上是求在這兩種情況下,(1)的概率,則(2/15)/(8/15+2/15)=1/5
2、 某人自稱能預(yù)見未來，作為對(duì)他的考驗(yàn)，將1枚硬幣拋10次，每一次讓他事先
預(yù)言結(jié)果，10次中他說對(duì)7次 ，如果實(shí)際上他并不能預(yù)見未來，只是隨便猜測(cè)， 則他作出這樣好的答案的概率是多少？答案為11/64。
【思路】原題說他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7x0.5^3+......C(10 10)0.5^10, 即為11/64.
3、 成等比數(shù)列三個(gè)數(shù)的和為正常數(shù)K,求這三個(gè)數(shù)乘積的最小值
【思路】a/q+a+a*q=k(k為正整數(shù))
由此求得a=k/(1/q+1+q)
所求式=a^3,求最小值可見簡(jiǎn)化為求a的最小值.
對(duì)a求導(dǎo),的駐點(diǎn)為q=+1,q=-1.
其中q=-1時(shí)a取極小值-k,從而有所求最小值為a=-k^3.(mba不要求證明最值)
4、 擲五枚硬幣，已知至少出現(xiàn)兩個(gè)正面，則正面恰好出現(xiàn)三個(gè)的概率。
【思路】可以有兩種方法：
1.用古典概型 樣本點(diǎn)數(shù)為C（3，5），樣本總數(shù)為C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是說正面朝上為2，3，4，5個(gè)），相除就可以了；
2.用條件概率 在至少出現(xiàn)2個(gè)正面的前提下，正好三個(gè)的概率。至少2個(gè)正面向上的概率為13/16，P（AB）的概率為5/16，得5/13
假設(shè)事件A：至少出現(xiàn)兩個(gè)正面；B：恰好出現(xiàn)三個(gè)正面。
A和B滿足貝努力獨(dú)立試驗(yàn)概型，出現(xiàn)正面的概率p=1/2
P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16
A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16
所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。
5、 若方程x2+p*x+37=0恰有兩個(gè)正整數(shù)解x1,x2,則((x1+1)*(x2+1))/p=?
(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1
【思路】題目說有兩個(gè)正整數(shù)的根，故只能是1和37，p=-38
6、一張盒子中有4張卡片，其中兩張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是綠色，一張卡片一面紅一面綠。任取其中一張 ，觀察其一面的顏色，如果被觀察的一面是綠的，求另一面也是綠色的概論。
【思路】設(shè)A=被觀察的一面是綠的，B=兩面都是綠
則需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所給答案卻2/3？
7、設(shè)有一個(gè)均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區(qū)間[0，1）上的諸數(shù)字，另一半上均勻地刻上區(qū)間[1，3）上的諸數(shù)字。旋轉(zhuǎn)這陀螺,求它停下來時(shí)其圓周上觸及桌面的點(diǎn)的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
【思路】設(shè)陀螺觸及桌面的點(diǎn)的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分別為p(01),p(13),p1,p2,則：
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4
同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8
8、設(shè)某家庭有3個(gè)孩子，在已知至少有一個(gè)女孩的條件下，求這個(gè)家庭中至少有一個(gè)男孩的概率。
【思路】設(shè)A為三人中至少有一個(gè)女孩，B為已知三人中有一個(gè)女孩另外至少有一個(gè)男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,
所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。
(這樣分析是認(rèn)為三個(gè)孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三種情況，總共有八個(gè)樣本，這比拋硬幣難理解一些）
9、設(shè)有4只壞，每只都能以同樣的落入4個(gè)格子中的任一個(gè)，求前2個(gè)球落入不同格子中的概率。
【思路】分別設(shè)四球?yàn)?號(hào), 2號(hào)，3號(hào)和4號(hào)
1號(hào)球落入某個(gè)格子有4種可能，那么2號(hào)球就只有3種可能
3號(hào)4號(hào)可落入4個(gè)格子中的任意，有4，4種可能
所以應(yīng)為4*3*4*4/44
10、 甲，乙二人同時(shí)同地繞400米跑道賽跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次趕上乙，求乙速度.( 6s/m)
【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)
已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案為a/x)
【思路1】原方程兩邊對(duì)Y進(jìn)行求偏導(dǎo)
xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)與f’(y)都是對(duì)y偏導(dǎo)數(shù)
xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x
【思路2】當(dāng)⊿x→0時(shí)，令x+⊿x=xz則z=(1+⊿x/x)
由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x
={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x
=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x
11.已知函數(shù)f(x+y,x-y)=x2-y2, 則f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)加f對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)等于? (a)2x-2y (b)x+y
【思路1】設(shè)U=x+y,v=x-y
f(u,v)=uv
f’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+v
f’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-u
f’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 選A