一、選擇題
1. (2014•山東煙臺(tái)，第7題3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位線EF與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)M，且BD⊥CD，則MF的長為( )
A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30°銳角的性質(zhì)，梯形及三角形的中位線.
分析： 根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)三角形的中位線，可得答案.
解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位線，∴MF是三角形BCD的中位線，∴MF=BC= 6=3，
故選：B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì).
2.(2014•湖南懷化，第5題，3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列判斷不正確的是( )
A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);全等三角形的判定.
分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易證得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;繼而可證得∠ABO=∠DCO，則可證得△ABO≌△DCO.
解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正確;
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC>AD，
∴△AOD不全等于△COB;故錯(cuò)誤;
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正確;
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
，
∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正確.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3. (2014•山東淄博,第7題4分)如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC、DB相交于點(diǎn)P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.則cos∠DPC的值是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根據(jù)∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠DPC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=.
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，熟知等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等是解答此題的關(guān)鍵.
4.(2014•浙江寧波，第8題4分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，則△ABC與△DCA的面積比為( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC與△DCA的面積比= .
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
AB=2，DC=3，
∴COS∠ACB= = ，
COS∠DAC= =
∵△ABC與△DCA的面積比= ，
∴△ABC與△DCA的面積比= ，
故選：C.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是明確△ABC與△DCA的面積比= .
5. (2014•湘潭，第3題，3分)如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計(jì)一方法測量AB的距離，取點(diǎn)C，連接AC、BC，再取它們的中點(diǎn)D、E，測得DE=15米，則AB=( )米.
(第1題圖)
A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30
考點(diǎn)： 三角形中位線定理
分析： 根據(jù)三角形的中位線得出AB=2DE，代入即可求出答案.
解答： 解：∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的中位線的應(yīng)用，注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
6.(2014•德州，第7題3分)如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為( )
A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24米
考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
分析： 先根據(jù)坡度的定義得出BC的長，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長.
解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，
∴BC=6米，
根據(jù)勾股定理得：
AB= =6 米，
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，勾股定理，難度適中.根據(jù)坡度的定義求出BC的長是解題的關(guān)鍵.
7. (2014•廣西賀州，第9題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，則梯形ABCD的周長為( )
A. 12 B. 15 C. 12 D. 15
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，可得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定義求出∠EAC的度數(shù)，故可得出四邊形ADEC是菱形，再由等邊三角形的判定定理得出△ABE是等邊三角形，由此可得出結(jié)論.
解答： 解：過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四邊形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周長=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.
8.(2014•襄陽，第10題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，則∠A等于( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
考點(diǎn)： 梯形;等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).
分析： 根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DEC=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°.
解答： 解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣80°=100°，
故選：C.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
9.(2014•臺(tái)灣，第3題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E點(diǎn)在BC上，且AE⊥BC.若AB=10，BE=8，DE=6 ，則AD的長度為何?( )
A.8 B.9 C.62 D.63
分析：利用勾股定理列式求出AE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAE=90°，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.
解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=AB2-BE2=102-82=6，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴AD=DE2-AE2=(63)2-62 =62.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形，勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記定理并確定出所求的邊所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
10. (2014年廣西欽州，第10題3分)如圖，等腰梯形ABCD的對(duì)角線長為13，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是( )
A. 13 B. 26 C. 36 D. 39
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);中點(diǎn)四邊形.
分析： 首先連接AC，BD，由點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得EH，F(xiàn)G，EF，GH是三角形的中位線，然后由中位線的性質(zhì)求得答案.
解答： 解：連接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD的對(duì)角線長為13，
∴AC=BD=13，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
∴四邊形EFGH的周長是：EH+EF+FG+GF=26.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
11.(2014衡陽，第10題3分)如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形 ，壩頂寬 米，壩高 米，斜坡 的坡度 ，則壩底 的長度為【 】
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二.填空題
1. ( 2014•廣西玉林市、防城港市，第17題3分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，則梯形ABCD的周長是 7+ .
考點(diǎn)： 直角梯形.
分析： 根據(jù)題意得出AB=AD，進(jìn)而得出BD的長，再利用在直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半，進(jìn)而求出CD以及利用勾股定理求出BC的長，即可得出梯形ABCD的周長.
解答： 解：過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE= AD=1，
∴DE= ，則BD=2 ，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC= BD= ，
∴BC= = =3，
∴梯形ABCD的周長是：AB+AD+CD+BC=2+2+ +3=7+ .
故答案為：7+ .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理和直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出∠DBC的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
2. (2014•揚(yáng)州，第13題，3分)如圖，若該圖案是由8個(gè)全等的等腰梯形拼成的，則圖中的∠1= 67.5° .
(第1題圖)
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);多邊形內(nèi)角與外角
分析： 首先求得正八邊形的內(nèi)角的度數(shù)，則∠1的度數(shù)是正八邊形的度數(shù)的一半.
解答： 解：正八邊形的內(nèi)角和是：(8﹣2)×180°=1080°，
則正八邊形的內(nèi)角是：1080÷8=135°，
則∠1= ×135°=67.5°.
故答案是：67.5°.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算，正確求得正八邊形的內(nèi)角的度數(shù)是關(guān)鍵.
3. (2014•揚(yáng)州，第14題，3分)如圖，△ABC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm，則△ABC的面積為 40 cm3.
(第2題圖)
考點(diǎn)： 翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理
分析： 根據(jù)對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，可得AF即是△ABC的高，再由中位線的性質(zhì)求出BC，繼而可得△ABC的面積.
解答： 解：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，BC=2DE=10cm;
由折疊的性質(zhì)可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC= BC×AF= ×10×8=40cm2.
故答案為：40.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)及三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是得出AF是△ABC的高.
4. (2014•黑龍江龍東,第3題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，不添加輔助線，梯形滿足 AB=DC(或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D)等 條件時(shí)，有MB=MC(只填一個(gè)即可).
考點(diǎn)： 梯形;全等三角形的判定..
專題： 開放型.
分析： 根據(jù)題意得出△ABM≌△△DCM，進(jìn)而得出MB=MC.
解答： 解：當(dāng)AB=DC時(shí)，∵梯形ABCD中，AD∥BC，
則∠A=∠D，
∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴AM=MD，
在△ABM和△△DCM中，
，
∴△ABM≌△△DCM(SAS)，
∴MB=MC，
同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D時(shí)都可以得出MB=MC，
故答案為：AB=DC(或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D)等.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△ABM≌△△DCM是解題關(guān)鍵.
5. (2014•青島，第13題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF.點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為 2 .
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題;等腰梯形的性質(zhì).
分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考慮轉(zhuǎn)化PA、PB的值，從而找出其最小值求解.
解答： 解：∵E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是等腰梯形，
∴B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)C點(diǎn)，
∴AC即為PA+PB的最小值，
∵∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AD=2，
∴PA+PB的最小值=AB•tan60°= .
故答案為：2 .
點(diǎn)評(píng)： 考查等腰梯形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)的綜合應(yīng)用.綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.
6. (2014•攀枝花，第16題4分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1.如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是 .
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);梯形.
分析： 首先延長BA，CD交于點(diǎn)F，易證得△BEF≌△BEC，則可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得△ADF的面積，繼而求得答案.
解答： 解：延長BA，CD交于點(diǎn)F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC(ASA)，
∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，
∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，
∵CE：ED=2：1
∴DF：FC=1：4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴ =( )2= ，
∴S△ADF= ×4= ，
∴S四邊形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣ = .
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及梯形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
7.(2014•湖北黃石,第14題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，則△BCE的周長為 .
第1題圖
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 首先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠D=∠C=45°，進(jìn)而得到∠EBC=90°，然后證明四邊形ABED是平行四邊形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根據(jù)勾股定理可得BE長，進(jìn)而得到△BCE的周長.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠C=45°，
∵EB∥AD，
∴∠BEC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE=1，
∵CD=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵EB2+CB2=EC2，
∴EB=BC= ，
∴△BCE的周長為：2+2 ，
故答案為：2+2 .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等.
三.解答題
1. (2014年江蘇南京，第19題)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.
(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBEF是菱形?為什么?
(第1題圖)
考點(diǎn)：三角形的中位線、菱形的判定
分析：(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明;
(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明.
(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)解答：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBEF是菱形.
理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•樂山，第21題10分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.若AD=1，AB=2 ，求CE的長.
考點(diǎn)： 直角梯形;矩形的判定與性質(zhì);解直角三角形..
分析： 利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH的長，進(jìn)而得出BC的長，即可得出CE的長.
解答： 解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，
∴cos30°= ，
即BH=ABcos30°=2 × =3，
∴BC=BH+BC=4，
∵CE⊥AB，
∴CE= BC=2.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出BH的長是解題關(guān)鍵.
3. (2014•攀枝花，第19題6分)如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(2，﹣3)，C(0，2).
(1)求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式;
(2)若將等腰梯形OABC向右平移5個(gè)單位，問平移后的點(diǎn)C是否落在(1)中的雙曲線上?并簡述理由.
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;坐標(biāo)與圖形變化-平移.
分析： (1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出CD、BD，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答;
(2)根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷.
解答： 解：(1)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，
∴CD=2，BD=3，
∵C(0，2)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，5)，
設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，
則 =5，
解得k=10，
∴雙曲線的解析式為y= ;
(2)平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.x k b 1 . c o m
理由如下：點(diǎn)C(0，2)向右平移5個(gè)單位后的坐標(biāo)為(5，2)，
當(dāng)x=5時(shí)，y= =2，
∴平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
4. (2014•黑龍江龍東,第26題8分)已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.
(1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，如圖1，易證EM= CF.(不需證明)
(2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明.
考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);梯形中位線定理..
分析： (1)利用垂直于同一直線的兩條直線平行得出ME∥CF，進(jìn)而利用中位線的性質(zhì)得出即可;
(2)根據(jù)題意得出圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD)，進(jìn)而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.
解答： 解：(1)如圖1，
∵M(jìn)E⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴E為BF中點(diǎn)，
∴ME是△BFC的中位線，
∴EM= CF.
(2)圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，
圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD).
圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)，
∴DB=CK DM=MK
由題意知：EM= FK，
∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK，DM=MK，
由題意知：EM= FK，
∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解題關(guān)鍵.
1. (2014•山東煙臺(tái)，第7題3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位線EF與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)M，且BD⊥CD，則MF的長為( )
A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30°銳角的性質(zhì)，梯形及三角形的中位線.
分析： 根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC的長，再根據(jù)三角形的中位線，可得答案.
解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位線，∴MF是三角形BCD的中位線，∴MF=BC= 6=3，
故選：B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì).
2.(2014•湖南懷化，第5題，3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列判斷不正確的是( )
A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);全等三角形的判定.
分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易證得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;繼而可證得∠ABO=∠DCO，則可證得△ABO≌△DCO.
解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正確;
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC>AD，
∴△AOD不全等于△COB;故錯(cuò)誤;
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正確;
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ADB和△DAC中，
，
∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正確.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3. (2014•山東淄博,第7題4分)如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC、DB相交于點(diǎn)P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.則cos∠DPC的值是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根據(jù)∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠DPC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
∴∠DPC=60°，
∴cos∠DPC=cos60°=.
故選A.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，熟知等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等是解答此題的關(guān)鍵.
4.(2014•浙江寧波，第8題4分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，則△ABC與△DCA的面積比為( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC與△DCA的面積比= .
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
AB=2，DC=3，
∴COS∠ACB= = ，
COS∠DAC= =
∵△ABC與△DCA的面積比= ，
∴△ABC與△DCA的面積比= ，
故選：C.
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是明確△ABC與△DCA的面積比= .
5. (2014•湘潭，第3題，3分)如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計(jì)一方法測量AB的距離，取點(diǎn)C，連接AC、BC，再取它們的中點(diǎn)D、E，測得DE=15米，則AB=( )米.
(第1題圖)
A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30
考點(diǎn)： 三角形中位線定理
分析： 根據(jù)三角形的中位線得出AB=2DE，代入即可求出答案.
解答： 解：∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，DE=15米，
∴AB=2DE=30米，
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的中位線的應(yīng)用，注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
6.(2014•德州，第7題3分)如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1：2，則斜坡AB的長為( )
A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24米
考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
分析： 先根據(jù)坡度的定義得出BC的長，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長.
解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，
∴BC=6米，
根據(jù)勾股定理得：
AB= =6 米，
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，勾股定理，難度適中.根據(jù)坡度的定義求出BC的長是解題的關(guān)鍵.
7. (2014•廣西賀州，第9題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，則梯形ABCD的周長為( )
A. 12 B. 15 C. 12 D. 15
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，可得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定義求出∠EAC的度數(shù)，故可得出四邊形ADEC是菱形，再由等邊三角形的判定定理得出△ABE是等邊三角形，由此可得出結(jié)論.
解答： 解：過點(diǎn)A作AE∥CD，交BC于點(diǎn)E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四邊形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周長=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.
故選D.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.
8.(2014•襄陽，第10題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，則∠A等于( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
考點(diǎn)： 梯形;等腰三角形的性質(zhì);平行四邊形的判定與性質(zhì).
分析： 根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DEC=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°.
解答： 解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣80°=100°，
故選：C.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
9.(2014•臺(tái)灣，第3題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E點(diǎn)在BC上，且AE⊥BC.若AB=10，BE=8，DE=6 ，則AD的長度為何?( )
A.8 B.9 C.62 D.63
分析：利用勾股定理列式求出AE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAE=90°，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.
解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=AB2-BE2=102-82=6，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
∴AD=DE2-AE2=(63)2-62 =62.
故選C.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形，勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記定理并確定出所求的邊所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
10. (2014年廣西欽州，第10題3分)如圖，等腰梯形ABCD的對(duì)角線長為13，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是( )
A. 13 B. 26 C. 36 D. 39
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);中點(diǎn)四邊形.
分析： 首先連接AC，BD，由點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得EH，F(xiàn)G，EF，GH是三角形的中位線，然后由中位線的性質(zhì)求得答案.
解答： 解：連接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD的對(duì)角線長為13，
∴AC=BD=13，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
∴四邊形EFGH的周長是：EH+EF+FG+GF=26.
故選B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰梯形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
11.(2014衡陽，第10題3分)如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形 ，壩頂寬 米，壩高 米，斜坡 的坡度 ，則壩底 的長度為【 】
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二.填空題
1. ( 2014•廣西玉林市、防城港市，第17題3分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，則梯形ABCD的周長是 7+ .
考點(diǎn)： 直角梯形.
分析： 根據(jù)題意得出AB=AD，進(jìn)而得出BD的長，再利用在直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半，進(jìn)而求出CD以及利用勾股定理求出BC的長，即可得出梯形ABCD的周長.
解答： 解：過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE= AD=1，
∴DE= ，則BD=2 ，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC= BD= ，
∴BC= = =3，
∴梯形ABCD的周長是：AB+AD+CD+BC=2+2+ +3=7+ .
故答案為：7+ .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理和直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出∠DBC的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
2. (2014•揚(yáng)州，第13題，3分)如圖，若該圖案是由8個(gè)全等的等腰梯形拼成的，則圖中的∠1= 67.5° .
(第1題圖)
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);多邊形內(nèi)角與外角
分析： 首先求得正八邊形的內(nèi)角的度數(shù)，則∠1的度數(shù)是正八邊形的度數(shù)的一半.
解答： 解：正八邊形的內(nèi)角和是：(8﹣2)×180°=1080°，
則正八邊形的內(nèi)角是：1080÷8=135°，
則∠1= ×135°=67.5°.
故答案是：67.5°.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算，正確求得正八邊形的內(nèi)角的度數(shù)是關(guān)鍵.
3. (2014•揚(yáng)州，第14題，3分)如圖，△ABC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm，則△ABC的面積為 40 cm3.
(第2題圖)
考點(diǎn)： 翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理
分析： 根據(jù)對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，可得AF即是△ABC的高，再由中位線的性質(zhì)求出BC，繼而可得△ABC的面積.
解答： 解：∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，BC=2DE=10cm;
由折疊的性質(zhì)可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC= BC×AF= ×10×8=40cm2.
故答案為：40.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)及三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是得出AF是△ABC的高.
4. (2014•黑龍江龍東,第3題3分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，不添加輔助線，梯形滿足 AB=DC(或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D)等 條件時(shí)，有MB=MC(只填一個(gè)即可).
考點(diǎn)： 梯形;全等三角形的判定..
專題： 開放型.
分析： 根據(jù)題意得出△ABM≌△△DCM，進(jìn)而得出MB=MC.
解答： 解：當(dāng)AB=DC時(shí)，∵梯形ABCD中，AD∥BC，
則∠A=∠D，
∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴AM=MD，
在△ABM和△△DCM中，
，
∴△ABM≌△△DCM(SAS)，
∴MB=MC，
同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D時(shí)都可以得出MB=MC，
故答案為：AB=DC(或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D)等.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出△ABM≌△△DCM是解題關(guān)鍵.
5. (2014•青島，第13題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，連接EF.點(diǎn)P是EF上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為 2 .
考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問題;等腰梯形的性質(zhì).
分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考慮轉(zhuǎn)化PA、PB的值，從而找出其最小值求解.
解答： 解：∵E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是等腰梯形，
∴B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)C點(diǎn)，
∴AC即為PA+PB的最小值，
∵∠BCD=60°，對(duì)角線AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AD=2，
∴PA+PB的最小值=AB•tan60°= .
故答案為：2 .
點(diǎn)評(píng)： 考查等腰梯形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)的綜合應(yīng)用.綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.
6. (2014•攀枝花，第16題4分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1.如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是 .
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);梯形.
分析： 首先延長BA，CD交于點(diǎn)F，易證得△BEF≌△BEC，則可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得△ADF的面積，繼而求得答案.
解答： 解：延長BA，CD交于點(diǎn)F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
，
∴△BEF≌△BEC(ASA)，
∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，
∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，
∵CE：ED=2：1
∴DF：FC=1：4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴ =( )2= ，
∴S△ADF= ×4= ，
∴S四邊形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣ = .
故答案為： .
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及梯形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
7.(2014•湖北黃石,第14題3分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，則△BCE的周長為 .
第1題圖
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).
分析： 首先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得∠D=∠C=45°，進(jìn)而得到∠EBC=90°，然后證明四邊形ABED是平行四邊形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根據(jù)勾股定理可得BE長，進(jìn)而得到△BCE的周長.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠C=45°，
∵EB∥AD，
∴∠BEC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=DE=1，
∵CD=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵EB2+CB2=EC2，
∴EB=BC= ，
∴△BCE的周長為：2+2 ，
故答案為：2+2 .
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等.
三.解答題
1. (2014年江蘇南京，第19題)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F.
(1)求證：四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBEF是菱形?為什么?
(第1題圖)
考點(diǎn)：三角形的中位線、菱形的判定
分析：(1)根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明;
(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明.
(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)解答：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBEF是菱形.
理由如下：∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四邊形DBFE是平行四邊形，∴四邊形DBFE是菱形.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•樂山，第21題10分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.若AD=1，AB=2 ，求CE的長.
考點(diǎn)： 直角梯形;矩形的判定與性質(zhì);解直角三角形..
分析： 利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BH的長，進(jìn)而得出BC的長，即可得出CE的長.
解答： 解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，
∴cos30°= ，
即BH=ABcos30°=2 × =3，
∴BC=BH+BC=4，
∵CE⊥AB，
∴CE= BC=2.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半等知識(shí)，得出BH的長是解題關(guān)鍵.
3. (2014•攀枝花，第19題6分)如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(2，﹣3)，C(0，2).
(1)求過點(diǎn)B的雙曲線的解析式;
(2)若將等腰梯形OABC向右平移5個(gè)單位，問平移后的點(diǎn)C是否落在(1)中的雙曲線上?并簡述理由.
考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;坐標(biāo)與圖形變化-平移.
分析： (1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)求出CD、BD，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式解答;
(2)根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷.
解答： 解：(1)如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，
∴CD=2，BD=3，
∵C(0，2)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，5)，
設(shè)雙曲線的解析式為y= (k≠0)，
則 =5，
解得k=10，
∴雙曲線的解析式為y= ;
(2)平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.x k b 1 . c o m
理由如下：點(diǎn)C(0，2)向右平移5個(gè)單位后的坐標(biāo)為(5，2)，
當(dāng)x=5時(shí)，y= =2，
∴平移后的點(diǎn)C落在(1)中的雙曲線上.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
4. (2014•黑龍江龍東,第26題8分)已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.
(1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，如圖1，易證EM= CF.(不需證明)
(2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明.
考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);梯形中位線定理..
分析： (1)利用垂直于同一直線的兩條直線平行得出ME∥CF，進(jìn)而利用中位線的性質(zhì)得出即可;
(2)根據(jù)題意得出圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD)，進(jìn)而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.
解答： 解：(1)如圖1，
∵M(jìn)E⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴E為BF中點(diǎn)，
∴ME是△BFC的中位線，
∴EM= CF.
(2)圖2的結(jié)論為：ME= (BD+CF)，
圖3的結(jié)論為：ME= (CF﹣BD).
圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)，
∴DB=CK DM=MK
由題意知：EM= FK，
∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK，DM=MK，
由題意知：EM= FK，
∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△DBM≌△KCM(ASA)是解題關(guān)鍵.