(三) 求點(diǎn)估計(jì)的方法-一矩法估計(jì)
參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話概括：
(1)用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩。
(2)用樣本矩的函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。
此種獲得未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方法稱為矩法估計(jì)。
矩法估計(jì)簡單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對任何總體，樣本均值 對總體均值 的估計(jì)總是無偏的，樣本方差 對總體方差 的估計(jì)也總是無偏的。但是應(yīng)該注意到矩法估計(jì)不一定總是的，而且有時(shí)估計(jì)也不惟一。
[例l.4-1] 從某廠生產(chǎn)的一批鉚釘中隨機(jī)抽取10個(gè)，測得其頭部直徑分別為：
13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50
試求鉚釘頭部直徑總體的均值 與標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。
解：用矩法估計(jì)可得：
=0.0048771
注意：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，估計(jì)是有偏的。
(四)對幾種分布參數(shù)的矩法估計(jì)的例子
[例1.4-2] 設(shè)樣本 來自參數(shù)為 的指數(shù)分布，求 的矩法估計(jì)。
解：指數(shù)分布中，E(X)=1/ ，所以 =1/E(X)，用樣本均值 代E(X)，則得A的矩法估計(jì)為 。
[例1.4-3] 設(shè)樣本 來自參數(shù)為 的泊松分布，由于E(X)= ，
Var(X)= ，因此 與 都可以作為 的矩法估計(jì)，因此 的估計(jì)不惟一。遇到這種情況時(shí)，常選用低階矩作為參數(shù)的矩法估計(jì)。均值是一階矩，方差是二階矩，故在泊松分布場合，選用樣本均值 作為 的估計(jì)。即 。
[例1.4-4] 設(shè)樣本 來自兩點(diǎn)分布 ，即n=1的二項(xiàng)分布。兩點(diǎn)分布只能取0或1兩個(gè)值，其中“0”表示失敗，“1”表示成功，從而樣本均值為：
另一方面，兩點(diǎn)分布 的總體均值 是成功概率。按矩法估計(jì)的思想，可得p的矩法估計(jì)： ，即用成功的頻率去估計(jì)概率。
[例1.4-5] 設(shè)樣本 來自均勻分布 。其均值為 ，方差為 ，由矩法估計(jì)的思想可列出如下兩個(gè)方程：
解之可得 與 的矩法估計(jì)：
例如，從均勻分布 隨機(jī)抽取一個(gè)樣本量為5的樣本：4.7,4.0,4.5,4.2,5.0。計(jì)算得 ，從而可得 與 的矩法估計(jì)為：
(五)正態(tài)總體參數(shù)的估計(jì)
設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，參數(shù) ， 和 常用的無偏估計(jì)分述如下。
正態(tài)均值 的無偏估計(jì)有兩個(gè)，一個(gè)是樣本均值 ，另一個(gè)是樣本中位數(shù) ，即：
其中 為有序樣本，當(dāng)樣本量n為l或2時(shí)，這兩個(gè)無偏估計(jì)相同。當(dāng)n≥3時(shí)，它們一般不同，但總有：
Var( ) ≤ Var( )
這意味著，對正態(tài)均值 來說，樣本均值 總比樣本中位數(shù) 更有效。因此在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)優(yōu)先選用樣本均值 去估計(jì)正態(tài)均值 。有時(shí)在統(tǒng)計(jì)工作現(xiàn)場，為了簡便和快捷，選用樣本中位數(shù) 去估計(jì)正態(tài)均值 也是有的，如統(tǒng)計(jì)過程控制(見第四章)中的中位數(shù)圖就是如此。
(2)正態(tài)方差 的無偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，就是樣本方差 ，即：
理論研究表明，在所有無偏估計(jì)中它是的。
(3)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)也有兩個(gè)，一個(gè)是對樣本極差 進(jìn)行修偏而得，另一個(gè)是對樣本標(biāo)準(zhǔn)差s進(jìn)行修偏而得，具體是：
其中 與 是只與樣本量n有關(guān)的常數(shù)，其部分值列于表1.4-1，更詳細(xì)的表參見第四章的表4.2-2。
表1.4-1 修偏系數(shù) 與 的數(shù)值表
n2345678910
1.1281.6932.0592.3262.5342.7042.8472.9703.078
0.7980.8860.9210.9400.9520.9590.9650.9690.973
當(dāng)n=2時(shí)，上述兩個(gè)無偏估計(jì)相同;當(dāng)n≥3時(shí)，它們不同，但總有：
參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話概括：
(1)用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩。
(2)用樣本矩的函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。
此種獲得未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方法稱為矩法估計(jì)。
矩法估計(jì)簡單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對任何總體，樣本均值 對總體均值 的估計(jì)總是無偏的，樣本方差 對總體方差 的估計(jì)也總是無偏的。但是應(yīng)該注意到矩法估計(jì)不一定總是的，而且有時(shí)估計(jì)也不惟一。
[例l.4-1] 從某廠生產(chǎn)的一批鉚釘中隨機(jī)抽取10個(gè)，測得其頭部直徑分別為：
13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50
試求鉚釘頭部直徑總體的均值 與標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。
解：用矩法估計(jì)可得：
=0.0048771
注意：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，估計(jì)是有偏的。
(四)對幾種分布參數(shù)的矩法估計(jì)的例子
[例1.4-2] 設(shè)樣本 來自參數(shù)為 的指數(shù)分布，求 的矩法估計(jì)。
解：指數(shù)分布中，E(X)=1/ ，所以 =1/E(X)，用樣本均值 代E(X)，則得A的矩法估計(jì)為 。
[例1.4-3] 設(shè)樣本 來自參數(shù)為 的泊松分布，由于E(X)= ，
Var(X)= ，因此 與 都可以作為 的矩法估計(jì)，因此 的估計(jì)不惟一。遇到這種情況時(shí)，常選用低階矩作為參數(shù)的矩法估計(jì)。均值是一階矩，方差是二階矩，故在泊松分布場合，選用樣本均值 作為 的估計(jì)。即 。
[例1.4-4] 設(shè)樣本 來自兩點(diǎn)分布 ，即n=1的二項(xiàng)分布。兩點(diǎn)分布只能取0或1兩個(gè)值，其中“0”表示失敗，“1”表示成功，從而樣本均值為：
另一方面，兩點(diǎn)分布 的總體均值 是成功概率。按矩法估計(jì)的思想，可得p的矩法估計(jì)： ，即用成功的頻率去估計(jì)概率。
[例1.4-5] 設(shè)樣本 來自均勻分布 。其均值為 ，方差為 ，由矩法估計(jì)的思想可列出如下兩個(gè)方程：
解之可得 與 的矩法估計(jì)：
例如，從均勻分布 隨機(jī)抽取一個(gè)樣本量為5的樣本：4.7,4.0,4.5,4.2,5.0。計(jì)算得 ，從而可得 與 的矩法估計(jì)為：
(五)正態(tài)總體參數(shù)的估計(jì)
設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，參數(shù) ， 和 常用的無偏估計(jì)分述如下。
正態(tài)均值 的無偏估計(jì)有兩個(gè)，一個(gè)是樣本均值 ，另一個(gè)是樣本中位數(shù) ，即：
其中 為有序樣本，當(dāng)樣本量n為l或2時(shí)，這兩個(gè)無偏估計(jì)相同。當(dāng)n≥3時(shí)，它們一般不同，但總有：
Var( ) ≤ Var( )
這意味著，對正態(tài)均值 來說，樣本均值 總比樣本中位數(shù) 更有效。因此在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)優(yōu)先選用樣本均值 去估計(jì)正態(tài)均值 。有時(shí)在統(tǒng)計(jì)工作現(xiàn)場，為了簡便和快捷，選用樣本中位數(shù) 去估計(jì)正態(tài)均值 也是有的，如統(tǒng)計(jì)過程控制(見第四章)中的中位數(shù)圖就是如此。
(2)正態(tài)方差 的無偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，就是樣本方差 ，即：
理論研究表明，在所有無偏估計(jì)中它是的。
(3)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的無偏估計(jì)也有兩個(gè)，一個(gè)是對樣本極差 進(jìn)行修偏而得，另一個(gè)是對樣本標(biāo)準(zhǔn)差s進(jìn)行修偏而得，具體是：
其中 與 是只與樣本量n有關(guān)的常數(shù)，其部分值列于表1.4-1，更詳細(xì)的表參見第四章的表4.2-2。
表1.4-1 修偏系數(shù) 與 的數(shù)值表
n2345678910
1.1281.6932.0592.3262.5342.7042.8472.9703.078
0.7980.8860.9210.9400.9520.9590.9650.9690.973
當(dāng)n=2時(shí)，上述兩個(gè)無偏估計(jì)相同;當(dāng)n≥3時(shí)，它們不同，但總有：