有位叫“克洛依”的博客覺得學習數(shù)列有困難,我回憶了一下當時教女兒數(shù)列部分時的情況,覺得“克洛依”的情況可能不是個別現(xiàn)象,很多學生對解答數(shù)列的題目都有困難。
數(shù)列是高中數(shù)學里比較特別的一個部分。之所以特別,就在于抽象的成分比較多。試看例題:
設(shè)數(shù)列{an}是公比q>0的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數(shù)列的首項a1的取值范圍是_________。
我認為,有的學生之所以覺得數(shù)列難,主要是數(shù)列里頻繁出現(xiàn)的n造成的。高中數(shù)學其它部分,大都是解決一些可直觀的問題。如函數(shù),有表達式,有直觀圖形;立體幾何更是直觀。而數(shù)列的n是對具體的一組排列的數(shù)抽象后產(chǎn)生出來的,這就使得一些抽象思維能力教弱的學生產(chǎn)生了困難(有的人抽象思維能力強,有的形象思維能力強,都很正常)。我女兒就是那種抽象思維能力較弱的學生,我在教她理解數(shù)列的方法是:盡量把問題化成具體直觀的現(xiàn)象再加以解決。
如看見數(shù)列{an}=2n2,她在思考時可能就會模糊,那就把這個數(shù)列寫出來,如:
2,8,18,32,50,72......
這樣看上去就直觀了,思考由抽象變成具體,對她來說就容易多了。
例題一:在等差數(shù)列{an}中,a5=3,a6=-2,則a4+a5+a6+……+a10=___________。(2003年上海高考題)
通常解法:由a5,a6得出a7=-7,a7為a4到a10的中項,所以上式=a7x7=-49
女兒的解法:a5=3,a6=-2,所以公差d=-5,則此數(shù)列a4到a10項為:
8,3,-2,-7,-12,-17,-22
加起來,就是答案嘍。
消除了問題里的n,我發(fā)現(xiàn)女兒思考起來容易多了。
例題二:設(shè)數(shù)列{an}是公比q>0的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數(shù)列的首項a1的取值范圍是_________。(2001年上海高考題)
這是一個無窮項等比數(shù)列的問題,頭腦中應該馬上跳出無窮項等比數(shù)列和的公式(這是基本功,我有講過,公式要背的滾瓜爛熟)limSn(n→∞)=a1/(1-q)=7,條件是|q|<1,這樣問題就變成了解 a1/(1-q)=7
|q|<1
q>0
關(guān)于a1和q的聯(lián)立方程(不等式)問題了,解的a1∈(0,7)。
例題三:若在數(shù)列{an}中,a1=3,且a(n+1)=(an)2(n是正整數(shù)),則
數(shù)列的通項an=________。(2002年上海高考題)
解:因為a(n+1)=(an)2,a1=3,所以a2=32=9,a3=92=81,
a4=812=6561......
因此待解問題變成了從數(shù)列 3,9,81,6561......里找出規(guī)律。
很顯然,都是3的倍數(shù),數(shù)列可以寫成 3,32,322,323......
所以an=32(n-1)。
當然,高考數(shù)列問題不是都能排除了n來思考的,但在具體解答時,盡量把問題化成有具體意義的符號,對這部分學生還是有很大幫助的。
例題四:設(shè)等比數(shù)列{an}(n∈N)的公比q=-1/2,且lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=8/3,則a1=_________。(2004年上海高考題)
解:等比數(shù)列a1,a2,a3......an的q=-1/2,則數(shù)列a1,a3,a5......a2n-1也是等比數(shù)列,等比q=1/4。
(可以用下列假設(shè)數(shù)列幫助思考:
A1,a2,a3,a4,a5......為1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16......則a1,a3,a5......為1, 1/4, 1/16......)
再利用|q|<1的等比數(shù)列和的公式limSn(n→∞)=a1/(1-q)得出:
lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=a1/(1-q)=8/3(注意q=1/4!),a1=2。
以上只是我教女兒的一些經(jīng)驗。她是文科生,涉及到的數(shù)列題目可能難度不算大,這個方法不一定適合“克洛依”等學生。每個學生有自己的思維方法,但對那些抽象思維有困難的學生,化抽象為具體不失為“以己之長,克彼之短”。畢竟,在高考這個競爭中,誰能限度地發(fā)揮自己的優(yōu)勢,誰就有可能贏得勝利。
數(shù)列是高中數(shù)學里比較特別的一個部分。之所以特別,就在于抽象的成分比較多。試看例題:
設(shè)數(shù)列{an}是公比q>0的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數(shù)列的首項a1的取值范圍是_________。
我認為,有的學生之所以覺得數(shù)列難,主要是數(shù)列里頻繁出現(xiàn)的n造成的。高中數(shù)學其它部分,大都是解決一些可直觀的問題。如函數(shù),有表達式,有直觀圖形;立體幾何更是直觀。而數(shù)列的n是對具體的一組排列的數(shù)抽象后產(chǎn)生出來的,這就使得一些抽象思維能力教弱的學生產(chǎn)生了困難(有的人抽象思維能力強,有的形象思維能力強,都很正常)。我女兒就是那種抽象思維能力較弱的學生,我在教她理解數(shù)列的方法是:盡量把問題化成具體直觀的現(xiàn)象再加以解決。
如看見數(shù)列{an}=2n2,她在思考時可能就會模糊,那就把這個數(shù)列寫出來,如:
2,8,18,32,50,72......
這樣看上去就直觀了,思考由抽象變成具體,對她來說就容易多了。
例題一:在等差數(shù)列{an}中,a5=3,a6=-2,則a4+a5+a6+……+a10=___________。(2003年上海高考題)
通常解法:由a5,a6得出a7=-7,a7為a4到a10的中項,所以上式=a7x7=-49
女兒的解法:a5=3,a6=-2,所以公差d=-5,則此數(shù)列a4到a10項為:
8,3,-2,-7,-12,-17,-22
加起來,就是答案嘍。
消除了問題里的n,我發(fā)現(xiàn)女兒思考起來容易多了。
例題二:設(shè)數(shù)列{an}是公比q>0的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和。若limSn=7(n→∞),則此數(shù)列的首項a1的取值范圍是_________。(2001年上海高考題)
這是一個無窮項等比數(shù)列的問題,頭腦中應該馬上跳出無窮項等比數(shù)列和的公式(這是基本功,我有講過,公式要背的滾瓜爛熟)limSn(n→∞)=a1/(1-q)=7,條件是|q|<1,這樣問題就變成了解 a1/(1-q)=7
|q|<1
q>0
關(guān)于a1和q的聯(lián)立方程(不等式)問題了,解的a1∈(0,7)。
例題三:若在數(shù)列{an}中,a1=3,且a(n+1)=(an)2(n是正整數(shù)),則
數(shù)列的通項an=________。(2002年上海高考題)
解:因為a(n+1)=(an)2,a1=3,所以a2=32=9,a3=92=81,
a4=812=6561......
因此待解問題變成了從數(shù)列 3,9,81,6561......里找出規(guī)律。
很顯然,都是3的倍數(shù),數(shù)列可以寫成 3,32,322,323......
所以an=32(n-1)。
當然,高考數(shù)列問題不是都能排除了n來思考的,但在具體解答時,盡量把問題化成有具體意義的符號,對這部分學生還是有很大幫助的。
例題四:設(shè)等比數(shù)列{an}(n∈N)的公比q=-1/2,且lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=8/3,則a1=_________。(2004年上海高考題)
解:等比數(shù)列a1,a2,a3......an的q=-1/2,則數(shù)列a1,a3,a5......a2n-1也是等比數(shù)列,等比q=1/4。
(可以用下列假設(shè)數(shù)列幫助思考:
A1,a2,a3,a4,a5......為1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16......則a1,a3,a5......為1, 1/4, 1/16......)
再利用|q|<1的等比數(shù)列和的公式limSn(n→∞)=a1/(1-q)得出:
lim(a1+a3+a5+a2n-1)(n→∞)=a1/(1-q)=8/3(注意q=1/4!),a1=2。
以上只是我教女兒的一些經(jīng)驗。她是文科生,涉及到的數(shù)列題目可能難度不算大,這個方法不一定適合“克洛依”等學生。每個學生有自己的思維方法,但對那些抽象思維有困難的學生,化抽象為具體不失為“以己之長,克彼之短”。畢竟,在高考這個競爭中,誰能限度地發(fā)揮自己的優(yōu)勢,誰就有可能贏得勝利。