三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
隨機(jī)變量X的分布 (概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個立要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。
1.均值：用來表示分布的中心位置，用E(X)表示。譬如E(X)=5，意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。對于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會較多。它的計算公式是:
(1.2-1)
其中諸 ， 和p(x)與上一小段中符號含義相同，這里不再重復(fù)。
2.方差：用來表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布程度較大，也即比較分散，方差小意味著分布的散布程度小，也即分布較集中。方差的計算公式是:
(1.2-2)
方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量綱與X的量綱相同，常對方差開平方，記它的正平方根為 或 (X)，并稱它為X的標(biāo)準(zhǔn)差:
(1.2-3)
由于 與X的量綱相同，在實際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差 表示分布的散布大小，但它的計算通常是通過先計算方差，然后開方獲得。
[例1.2-7]，略，詳見書第31頁。
[例1.2—8] 看圖識方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。圖1.2—6(a)、(b)、(c)、(d)上畫出四個離散分布的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。現(xiàn)問這四個分布中哪個方差大，哪個方差小。
由方差的定義知：
其中 。若要方差小，則和式中每一項都要小，這要求：
(1)若偏差 -E(X)的絕對值小，則相應(yīng)概率 可以大一些;
(2)若偏差 -E(X)的絕對值大，則相應(yīng)概率 必定要小。
這意味著：離均值E(X)近的值 發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性小，正如圖1.2—6(d)所示。
反之，若要方差大，則和式中必有某些乘積項較大，也就是說，有若干個大偏差 -E(X)發(fā)生的概率大，或者說遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性大，正如圖1.2—6(a)所示。
從上述說明可以看出圖1.2—6上四個離散分布的方差(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。
類似地，對連續(xù)分布也有類似解釋，故圖1.2—6(e)、(f)、(g)、(h)上四個連續(xù)分布的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。
圖1.2—6 四個離散分布的方差 和四個密度函數(shù)的方差
3.隨機(jī)變量 (或其分布)的均值與方差的運算性質(zhì):
(1)設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有:
(2)對任意兩個隨機(jī)變量X1與X2，有:
這個性質(zhì)可以推廣到三個或更多個隨機(jī)變量場合。
(3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨立 (即X1取什么值不影響另一個隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個試驗的獨立性)，則有:
這個性質(zhì)也可推廣到三個或更多個相互獨立的隨機(jī)變量場合。
注意:方差的這個性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場合，即對任意兩個相互獨立的隨機(jī)變量X1與X2，
，而應(yīng)該是 。或者說，對相互獨立的隨機(jī)變量來說，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。
[例 1.2-9] 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5，
(1)求U=3X+5的均值與方差。
(2)求V=2X+4Y的均值與方差。
(3)求W=X-Y的標(biāo)準(zhǔn)差。
利用均值與方差的運算性質(zhì)可逐個算得。
(1) E(U)=3E(X)+5=3*5+5=20
Var(U)=9*Var(X)=9*2=18
(2) E(V)=2E(X)+ 4E(X)=2*5+4*9=46
Var(V)=4*Var(X)+16*Var(X)=4*2+16*2.5=48
(3) Var(W)=Var(X)+Var(X)=2+2.5=4.5
隨機(jī)變量X的分布 (概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個立要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。
1.均值：用來表示分布的中心位置，用E(X)表示。譬如E(X)=5，意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。對于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會較多。它的計算公式是:
(1.2-1)
其中諸 ， 和p(x)與上一小段中符號含義相同，這里不再重復(fù)。
2.方差：用來表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布程度較大，也即比較分散，方差小意味著分布的散布程度小，也即分布較集中。方差的計算公式是:
(1.2-2)
方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量綱與X的量綱相同，常對方差開平方，記它的正平方根為 或 (X)，并稱它為X的標(biāo)準(zhǔn)差:
(1.2-3)
由于 與X的量綱相同，在實際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差 表示分布的散布大小，但它的計算通常是通過先計算方差，然后開方獲得。
[例1.2-7]，略，詳見書第31頁。
[例1.2—8] 看圖識方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。圖1.2—6(a)、(b)、(c)、(d)上畫出四個離散分布的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。現(xiàn)問這四個分布中哪個方差大，哪個方差小。
由方差的定義知：
其中 。若要方差小，則和式中每一項都要小，這要求：
(1)若偏差 -E(X)的絕對值小，則相應(yīng)概率 可以大一些;
(2)若偏差 -E(X)的絕對值大，則相應(yīng)概率 必定要小。
這意味著：離均值E(X)近的值 發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性小，正如圖1.2—6(d)所示。
反之，若要方差大，則和式中必有某些乘積項較大，也就是說，有若干個大偏差 -E(X)發(fā)生的概率大，或者說遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性大，正如圖1.2—6(a)所示。
從上述說明可以看出圖1.2—6上四個離散分布的方差(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。
類似地，對連續(xù)分布也有類似解釋，故圖1.2—6(e)、(f)、(g)、(h)上四個連續(xù)分布的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。
圖1.2—6 四個離散分布的方差 和四個密度函數(shù)的方差
3.隨機(jī)變量 (或其分布)的均值與方差的運算性質(zhì):
(1)設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有:
(2)對任意兩個隨機(jī)變量X1與X2，有:
這個性質(zhì)可以推廣到三個或更多個隨機(jī)變量場合。
(3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨立 (即X1取什么值不影響另一個隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個試驗的獨立性)，則有:
這個性質(zhì)也可推廣到三個或更多個相互獨立的隨機(jī)變量場合。
注意:方差的這個性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場合，即對任意兩個相互獨立的隨機(jī)變量X1與X2，
，而應(yīng)該是 。或者說，對相互獨立的隨機(jī)變量來說，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。
[例 1.2-9] 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5，
(1)求U=3X+5的均值與方差。
(2)求V=2X+4Y的均值與方差。
(3)求W=X-Y的標(biāo)準(zhǔn)差。
利用均值與方差的運算性質(zhì)可逐個算得。
(1) E(U)=3E(X)+5=3*5+5=20
Var(U)=9*Var(X)=9*2=18
(2) E(V)=2E(X)+ 4E(X)=2*5+4*9=46
Var(V)=4*Var(X)+16*Var(X)=4*2+16*2.5=48
(3) Var(W)=Var(X)+Var(X)=2+2.5=4.5